William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać zjawisko dyfrakcji i warunki jej obserwacji;
opisywać dyfrakcję na pojedynczej szczelinie.

Po przejściu przez wąską szczelinę (otwór) fala biegnąca w określonym kierunku ma tendencję do rozprzestrzeniania się. Przykładowo – fale dźwiękowe przedostające się do pokoju przez otwarte drzwi mogą być słyszane, nawet jeśli słuchacz znajduje się w części pomieszczenia, gdzie według geometrycznego obrazu rozchodzenia się promieni powinna być tylko cisza. Podobnie fale oceaniczne przechodzące przez otwór w falochronie mogą rozprzestrzeniać się po wnętrzu całej zatoki (Ilustracja 4.2). Uginanie się fal dźwiękowych i oceanicznych wokół krawędzi otworu lub przeszkody i dalsze ich rozprzestrzenianie się w różnych kierunkach to dwa przykłady dyfrakcji (ang. diffraction). Zjawisko to dotyczy wszystkich typów fal.

Fotografia przedstawia falochron na plaży widziany z góry. W falochronie znajduje się otwór, przez który wychodzą fale. — Ilustracja 4.2 Na skutek dyfrakcji fale oceaniczne, wchodząc przez otwór w falochronie, mogą się rozprzestrzeniać po zatoce. Źródło: modyfikacja danych z map Google Earth

Dyfrakcja fal dźwiękowych jest dla nas oczywista, ponieważ długości fal w obszarze słyszalnym są w przybliżeniu takie same jak rozmiary przedmiotów, z którymi fale się stykają; warunek do obserwacji efektów dyfrakcyjnych może więc być łatwo spełniony. Ponieważ długości fal światła widzialnego zawierają się w przedziale od około $390 nm$ do $770 nm$ , większość obiektów nie ugina ich znacząco (nie powoduje znaczącej dyfrakcji). Występują jednak sytuacje, w których otwory są na tyle małe, że dyfrakcję światła również można obserwować. Na przykład, jeśli umieścimy palce środkowy i wskazujący blisko siebie i spojrzymy przez otwór między nimi na żarówkę, będziemy mogli zobaczyć dosyć wyraźny wzór dyfrakcyjny, składający się z jasnych i ciemnych linii biegnących równolegle do palców.

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Światło przechodzące przez pojedynczą szczelinę tworzy obraz (wzór) dyfrakcyjny różniący się nieco od tych utworzonych przez podwójne szczeliny lub siatki dyfrakcyjne, które omówiliśmy w rozdziale o interferencji. Ilustracja 4.3 pokazuje obraz dyfrakcji zachodzący na pojedynczej szczelinie. Zauważmy, że centralne maksimum natężenia światła jest większe niż maksima z obu stron (maksima boczne) oraz że to natężenie światła zmniejsza się gwałtownie w miarę oddalania się od maksimum centralnego. W odróżnieniu od tego siatka dyfrakcyjna (Siatki dyfrakcyjne) wytwarza równomiernie rozmieszczone cienkie linie, które stopniowo zanikają po obu stronach centrum.

Figura a przedstawia pionową linię po lewej stronie rysunku. W linii znajduje się otwór o długości D. Po prawej stronie znajduje się fala pionowa. W środku fali znajduje się grzbiet, odpowiadający szczelinie. Fala ulega osłabieniu po obu stronach piku. Narysowana jest strzałka wzdłuż centralnego piku, skierowana do szczeliny i podpisana natężenie. Figura b przedstawia pasek, na którym narysowane są poziome ciemne i jasne linie. Linia środkowa, odpowiadająca szczelinie jest najjaśniejsza. — Ilustracja 4.3 Obraz dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. (a) Natężenie monochromatycznego światła przechodzącego przez pojedynczą szczelinę posiada centralne maksimum oraz wiele mniejszych i coraz ciemniejszych maksimów po obu stronach. Pik natężenia centralnego maksimum powinien być sześciokrotnie wyższy, niż to pokazano na rysunku. (b) Schemat pokazuje jasne centralne maksimum (jasny centralny prążek) oraz coraz ciemniejsze i cieńsze maksima po obu stronach.

