Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 113.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać związki między stałymi GG i gg;
  • wyznaczać masę ciał niebieskich na podstawie wartości przyspieszenia grawitacyjnego na ich powierzchni;
  • opisywać, w jaki sposób wartość gg zmienia się w zależności od położenia i prędkości obrotowej Ziemi.

W tym podrozdziale pokażemy, w jaki sposób stosuje się prawo powszechnego ciążenia na powierzchni planety i jak łączy się ono z tym, czego dowiedzieliśmy się wcześniej o spadku swobodnym. Zbadamy także efekty grawitacyjne wewnątrz ciał kulistych.

Ciężar ciała

Przypomnijmy, że przyspieszenie swobodnie spadających ciał przy powierzchni Ziemi wynosi około g = 9,8 m/s 2 g = 9,8 m/s 2 . Siła, która jest źródłem tego przyspieszenia, nazywana jest siłą ciężkości lub potocznie ciężarem ciała. Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona ma ona wartość m g mg. Siła ta występuje niezależnie od tego, czy ciało spada swobodnie, czy nie. Teraz już wiemy, że ciężar jest to siła grawitacji działająca pomiędzy ciałem o masie m m i Ziemią. Podstawiając m g mg w miejsce wartości siły F 12 F 12 w prawie powszechnego ciążenia, m m za m 1 m 1 oraz M Z M Z za m 2 m 2 , otrzymujemy równanie:

m g = G m M Z r 2 , m g = G m M Z r 2 ,

gdzie r r jest odległością między środkiem masy Ziemi i danego ciała. Średni promień Ziemi wynosi około 6370 km. W związku z tym dla ciał znajdujących się kilka kilometrów nad powierzchnią Ziemi możemy przyjąć r = R Z r= R Z (Ilustracja 13.7). Masa ciała m m skraca się po obu stronach równania, dając:

g = G M Z r 2 . g=G M Z r 2 .
13.2

Równanie to tłumaczy, dlaczego wszystkie ciała spadają na Ziemię z tym samym przyspieszeniem, niezależnie od ich masy. Zignorowaliśmy fakt, że także Ziemia uzyskuje pewne przyspieszenie w kierunku spadającego na nią ciała, jednak uproszczenie to jest poprawne, jeśli tylko masa ciała jest zaniedbywalna w porównaniu z masą Ziemi.

Rysunek przedstawia ilustrację Ziemi, z budynkiem umieszczonym na jego powierzchni. Ćwierć powierzchni kuli zostało wycięte i przedstawia przekrój Ziemi z zaznaczonymi kilkoma warstwami. Środek masy Ziemi oznaczono ŚM, a promień Ziemi poprowadzony od środka Ziemi do budynku jest oznaczony RZ. Pokazano także powiększony widok budynku i części ziemi. W tym widoku widać, że strzałka oznaczona RZ kończy się w budynku, nieco powyżej powierzchni Ziemi.
Ilustracja 13.7 Możemy przyjąć, że odległość między środkiem masy Ziemi i obiektem na jej powierzchni jest równa promieniowi Ziemi pod warunkiem, że rozmiar tego obiektu jest dużo mniejszy niż promień Ziemi.

Przykład 13.3

Masa Ziemi i Księżyca

Czy zastanawiałeś się kiedykolwiek, w jaki sposób wyznaczono masę Ziemi? Na pewno nie można jej po prostu położyć na wadze. Wartość przyspieszenia ziemskiego g g oraz promień Ziemi zostały zmierzone dość precyzyjnie wieki temu.
  1. Korzystając ze znanych wartości g g, R Z R Z i Równania 13.2, wyznacz masę Ziemi.
  2. Określ wartość przyspieszenia grawitacyjnego g g na Księżycu. Skorzystaj ze znanej długości promienia Księżyca równej 1700 km (wartość ta także została wyznaczona z dużą dokładnością wieki temu) i załóż, że Księżyc ma taką samą średnią gęstość jak Ziemia, wynoszącą 5500 kg/m 3 5500 kg/m 3 .

