13.1 Ley de la gravitación universal de Newton

La historia de la gravitación

Los primeros filósofos se preguntaban por qué los objetos tienden naturalmente a caer hacia el suelo. Aristóteles (384-322 a.C.) creía que la naturaleza de las rocas era buscar la Tierra y la del fuego buscar el Cielo. Brahmagupta (598~665 d.C.) postuló que la Tierra era una esfera y que los objetos poseían una afinidad natural con ella, ya que caían hacia el centro desde cualquier lugar en el que se encontraran.

Los movimientos del Sol, la Luna y los planetas también se han estudiado durante miles de años. Estos movimientos fueron descritos con asombrosa exactitud por Ptolomeo (90-168 de la era cristiana), cuyo método de los epiciclos describía las trayectorias de los planetas como círculos dentro de círculos. Sin embargo, hay pocas pruebas de que alguien relacionara el movimiento de los cuerpos astronómicos con el de los objetos que caen a la Tierra, hasta el siglo XVII.

A Nicolás Copérnico (1473-1543) se le atribuye el mérito de ser el primero en desafiar el sistema geocéntrico (centrado en la Tierra) de Ptolomeo y proponer un sistema heliocéntrico, en el que el Sol está en el centro del sistema solar. Esta idea se vio respaldada por las mediciones increíblemente precisas de los movimientos planetarios realizadas a simple vista por Tycho Brahe y su análisis por Johannes Kepler y Galileo Galilei. Kepler demostró que el movimiento de cada planeta es una elipse (la primera de sus tres leyes, tratada en Las leyes del movimiento planetario de Kepler), y Robert Hooke (el mismo que formuló la ley de Hooke para los resortes) sugirió intuitivamente que estos movimientos se deben a que los planetas son atraídos por el Sol. Sin embargo, fue Isaac Newton quien relacionó la aceleración de los objetos cercanos a la superficie terrestre con la aceleración centrípeta de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra.

Por último, en La Teoría de la Gravedad de Einstein, analizamos la teoría de la relatividad general propuesta por Albert Einstein en 1916. Su teoría parte de una perspectiva muy diferente, en la que la gravedad es una manifestación de la masa que deforma el espacio y el tiempo. Las consecuencias de su teoría dieron lugar a muchas predicciones notables, que se han confirmado esencialmente en las muchas décadas posteriores a la publicación de la teoría (incluida la medición en 2015 de las ondas gravitacionales procedentes de la fusión de dos agujeros negros).

Ley de la gravitación universal de Newton

Newton observó que los objetos en la superficie de la Tierra (por tanto, a una distancia de $R_{\text{E}}$ del centro de la Tierra) tienen una aceleración de g, pero la Luna, a una distancia de aproximadamente $60R_{\text{E}}$, tiene una aceleración centrípeta sobre ${(60)}^2$ veces menor que g. Podría explicar esto al postular que existe una fuerza entre dos objetos cualesquiera, cuya magnitud viene dada por el producto de las dos masas, dividido entre el cuadrado de la distancia entre estas. Ahora sabemos que esta ley del cuadrado inverso es omnipresente en la naturaleza, una función de la geometría para las fuentes puntuales. La fuerza de cualquier fuente a una distancia r se extiende sobre la superficie de una esfera centrada en la masa. La superficie de esa esfera es proporcional a $r^2$. En capítulos posteriores, veremos esta misma forma en la fuerza electromagnética.

Tal como se muestra en la Figura 13.2, el ${\overrightarrow{F}}_{12}$ vector apunta desde el objeto 1 hacia el objeto 2; de allí que represente una fuerza de atracción entre los objetos. La fuerza igual, pero opuesta ${\overrightarrow{F}}_{21}$ es la fuerza que ejerce el objeto 1 sobre el objeto 2.

Figura 13.2 La fuerza gravitatoria actúa a lo largo de una línea que une los centros de masa de dos objetos.

Estas fuerzas iguales, pero opuestas, reflejan la tercera ley de Newton, de la que ya hemos hablado. Obsérvese que, en sentido estricto, la Ecuación 13.1 se aplica a las masas puntuales: toda la masa está situada en un punto. No obstante, se aplica igualmente a cualquier objeto esféricamente simétrico, donde r es la distancia entre los centros de masa de esos objetos. En muchos casos, funciona razonablemente bien para objetos no simétricos, si su separación es grande en comparación con su tamaño, y tomamos r como la distancia entre el centro de masa de cada cuerpo.