Analizę dyfrakcji na pojedynczej szczelinie pokazano na Ilustracji 4.4. Pokazano, jak światło dociera do szczeliny, równomiernie ją oświetla, rozchodząc się w kierunku prostopadłym do jej szerokości. Następnie pokazane jest, w jaki sposób światło rozchodzi się dalej z różnych punktów tej szczeliny. Zgodnie z zasadą Huygensa (ang. Huygens’ principle) każdy punkt czoła fali w szczelinie emituje fale wtórne, jak to omawialiśmy w rozdziale Natura światła. Można to przedstawić za pomocą promieni, którym przypisujemy fazę, w tym jednakową fazę początkową, i które z każdego punktu czoła fali rozchodzą się we wszystkie strony. Każdy promień jest prostopadły do czoła fali. Przy założeniu, że odległość między szczeliną a ekranem jest duża w porównaniu z szerokością szczeliny, promienie zmierzają do wspólnego punktu docelowego prawie równolegle. Kiedy biegną w kierunku prostopadłym do ekranu, jak w części (a) rysunku, pozostają zgodne w fazie, a my obserwujemy centralne maksimum. Jednakże gdy promienie biegną pod kątem $θ$ względem pierwotnego kierunku wiązki, każdy promień przebywa inną odległość, zmierzając do wspólnego punktu końcowego, w wyniku czego mogą one do niego docierać zgodne lub niezgodne w fazie. W części (b) promień dolny pokonuje odległość o jedną długość fali $λ$ większą niż promień górny. W związku z tym promień środkowy przemieszcza się na odległość o $λ ∕ 2$ mniejszą niż ten biegnący od dolnej krawędzi szczeliny, a w miejscu ich spotkania pojawia się w przeciwfazie i ulega interferencji destruktywnej (wygaszeniu). To samo dotyczy promienia wychodzącego nieco powyżej środka oraz promienia nieco powyżej dolnej krawędzi, które również nawzajem się wygaszają. W rzeczywistości każdy promień wychodzący ze szczeliny oddziałuje w ten sposób z innym promieniem. Innymi słowy, całkowite wygaszanie się wszystkich promieni daje minimum natężenia światła dla tego kąta. Bliźniacze minimum występuje przy kącie o tej samej wartości w punkcie leżącym poniżej środka ekranu (patrz Ilustracja 4.4).

Figura a przedstawia poziome promienie przechodzące z lewa na prawo przez pionową szczelinę o długości D. Rysunek ma podpis theta równa się zero zero, jasno. Figura b przedstawia promienie przechodzące przez szczelinę pod kątem theta do poziomu.Rysunek ma podpis sinus theta równa się lambda przez D, ciemno. Przerywana linia prostopadła do promieni dotyka górnej krawędzi szczeliny. Jej pionowa odległość od dolnej krawędzi szczeliny wynosi lambda a odległość od środka szczeliny wynosi lambda przez 2. Oddzielny rysunek przedstawia przerywaną linię biegnącą pod kątem theta do pionu. Linia przecina promień biegnący od dolnej krawędzi szczeliny w określonym punkcie. Odległość pozioma tego punktu od szczeliny wynosi delta l równa się D sinus theta. Figura c przedstawia promienie przechodzące przez szczelinę pod kątem theta do poziomu. Rysunek ma podpis sinus theta równa się 3 lambda przez 2 D, jasno. Przerywana linia prostopadła do promieni dotyka górnej krawędzi szczeliny. Jej pionowa odległość od dolnej krawędzi szczeliny wynosi 3 lambda dzielone przez 2. Figura d przedstawia promienie przechodzące przez szczelinę pod kątem theta do poziomu. Rysunek ma podpis sinus theta równa się 2 lambda przez D, ciemno. Przerywana linia prostopadła do promieni dotyka górnej krawędzi szczeliny. Jej odległość od dolnej krawędzi szczeliny wynosi 2 lambda. — Ilustracja 4.4 Światło przechodzące przez pojedynczą szczelinę jest uginane (rozchodzi się) we wszystkich kierunkach i może pod danym kątem ulegać interferencji konstruktywnej lub destruktywnej. Różnica długości dróg dla promienia dolnego i górnego z każdej strony szczeliny wynosi $D\sin\theta$ .

Dla większego kąta w części (c) drogi optyczne górnego i dolnego promienia różnią się o $3 λ ∕ 2$ . Jeśli podzielimy teraz „w myśli” szczelinę na trzy równe części, to stosując podobne rozumowanie, możemy zauważyć, że w punkcie docelowym fale z dwóch części ekranu się wygaszają, a z trzeciej nie. Inaczej rozumując, dolny promień przebywa odległość większą o $λ$ od promienia górnego wychodzącego z punktu na wysokości $2 ∕ 3$ szczeliny i spotyka się z nim w tej samej fazie, ulegając wzmocnieniu. To samo dotyczy wszystkich promieni odpowiednio z dolnej i górnej trzeciej części szczeliny. Ponieważ jednak dla tego kąta nie wszystkie promienie wychodzące ze szczeliny ulegają interferencji konstruktywnej, drugie maksimum nie jest tak silne, jak maksimum centralne. Wreszcie w części (d) pokazano sytuację dla kąta takiego, że różnica długości dróg dla promieni z obu stron szczeliny wynosi $2 λ$ . Rozumujemy podobnie jak dla różnicy długości dróg równej $λ$ , z tym że dzielimy szerokość szczeliny na cztery równe części, z których wychodzące fale wygaszają się parami, a efektem jest ciemny prążek na ekranie. Jak widać na Ilustracji 4.4, różnica długości dróg dla promieni z obu stron szczeliny wynosi $D sin θ$ , a minimum natężenia jest uzyskiwane, gdy różnica ta jest całkowitą wielokrotnością długości fali.