Strategia rozwiązania

Znając wartość przyspieszenia ziemskiego g g i promień Ziemi R Z R Z , możemy użyć Równania 13.2 do wyznaczenia masy Ziemi M Z M Z . Aby wyznaczyć przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu musimy znać jego masę. Do wyznaczenia masy Księżyca wykorzystamy założenie o równej średniej gęstości Ziemi i Księżyca oraz związku między stosunkiem mas a stosunkiem promieni Ziemi i Księżyca.

Rozwiązanie

  1. Przekształcając Równanie 13.2, otrzymujemy:
    M Z = g R Z 2 G = 9,8 m / s 2 ( 6,37 10 6 m ) 2 6,67 10 11 N m 2 / k g 2 = 5,95 10 24 k g . M Z = g R Z 2 G = 9,8 m / s 2 ( 6,37 10 6 m ) 2 6,67 10 11 N m 2 / k g 2 =5,95 10 24 k g .
  2. Objętość kuli jest proporcjonalna do sześcianu jej promienia, więc, korzystając z definicji gęstości, otrzymujemy proporcję:
    M K M Z = R K 3 R Z 2 M K = ( 1,7 10 6 m ) 3 ( 6,37 10 6 m ) 3 5,95 10 24 k g = 1,1 10 23 k g . M K M Z = R K 3 R Z 2 M K = ( 1,7 10 6 m ) 3 ( 6,37 10 6 m ) 3 5,95 10 24 k g =1,1 10 23 k g .

    Następnie, używając Równania 13.2=, możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu:
    g K = G M K R K 2 = 6,67 10 11 N m 2 k g 2 1,1 10 23 k g ( 1,7 10 6 m ) 2 = 2,5 m s 2 . g K =G M K R K 2 =6,67 10 11 N m 2 k g 2 1,1 10 23 k g ( 1,7 10 6 m ) 2 =2,5 m s 2 .

Znaczenie

Kiedy w 1798 roku Cavendish wyznaczył wartość stałej grawitacji G G, można było obliczyć masę Ziemi. (W rzeczywistości był to ostateczny cel eksperymentu Cavendisha). Wyznaczona powyżej wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu jest nieprawidłowa. W rzeczywistości średnia gęstość Księżyca wynosi jedynie 3340 kg/m 3 3340 kg/m 3 , a w związku z tym przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni ma wartość g K = 1,6 m / s 2 g K =1,6 m / s 2 . Newton próbował zmierzyć masę Księżyca przez porównanie wpływu Słońca z wpływem Księżyca na pływy oceaniczne występujące na Ziemi. Otrzymana przez niego wartość była jednak dwukrotnie zaniżona. Najdokładniejsze wartości przyspieszenia grawitacyjnego i masy Księżyca pochodzą z obserwacji ruchu statków kosmicznych, które orbitowały wokół Księżyca. Masa Księżyca może jednak być określona precyzyjnie, bez konieczności podróży na niego. Ziemia i Księżyc poruszają się wokół wspólnego środka masy, a dokładne pomiary astronomiczne pozwalają określić jego lokalizację. Stosunek masy Księżyca do masy Ziemi jest równy stosunkowi odległości między ich wspólnym środkiem masy, a środkiem Księżyca do odległości między ich środkiem masy, a środkiem Ziemi.

W dalszej części rozdziału zobaczymy, że także masa innych ciał niebieskich może zostać wyznaczona na podstawie pomiaru okresu obiegających je satelitów. Jednak zanim Cavendish wyznaczył wartość stałej grawitacji G G, masy wszystkich ciał niebieskich były nieznane.

Przykład 13.4

Grawitacja ponad powierzchnią Ziemi

Ile wynosi wartość g g na wysokości 400 km ponad powierzchnią Ziemi, na której orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna?