El experimento Cavendish

Un siglo después de que Newton publicara su ley de la gravitación universal, Henry Cavendish determinó la constante de proporcionalidad G a través de un minucioso experimento. Construyó un dispositivo semejante al que se muestra en la Figura 13.3, en el que se suspenden pequeñas masas de un cable. Una vez en equilibrio, dos masas fijas de mayor tamaño se colocan simétricamente cerca de las más pequeñas. La atracción gravitatoria crea una torsión (torsión) en el cable de soporte que se puede medir.

La constante G se denomina constante de la gravitación universal y Cavendish la determinó como $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}·{\text{m}}^2{\text{/kg}}^2$. La palabra "universal" indica que los científicos piensan que esta constante se aplica a las masas de cualquier composición y que es la misma en todo el universo. El valor de G es un número increíblemente pequeño, lo que demuestra que la fuerza de la gravedad es muy débil. La atracción entre masas tan pequeñas como nuestros cuerpos, o incluso objetos del tamaño de un rascacielos, es increíblemente pequeña. Por ejemplo, dos masas de 1,0 kg situadas a 1,0 metro de distancia ejercen una fuerza de $\mathrm{6,7}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}$ entre sí. Este es el peso de un grano de polen típico.

Figura 13.3 Cavendish utilizó un aparato semejante para medir la atracción gravitatoria entre dos esferas(m) suspendidas de un cable y dos esferas fijas(M). Este es un experimento común que se realiza en los laboratorios de licenciatura, pero es bastante desafiante. El paso de camiones fuera del laboratorio puede crear vibraciones que superen las fuerzas gravitatorias.

Aunque la gravedad es la más débil de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza, su naturaleza atractiva es la que nos mantiene en la Tierra, hace que los planetas orbiten alrededor del Sol y que el Sol orbite alrededor de nuestra galaxia, y une a las galaxias en cúmulos, que van desde unos pocos hasta millones. La gravedad es la fuerza que forma el universo.

Ejemplo 13.1

Una colisión en órbita

Consideremos dos vehículos de carga útil Soyuz casi esféricos, en órbita alrededor de la Tierra, cada uno con una masa de 9000 kg y un diámetro de 4,0 m. Inicialmente están en reposo uno respecto del otro, a 10,0 m de centro a centro. (Como veremos en Las leyes del movimiento planetario de Kepler, ambos orbitan la Tierra a la misma rapidez e interactúan casi igual que si estuvieran aislados en el espacio profundo). Determine la fuerza gravitatoria entre ellos y su aceleración inicial. Calcule el tiempo que tardan en juntarse y con cuánta rapidez se mueven en el momento del impacto.

Estrategia

Usamos la ley de la gravitación de Newton para determinar la fuerza entre estos y luego usamos la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de cada uno. Para la estimación, suponemos que esta aceleración es constante, y utilizamos las ecuaciones de aceleración constante de Movimiento a lo largo de una línea recta para hallar el tiempo y la rapidez de la colisión.

Solución

La magnitud de la fuerza es

$$\left|{\overrightarrow{F}}_{12}\right|=F_{12}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=\mathrm{6,67}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}·{\text{m}}^2{\text{/kg}}^2\frac{(9.000\text{kg})(9.000\text{kg})}{{(10\text{m})}^2}=\mathrm{5,4}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{N.}$$

La aceleración inicial de cada carga útil es

$$a=\frac{F}{m}=\frac{\mathrm{5,4}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{N}}{9.000\text{kg}}=\mathrm{6,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}{\text{m/s}}^2.$$

Los vehículos tienen un diámetro de 4,0 m, por lo que se desplazan de 10,0 m a 4,0 m de distancia, es decir, una distancia de 3,0 m cada uno. Un cálculo similar al anterior, para cuando los vehículos están a 4,0 m de distancia, arroja una aceleración de $\mathrm{3,8}\times {10}^{\mathrm{-8}}{\text{m/s}}^2$, y la media de estos dos valores es $\mathrm{2,2}\times {10}^{\mathrm{-8}}{\text{m/s}}^2$. Si suponemos una aceleración constante de este valor y parten del reposo, entonces los vehículos colisionan a una rapidez dada por

$$v^2=v_0^2+2a(x-x_0),\text{donde}{v}_0=0,$$

así que

$$v=\sqrt{2(\mathrm{2,2}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{N})(\mathrm{3,0}\text{m})}=\mathrm{3,6}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{m/s.}$$

Utilizamos $v^{}=v_0+at$ para calcular $t=v\text{/}a=\mathrm{1,7}\times {10}^4\text{s}$ o unas 4,6 horas.

