Zadania

Oblicz wartość siły grawitacji występującej pomiędzy dwiema sferycznymi, stalowymi kulkami, z których każda ma masę 5 kg, a ich środki oddalone są od siebie o 15 cm.

Astrologowie przywiązują dużą wagę do położenia planet w momencie urodzenia dziecka. Jedyną znaną siłą, jaką inne planety wywierają na Ziemię jest siła grawitacji.

1. Oblicz siłę grawitacji, jaką wywiera ojciec obecny przy porodzie swojego dziecka, stojąc 0,2 m od niego w momencie urodzenia. Przyjmij masę ojca wynoszącą 100 kg, a noworodka 4,2 kg.
2. Oblicz, z jaką siłą oddziałuje wówczas na dziecko Jowisz, przyjmując, że jest on akurat najbliżej Ziemi, a więc jego odległość od noworodka wynosi $\mathrm{6,29}\cdot {10}^{11}\mathrm{m}$. Masa Jowisza wynosi $m_J=\mathrm{1,9}\cdot {10}^{27}\mathrm{k}\mathrm{g}$. Jaki jest stosunek siły grawitacji wywieranej na dziecko przez ojca, w porównaniu do tej wywieranej przez Jowisza? Zauważ, że także inne obiekty w pokoju i budynku szpitala oddziałują na dziecko z siłą grawitacji o podobnej wartości jak ojciec. (Z przymrużeniem oka: oczywiście, może istnieć nieodkryta dotąd siła, która wywiera oddziaływanie na noworodki. Jednak naukowcy najpierw muszą się przekonać, że istnieją jakieś jej skutki, oraz że, to właśnie ta nieznana siła je wywołuje).

Międzynarodowa Stacja Kosmiczna ma masę około 370 000 kg.

1. Jaka jest wartość siły grawitacji z jaką przyciąga ona ubranego w skafander kosmiczny astronautę o masie 150 kg, znajdującego się w odległości 20 m od jej środka masy?
2. Uważasz, że obliczona przez ciebie wartość siły jest dokładna?

Źródło ilustracji: ©ESA–David Ducros

1. Ile wynosiło przyspieszenie Ziemi spowodowane przelotem asteroidy Toutatis (patrz poprzednie zadanie) podczas ich największego zbliżenia?
2. Ile wynosiło wówczas przyspieszenie asteroidy Toutatis wywołane przez Ziemię?

1. Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Księżyca?
2. Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Marsa? Masa Marsa wynosi $\mathrm{6,418}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}$, a jego promień ma długość $\mathrm{3,38}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

Masa ciała wynosi 15 kg.

1. Ile wynosi jego ciężar na Ziemi?
2. Ile wynosi jego ciężar na Księżycu?
3. Ile wynosi jego masa na Księżycu?
4. Ile wynosi jego ciężar w otwartej przestrzeni kosmicznej, z dala od jakichkolwiek ciał niebieskich?
5. Ile wynosi jego masa w tym punkcie?

Średnica Saturna wynosi $\mathrm{1,2}\cdot {10}^8\mathrm{m}$, a jego średnia gęstość wynosi $\mathrm{0,69}{\text{g/cm}}^3$. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Saturna.

Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni pewnej planety jest trzy razy większe niż na powierzchni Ziemi. Gęstość tej planety jest dwukrotnie większa niż gęstość Ziemi. Ile wynosi długość promienia tej planety, w stosunku do długości promienia Ziemi?

Wyznacz prędkość ucieczki pocisku z powierzchni Marsa.

Jaka jest prędkość ucieczki satelity umieszczonego na orbicie Księżyca wokół Ziemi? Załóż, że Księżyc nie znajduje się w pobliżu satelity.

Załóżmy, że właśnie zauważono średniej wielkości planetoidę o masie $2\cdot {10}^{13}\mathrm{k}\mathrm{g}$, znajdującą się obecnie w odległości $5\cdot {10}^7\mathrm{k}\mathrm{m}$ od Ziemi, która leci prosto w kierunku Ziemi z prędkością 2 km/s. Jaka będzie jej prędkość tuż przed wejściem w naszą atmosferę? (Można zaniedbać rozmiary asteroidy).