Strategia rozwiązania

Na podstawie wartości M Z M Z oraz podstawiając w tym wypadku r = R Z + 400 k m r= R Z +400 k m , użyjemy Równania 13.2, by obliczyć wartość g g.

Z Równania 13.2 otrzymujemy:

g = G M Z r 2 = 6,67 10 11 N m 2 k g 2 5,96 10 34 k g ( 6,37 10 6 m + 400 10 3 m ) 2 = 8,67 m s 2 . g=G M Z r 2 =6,67 10 11 N m 2 k g 2 5,96 10 34 k g ( 6,37 10 6 m + 400 10 3 m ) 2 =8,67 m s 2 .

Znaczenie

Często możemy zobaczyć filmy, na których astronauci na stacji kosmicznej znajdują się pozornie w stanie nieważkości, chociaż oczywiście działa na nich siła grawitacji. Porównując obliczoną właśnie wartość g g z wartością przyspieszenia ziemskiego na powierzchni Ziemi ( 9,8 m/s 2 9,8 m/s 2 ), zauważymy, że astronauci na Międzynarodowej Stacji Kosmicznej nadal mają 88% swojego ciężaru. Wydaje się jedynie, że znajdują się oni w stanie nieważkości, ponieważ w rzeczywistości spadają oni swobodnie. Powrócimy do tej kwestii w podrozdziale Orbity satelitów i ich energia.

Sprawdź, czy rozumiesz 13.2

Jak zmieni się twój ciężar na ostatnim piętrze drapacza chmur w porównaniu do tego, jaki masz na jego pierwszym piętrze? Czy uważasz, że inżynierowie muszą brać pod uwagę zmianę wartości g g podczas projektowania wysokich budynków?

Pole grawitacyjne

Równanie 13.2 jest równaniem skalarnym, określającym zależność wartości przyspieszenia grawitacyjnego jako funkcję odległości od środka masy ciała, będącego źródłem tego przyspieszenia. Możemy jednak zachować postać wektorową siły grawitacji w Równaniu 13.1, i zapisać przyspieszenie w postaci wektorowej jako:

g = G M r 2 r ^ . g =G M r 2 r ^ .

Określamy wówczas pole wektorowe reprezentowane przez wektor g g jako pole grawitacyjne (ang. gravitational field), którego źródłem jest masa M M. Możemy przedstawić to pole tak, jak pokazano na Ilustracji 13.8. Linie na rysunku są skierowane wzdłuż promienia w kierunku źródła pola grawitacyjnego i są symetrycznie rozmieszczone wokół masy.

Rysunek ten pokazuje trójwymiarowy wykres wektorowy. Osie x, y, z układu współrzędnych zostały zaznaczone. Kulista masa M jest pokazana jako źródło pola, a zaznaczone wektory wskazują na nią. Strzałki mają coraz mniejszą długość ze wzrostem ich odległości od źródła. Zaznaczono także sześcian, ustawiony zgodnie z kierunkiem osi układu współrzędnych.
Ilustracja 13.8 Trójwymiarowa reprezentacja pola grawitacyjnego wokół masy M M . Należy pamiętać, że linie są równomiernie rozłożone we wszystkich kierunkach. (Sześcian został dodany jedynie w celu ułatwienia wizualizacji.)

Podobnie jak w przypadku dowolnego pola wektorowego, kierunek wektora g g w każdym punkcie jest równoległy do linii pola grawitacyjnego, a jego długość w każdym z punktów jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między tymi liniami. Inaczej mówiąc, wartość pola w każdym obszarze jest proporcjonalna do liczby linii pola, które przechodzą przez jednostkową powierzchnię, czyli do gęstości linii pola. Ponieważ linie te są równomiernie rozmieszczone we wszystkich kierunkach (jednorodne pole centralne), to ich liczba na jednostkę powierzchni w odległości r r od ciała jest równa całkowitej liczbie linii sił pola, podzielonej przez pole powierzchni kuli o promieniu r r, które z kolei jest proporcjonalne do r 2 r 2 . Dlatego też powyższy rysunek doskonale obrazuje prawo odwrotności kwadratów, a dodatkowo wskazuje kierunek pola. Przedstawiając pole w taki sposób, mówimy, że masa m m oddziałuje z polem grawitacyjnym, którego źródłem jest masa M M. Koncepcja pól będzie bardzo pomocna w późniejszych rozdziałach dotyczących elektromagnetyzmu.