Importancia

Estos cálculos (incluida la fuerza inicial) son solo estimaciones, ya que los vehículos probablemente no son esféricamente simétricos. No obstante, puede observar que la fuerza es increíblemente pequeña. Los astronautas deben atarse cuando realizan trabajos fuera, incluso de la enorme Estación Espacial Internacional (ISS). como en la Figura 13.4, porque la atracción gravitatoria no puede salvarlos ni siquiera del más mínimo empujón fuera de la estación.

Figura 13.4 Esta foto muestra a Ed White atado al transbordador espacial durante una caminata espacial (créditos: NASA).

El efecto de la gravedad entre dos objetos con masas del orden de estos vehículos espaciales es efectivamente pequeño. Sin embargo, el efecto de la gravedad sobre su cuerpo desde la Tierra es lo suficientemente importante como para que una caída de solo unos metros en la Tierra sea peligrosa. En la siguiente sección examinaremos la fuerza de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra.

Ejemplo 13.2

Atracción entre galaxias

Calcule la aceleración de nuestra galaxia, la Vía Láctea, debida a la galaxia más cercana de tamaño comparable, la galaxia de Andrómeda (Figura 13.5). La masa aproximada de cada galaxia es de 800.000 millones de masas solares (una masa solar es la de nuestro Sol), y están separadas por 2,5 millones de años luz. (Hay que tener en cuenta que la masa de Andrómeda no se conoce tan bien, aunque se cree que es ligeramente mayor que nuestra galaxia). Cada galaxia tiene un diámetro de aproximadamente 100.000 años luz $(1\text{año luz}=\mathrm{9,5}\times {10}^{15}\text{m})$.

Figura 13.5 Las galaxias interactúan gravitacionalmente a través de inmensas distancias. La galaxia de Andrómeda es la galaxia espiral más cercana a la Vía Láctea, y acabarán colisionando (créditos: Boris Štromar).

Estrategia

Como en el ejemplo anterior, utilizamos la ley de la gravitación de Newton para determinar la fuerza entre estos y, a continuación, utilizamos la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de la Vía Láctea. Podemos considerar que las galaxias son masas puntuales, ya que su tamaño es unas 25 veces menor que su separación. La masa del Sol (véase el Anexo D) es $\mathrm{2,0}\times {10}^{30}\text{kg}$ y un año luz es la distancia que recorre la luz en un año, $\mathrm{9,5}\times {10}^{15}\text{m}$.

Solución

La magnitud de la fuerza es

$$F_{12}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=(\mathrm{6,67}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}·{\text{m}}^2\text{/}{\text{kg}}^2)\frac{{[(800\times {10}^9)(\mathrm{2,0}\times {10}^{30}\text{kg})]}^2}{{[(\mathrm{2,5}\times {10}^6)(\mathrm{9,5}\times {10}^{15}\text{m})]}^2}=\mathrm{3,0}\times {10}^{29}\text{N.}$$

La aceleración de la Vía Láctea es

$$a=\frac{F}{m}=\frac{\mathrm{3,0}\times {10}^{29}\text{N}}{(800\times {10}^9)(\mathrm{2,0}\times {10}^{30}\text{kg})}=\mathrm{1,9}\times {10}^{\mathrm{-13}}{\text{m/s}}^2.$$

Importancia

¿Le parece que este valor de aceleración es asombrosamente pequeño? Si parten del reposo, entonces acelerarían directamente el uno hacia el otro, para "colisionar" en su centro de masa. Calculemos el tiempo para que esto ocurra. La aceleración inicial es $~{10}^{\mathrm{-13}}{\text{m/s}}^2$, así que si utilizamos $v=at$, vemos que se necesitaría $~{10}^{13}\text{s}$ para que cada galaxia alcance una velocidad de 1,0 m/s, y solo serían $~\mathrm{0,5}\times {10}^{13}\text{m}$ más cerca. Es decir, nueve órdenes de magnitud menos que la distancia inicial entre estos. En realidad, estos movimientos rara vez son sencillos. Estas dos galaxias, junto con otras 50 galaxias más pequeñas, tienen límite gravitacional en nuestro cúmulo local. Nuestro cúmulo local tiene límite gravitacional a otros cúmulos en lo que se denomina un supercúmulo. Todo esto forma parte de la gran danza cósmica que resulta de la gravitación, como se muestra en la Figura 13.6.

Figura 13.6 Según los resultados de este ejemplo, más lo que los astrónomos han observado en otros lugares del universo, nuestra galaxia colisionará con la galaxia de Andrómeda dentro de unos 4.000 millones de años (créditos: modificación del trabajo de la NASA; ESA; A. Feild y R. van der Marel, STScI).