W ten sposób warunek uzyskania destruktywnej interferencji dla pojedynczej szczeliny (ang. destructive interference for a single slit) jest następujący

D sin θ = m λ,

4.1

gdzie $D$ jest szerokością szczeliny, $λ$ długością fali światła, $θ$ kątem mierzonym względem pierwotnego kierunku padania światła, a $m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ jest rzędem kolejnego minimum. Na Ilustracji 4.5 przedstawiono widmo dyfrakcyjne dla pojedynczej szczeliny, tj. zależność natężenia światła od $sin θ$ . Jak widać, maksima po obu stronach centralnego maksimum mają mniejszą wartość natężenia i nie są tak szerokie. Ten efekt będzie badany w części Dyfrakcja na podwójnej szczelinie.

Figura przedstawia wykres natężenia w funkcji sinusa theta. Natężenie jest maksymalne dla sin theta równego 0. Po obu stronach maksimum występują grzbiety, przy sin theta równa się minus 2 lambda D, minus lambda D, lambda D, 2 lambda D i tak dalej. — Ilustracja 4.5 Wykres pokazujący natężenie widma dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. Centralny pik jest szerszy i znacznie wyższy niż piki boczne. W rzeczywistości centralne maksimum jest sześć razy wyższe niż pokazane na rysunku.

Przykład 4.1

Obliczanie dyfrakcji na pojedynczej szczelinie

Światło widzialne o długości fali

550 nm

pada na pojedynczą szczelinę i wytwarza drugie minimum dyfrakcyjne pod kątem

45 °

względem kierunku padania promieni, jak to pokazano na Ilustracji 4.6.

Jaka jest szerokość szczeliny?
Pod jakim kątem występuje pierwsze minimum?

Figura przedstawia po lewej stronie pionową linię. Linia posiada szczelinę w swoim środku,długość szczeliny wynosi D. Promień opisany jako lambda przechodzi poziomo przez szczelinę. Promień rozdziela się na 5 przerywanych linii, które padają na ekran. Ekran jest przedstawiony jako jako pionowa linia. Spośró tych pięciu przerywanych linii, dwie tworzą kąty theta 1 i theta 2 z poziomem. Theta 2 wynosi 45 stopni. Theta 1 jest mniejszy niż theta 2 i jego miara nie jest znana. Natężenie na ekranie jest przedstawione jako piniowa fala. Środkowe maksimum jest największe. Po obu stronach maksimum fala ulega osłabieniu. Pozostałe cztery przerywane linie odpowiadają dolinom fali. — Ilustracja 4.6 W tym przykładzie analizujemy wykres zależności natężenia światła na ekranie od kąta dla obrazu dyfrakcyjnego na pojedynczej szczelinie.

Strategia rozwiązania

Dla podanych informacji i przy założeniu, że ekran jest daleko od szczeliny, możemy zastosować równanie

D sin θ = m λ

najpierw w celu wyznaczenia

D

, a następnie kąta

θ_{1}

dla pierwszego minimum.

Rozwiązanie

W treści zadania mamy podane, że $λ = 550 nm$ , $m = 2$ i $\theta_2=\ang{45}\$ . Rozwiązujemy równanie $D sin θ = m λ$ ze względu na $D$ i podstawiając podane wartości, otrzymujemy
$D = \frac{m λ}{sin θ_{2}} = \frac{2 \cdot 550 nm}{sin (45 °)} = \frac{1100 \cdot 10^{-9} m}{0,707} = 1,56 \cdot 10^{-6} m .$
Rozwiązanie równania $D sin θ = m λ$ dla $sin θ_{1}$ i podstawienie podanych wartości daje
$sin θ_{1} = \frac{m λ}{D} = \frac{550 \cdot 10^{-9} m}{1,56 \cdot 10^{-6} m} .$
Tak więc kąt $θ_{1}$ jest równy
$\theta_1 = \arcsin(\num{0,354}) = \ang{20,7} \text{.}$

Znaczenie

Widzimy, że szczelina jest wąska (tylko kilka razy większa niż długość fali światła). Jest to zgodne z faktem, że aby wystąpiły istotne efekty związane z falową naturą światła, takie jak dyfrakcja na pojedynczej szczelinie, światło musi oddziaływać z obiektem o rozmiarze porównywalnym do długości jego fali. Widzimy również, że centralne maksimum rozciąga się na szerokość

20,7 °

w obie strony względem centrum i ma rozwartość około

41 °

. Kąt pomiędzy pierwszym i drugim minimum wynosi około

\ang{24}\

(

\ang{45} - \ang{20,7}\

). Tak więc drugie maksimum jest o połowę węższe od maksimum centralnego.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.1

Załóż, że szerokość szczeliny w Przykładzie 4.1 wzrosła do $1,8 \cdot 10^{-6} m$ . Jakie są teraz nowe wartości kątów obserwacji pierwszego, drugiego i trzeciego minimum? Czy jest możliwe wystąpienie czwartego minimum?