Ciężar pozorny: wykazanie ruchu obrotowego Ziemi

W podrozdziale Zastosowania praw Newtona dowiedzieliśmy się, że na ciała poruszające się ze stałą prędkością po okręgu działa przyspieszenie dośrodkowe, skierowane wzdłuż promienia w kierunku środka tego okręgu. Oznacza to, że musi istnieć wypadkowa siła skierowana do środka okręgu. Ponieważ wszystkie ciała na powierzchni Ziemi poruszają się po okręgu z okresem wynoszącym 24 godziny, to musi istnieć wypadkowa siła dośrodkowa, działająca na każde z nich skierowana w kierunku środka tego okręgu. O sile dośrodkowej, a nie odśrodkowej, mówimy tylko wtedy, gdy obserwator zewnętrzny, nie znajdujący się na Ziemi, stwierdza, że tą siłą dośrodkową jest w istocie realna siła grawitacji. O sile i przyspieszeniu odśrodkowym może mówić obserwator znajdujący się na Ziemi, czyli odczuwający siłę odśrodkową bezwładności.

Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy ciało o masie m m znajduje się na równiku i jest zawieszone na wadze sprężynowej (Ilustracja 13.9). Na ciało działa siła F s F s skierowana w górę od środka Ziemi. Waga sprężynowa wskazuje wartość tej siły, zwanej pozorną siłą ciężkości lub ciężarem pozornym ciała. Siła ciężkości ( m g mg ) skierowana jest w kierunku środka Ziemi. Gdyby Ziemia się nie obracała, to przyspieszenie dośrodkowe byłoby równe zero i w konsekwencji także wypadkowa siła dośrodkowa byłaby równa zero, a w rezultacie otrzymalibyśmy F s = m g F s = m g . Takie byłoby wówczas wskazanie wagi.

Rysunek Ziemi, obracającej się wokół osi północ-południe, z masami zawieszonymi na wagach sprężynowych przedstawionych w trzech miejscach. Promień Ziemi jest oznaczony jako RZ, jej środek jest oznaczony przez O. Jedna waga sprężynowa znajduje się powyżej bieguna północnego. Pokazano skierowaną do góry siłę F S N i w dół siłę m g działające na masę zawieszoną na tej wadze sprężynowej. Zaznaczono przerywaną linię poprowadzoną od środka Ziemi do bieguna północnego. Druga waga sprężynowa jest pokazana po prawej stronie równika, a zaznaczona linia przerywana prowadzi od środka Ziemi do równika po prawej stronie Ziemi. Siły działające na ciało zawieszone na tej wadze są oznaczone jako siła F S E w prawo i m g w lewo. Trzecia waga sprężynowa jest pokazana pod kątem lambda do poziomu. Linię przerywaną poprowadzono pod tym kątem od środka do powierzchni Ziemi. Pozioma odległość od powierzchni ziemi pod kątem fi do pionowej przerywanej linii łączącej środek Ziemi z biegunem północnym jest oznaczona jako r. Punkt w którym przerywana linia pionowa przecina się z linią oznaczoną r, oznaczono jako P. Przedstawiono trzy siły działające na trzecią masę. Jedna siła jest oznaczona F S i wskazuje wzdłuż promienia na zewnątrz Ziemi. Druga siła, oznaczona m g wskazuje wzdłuż promienia do wewnątrz Ziemi. Trzecia siła, wskazuje w kierunku poziomym w lewo.
Ilustracja 13.9 Na równiku przyspieszenie dośrodkowe a d a d ma ten sam kierunek co siła grawitacji. Na szerokości geograficznej φ φ , kąt pomiędzy a d a d a siłą grawitacji jest równy φ φ . Wartość a d a d maleje ze wzrostem szerokości geograficznej, jak funkcja cos φ cos φ .