1. Ile wynosi zmiana energii ciała o masie 1000 kg będącego w spoczynku na powierzchni Ziemi po przeniesieniu go na powierzchnię Księżyca i pozostawieniu go w spoczynku?
2. Jaka byłaby odpowiedź, jeśli ciało zostałoby przeniesione w drugą stronę? Czy koniecznie trzeba obliczać zmianę energii za każdym razem przy przenoszeniu ciała tam i z powrotem?

Dwie planety krążące wokół pewnej gwiazdy mają prędkości orbitalne $v$ i $2v$.

1. Jaki jest stosunek promieni orbit tych planet?
2. Jaki jest stosunek okresów orbitalnych tych planet?

1. Jaki jest promień orbity satelity, którego okres obiegu Ziemi jest równy 1 godzinie?
2. Co jest nieracjonalnego w otrzymanym wyniku?

Wyznacz masę Jowisza na podstawie faktu, że promień orbity Io, jego najbardziej wewnętrznego księżyca, ma średnią długość 421 700 km i okres obiegu orbity wynosi 1,77 dnia.

(a) Aby powstrzymać małego satelitę od dryfowania w kierunku pobliskiej asteroidy, jest on umieszczony na jej orbicie o okresie 3,02 godziny i promieniu 2 km. Ile wynosi masa asteroidy? (b) Czy ta masa wydaje się być sensowna, biorąc pod uwagę rozmiar orbity?

Słońce obiega środek Drogi Mlecznej po prawie kołowej orbicie o średnim promieniu około 30 000 lat świetlnych, z częstotliwością raz na 250 milionów lat. (Rok świetlny to odległość przebywana przez światło w ciągu 1 roku.)

1. Oblicz przyspieszenie dośrodkowe Słońca na jego orbicie galaktycznej. Czy ten wynik wspiera tezę, że układ odniesienia związany ze Słońcem jest niemal idealnie inercjalny?
2. Oblicz średnią prędkość orbitalną Słońca na orbicie galaktycznej. Czy wynik cię zaskakuje?

Oblicz masę Słońca znając średnią wartość długości promienia orbity ziemskiej i porównaj otrzymaną wartość z tablicową masą Słońca równą $\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Tablicowa średnia wartość promienia orbity obiektu okrążającego Słońce nie jest zazwyczaj średnią ważoną, kroczącą, ale jest obliczana w taki sposób, że kiedy podstawi się ją do równania dla orbity kołowej, otrzyma się prawidłową wartość okresu orbitalnego. Biorąc to pod uwagę, jak ma się średni promień orbity w odniesieniu do odległości między aphelium i peryhelium?

Odległość peryhelium komety Lagerkvista od Słońca wynosi 2,61 j.a., a jej okres orbitalny wynosi 7,36 lat. Wykaż, że odległość jej aphelium od Słońca wynosi 4,95 j.a..

Planetoida Eros porusza się po orbicie eliptycznej wokół Słońca. Odległość jej peryhelium od Słońca wynosi 1,13 j.a., a jej aphelium jest oddalone od Słońca o 1,78 j.a.. Oblicz jej okres orbitalny.

Gdyby Słońce zapadło się w czarną dziurę, to horyzont zdarzeń leżałby w odległości około 3 km od środka tej osobliwości grawitacyjnej. Czy obserwator mógłby przeżyć w odległości 300 km od jej środka? Odpowiedz na to pytanie obliczając różnicę siły przyciągania grawitacyjnego, jakie czarna dziura wywierałaby na 1 kg masy obserwatora przy jego stopach i głowie. Załóż, że obserwator ma wzrost przeciętnego człowieka.

Jaka jest długość promienia Schwarzschilda czarnej dziury w centrum naszej galaktyki, jeśli ma ona masę równą 4 milionom mas Słońca?