4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Światło przechodzące przez pojedynczą szczelinę tworzy obraz (wzór) dyfrakcyjny różniący się nieco od tych utworzonych przez podwójne szczeliny lub siatki dyfrakcyjne, które omówiliśmy w rozdziale o interferencji. Ilustracja 4.3 pokazuje obraz dyfrakcji zachodzący na pojedynczej szczelinie. Zauważmy, że centralne maksimum natężenia światła jest większe niż maksima z obu stron (maksima boczne) oraz że to natężenie światła zmniejsza się gwałtownie w miarę oddalania się od maksimum centralnego. W odróżnieniu od tego siatka dyfrakcyjna (Siatki dyfrakcyjne) wytwarza równomiernie rozmieszczone cienkie linie, które stopniowo zanikają po obu stronach centrum.

Ilustracja 4.3 Obraz dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. (a) Natężenie monochromatycznego światła przechodzącego przez pojedynczą szczelinę posiada centralne maksimum oraz wiele mniejszych i coraz ciemniejszych maksimów po obu stronach. Pik natężenia centralnego maksimum powinien być sześciokrotnie wyższy, niż to pokazano na rysunku. (b) Schemat pokazuje jasne centralne maksimum (jasny centralny prążek) oraz coraz ciemniejsze i cieńsze maksima po obu stronach.

Analizę dyfrakcji na pojedynczej szczelinie pokazano na Ilustracji 4.4. Pokazano, jak światło dociera do szczeliny, równomiernie ją oświetla, rozchodząc się w kierunku prostopadłym do jej szerokości. Następnie pokazane jest, w jaki sposób światło rozchodzi się dalej z różnych punktów tej szczeliny. Zgodnie z zasadą Huygensa (ang. Huygens’ principle) każdy punkt czoła fali w szczelinie emituje fale wtórne, jak to omawialiśmy w rozdziale Natura światła. Można to przedstawić za pomocą promieni, którym przypisujemy fazę, w tym jednakową fazę początkową, i które z każdego punktu czoła fali rozchodzą się we wszystkie strony. Każdy promień jest prostopadły do czoła fali. Przy założeniu, że odległość między szczeliną a ekranem jest duża w porównaniu z szerokością szczeliny, promienie zmierzają do wspólnego punktu docelowego prawie równolegle. Kiedy biegną w kierunku prostopadłym do ekranu, jak w części (a) rysunku, pozostają zgodne w fazie, a my obserwujemy centralne maksimum. Jednakże gdy promienie biegną pod kątem $\theta$ względem pierwotnego kierunku wiązki, każdy promień przebywa inną odległość, zmierzając do wspólnego punktu końcowego, w wyniku czego mogą one do niego docierać zgodne lub niezgodne w fazie. W części (b) promień dolny pokonuje odległość o jedną długość fali $\lambda$ większą niż promień górny. W związku z tym promień środkowy przemieszcza się na odległość o $\lambda ∕2$ mniejszą niż ten biegnący od dolnej krawędzi szczeliny, a w miejscu ich spotkania pojawia się w przeciwfazie i ulega interferencji destruktywnej (wygaszeniu). To samo dotyczy promienia wychodzącego nieco powyżej środka oraz promienia nieco powyżej dolnej krawędzi, które również nawzajem się wygaszają. W rzeczywistości każdy promień wychodzący ze szczeliny oddziałuje w ten sposób z innym promieniem. Innymi słowy, całkowite wygaszanie się wszystkich promieni daje minimum natężenia światła dla tego kąta. Bliźniacze minimum występuje przy kącie o tej samej wartości w punkcie leżącym poniżej środka ekranu (patrz Ilustracja 4.4).

Ilustracja 4.4 Światło przechodzące przez pojedynczą szczelinę jest uginane (rozchodzi się) we wszystkich kierunkach i może pod danym kątem ulegać interferencji konstruktywnej lub destruktywnej. Różnica długości dróg dla promienia dolnego i górnego z każdej strony szczeliny wynosi $Dsin\theta$.

Dla większego kąta w części (c) drogi optyczne górnego i dolnego promienia różnią się o $3\lambda ∕2$. Jeśli podzielimy teraz „w myśli” szczelinę na trzy równe części, to stosując podobne rozumowanie, możemy zauważyć, że w punkcie docelowym fale z dwóch części ekranu się wygaszają, a z trzeciej nie. Inaczej rozumując, dolny promień przebywa odległość większą o $\lambda$ od promienia górnego wychodzącego z punktu na wysokości $2∕3$ szczeliny i spotyka się z nim w tej samej fazie, ulegając wzmocnieniu. To samo dotyczy wszystkich promieni odpowiednio z dolnej i górnej trzeciej części szczeliny. Ponieważ jednak dla tego kąta nie wszystkie promienie wychodzące ze szczeliny ulegają interferencji konstruktywnej, drugie maksimum nie jest tak silne, jak maksimum centralne. Wreszcie w części (d) pokazano sytuację dla kąta takiego, że różnica długości dróg dla promieni z obu stron szczeliny wynosi $2\lambda$. Rozumujemy podobnie jak dla różnicy długości dróg równej $\lambda$, z tym że dzielimy szerokość szczeliny na cztery równe części, z których wychodzące fale wygaszają się parami, a efektem jest ciemny prążek na ekranie. Jak widać na Ilustracji 4.4, różnica długości dróg dla promieni z obu stron szczeliny wynosi $Dsin\theta$, a minimum natężenia jest uzyskiwane, gdy różnica ta jest całkowitą wielokrotnością długości fali.

W ten sposób warunek uzyskania destruktywnej interferencji dla pojedynczej szczeliny (ang. destructive interference for a single slit) jest następujący

gdzie $D$ jest szerokością szczeliny, $\lambda$ długością fali światła, $\theta$ kątem mierzonym względem pierwotnego kierunku padania światła, a $m=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$ jest rzędem kolejnego minimum. Na Ilustracji 4.5 przedstawiono widmo dyfrakcyjne dla pojedynczej szczeliny, tj. zależność natężenia światła od $sin\theta$. Jak widać, maksima po obu stronach centralnego maksimum mają mniejszą wartość natężenia i nie są tak szerokie. Ten efekt będzie badany w części Dyfrakcja na podwójnej szczelinie.

Ilustracja 4.5 Wykres pokazujący natężenie widma dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. Centralny pik jest szerszy i znacznie wyższy niż piki boczne. W rzeczywistości centralne maksimum jest sześć razy wyższe niż pokazane na rysunku.

Przykład 4.1

Obliczanie dyfrakcji na pojedynczej szczelinie

Światło widzialne o długości fali $550\mathrm{nm}$ pada na pojedynczą szczelinę i wytwarza drugie minimum dyfrakcyjne pod kątem $45°$ względem kierunku padania promieni, jak to pokazano na Ilustracji 4.6.

1. Jaka jest szerokość szczeliny?
2. Pod jakim kątem występuje pierwsze minimum?

Ilustracja 4.6 W tym przykładzie analizujemy wykres zależności natężenia światła na ekranie od kąta dla obrazu dyfrakcyjnego na pojedynczej szczelinie.

Strategia rozwiązania

Dla podanych informacji i przy założeniu, że ekran jest daleko od szczeliny, możemy zastosować równanie $Dsin\theta =m\lambda$ najpierw w celu wyznaczenia $D$, a następnie kąta ${\theta }_1$ dla pierwszego minimum.

Rozwiązanie

1. W treści zadania mamy podane, że $\lambda =550\mathrm{nm}$, $m=2$ i ${\theta }_2=45°$. Rozwiązujemy równanie $Dsin\theta =m\lambda$ ze względu na $D$ i podstawiając podane wartości, otrzymujemy
   $$D=\frac{m\lambda }{sin{\theta }_2}=\frac{2\cdot 550\mathrm{nm}}{sin\left(45°\right)}=\frac{1100\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}}{\mathrm{0,707}}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^{-6}\mathrm{m}\text{.}$$
2. Rozwiązanie równania $Dsin\theta =m\lambda$ dla $sin{\theta }_1$ i podstawienie podanych wartości daje
   $$sin{\theta }_1=\frac{m\lambda }{D}=\frac{550\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}}{\mathrm{1,56}\cdot {10}^{-6}\mathrm{m}}\text{.}$$
   Tak więc kąt ${\theta }_1$ jest równy
   $${\theta }_1=arc sin\left(\mathrm{0,354}\right)=\mathrm{20,7}°\text{.}$$

Znaczenie

Widzimy, że szczelina jest wąska (tylko kilka razy większa niż długość fali światła). Jest to zgodne z faktem, że aby wystąpiły istotne efekty związane z falową naturą światła, takie jak dyfrakcja na pojedynczej szczelinie, światło musi oddziaływać z obiektem o rozmiarze porównywalnym do długości jego fali. Widzimy również, że centralne maksimum rozciąga się na szerokość $\mathrm{20,7}°$ w obie strony względem centrum i ma rozwartość około $41°$. Kąt pomiędzy pierwszym i drugim minimum wynosi około $24°$ ($45°-\mathrm{20,7}°$). Tak więc drugie maksimum jest o połowę węższe od maksimum centralnego.