W przypadku obracającej się Ziemi, suma tych sił musi zapewnić występowanie przyspieszenia dośrodkowego a d a d . Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona, otrzymujemy:

F = F s m g = m a d , gdzie a d = v 2 r . F= F s mg=m a d ,gdzie a d = v 2 r .
13.3

Należy zwrócić uwagę, że przyspieszenie odśrodkowe a d a d , odczuwane przez obserwatora na Ziemi, ma ten sam kierunek i przeciwny zwrot niż siła ciężkości. Prędkość liniowa w ruchu po okręgu v v jest prędkością ciała na równiku, a wtedy r r jest równe R Z R Z . Prędkość tę możemy łatwo obliczyć, zauważając, że ciała na równiku pokonują odległość równą obwodowi Ziemi w czasie 24 godzin. Użyjmy w tym celu alternatywnego wyrażenia na a d a d z podrozdziału Ruch w dwóch i trzech wymiarach. Przypomnijmy, że prędkość liniowa jest związana z prędkością kątową ω ω zależnością v = r ω v = r ω . Stąd otrzymujemy a d = r ω 2 a d = r ω 2 . Przekształcając Równanie 13.3 i podstawiając w miejsce r = R Z r= R Z , pozorna siła ciężkości na równiku wynosi:

F s = m ( g R Z ω 2 ) . F s =m(g R Z ω 2 ).

Prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi jest taka sama na całej jej powierzchni i wynosi:

ω = 2 π r a d 24 3600 s = 7,27 10 5 r a d s . ω= 2 π r a d 24 3600 s =7,27 10 5 r a d s .

Podstawiając wartości w miejsce R Z R Z oraz ω ω , otrzymujemy wartość przyspieszenia odśrodkowego, odczuwanego przez obserwatora na Ziemi, która wynosi R Z ω 2 = 0,0337 m / s 2 R Z ω 2 =0,0337 m / s 2 . Stanowi ono jedynie 0,34% wartości przyspieszenia grawitacyjnego, więc jest to naprawdę niewielka poprawka.

Przykład 13.5

Pozorna siła ciężkości równa zero

Jak szybko Ziemia musiałaby się kręcić, aby wartość pozornej siły ciężkości działającej na ciała na równiku była równa zero? Jak długo trwałby wówczas dzień?

Strategia rozwiązania

Do Równania 13.3 podstawimy wartość ciężaru pozornego ( F s F s ) równą zero i wyznaczymy odpowiadającą temu wartość przyspieszenia odśrodkowego. Stąd wyznaczymy prędkość liniową, jaką miałyby wówczas ciała na ziemskim równiku. Następnie wyznaczymy długość dnia, wiedząc, że jest to czas potrzebny na jeden pełny obrót Ziemi.

Rozwiązanie

Z Równania 13.2 mamy F = F s m g = m a d F= F s mg=m a d , zakładając F s = 0 F s = 0 , otrzymujemy g = a d g= a d . Używając wyrażenia na a d a d i podstawiając wartości promienia Ziemi i przyspieszenia ziemskiego dostajemy:
a d = v 2 r = g v = g r = 9,80 m / s 2 6,37 10 6 m = 7,91 10 3 m s . a d = v 2 r = g v = g r = 9,80 m / s 2 6,37 10 6 m = 7,91 10 3 m s .

Okres obrotu Ziemi T T jest to czas potrzebny na jeden pełny obrót Ziemi. W związku z tym prędkość liniowa ciała na równiku jest równa obwodowi okręgu, po którym porusza się ciało, czyli w tym przypadku obwodowi Ziemi, podzielonemu przez T T. Dostajemy więc:

v = 2 π r T T = 2 π r v = 2 3,14 6,37 10 6 m 7,91 10 3 m / s = 5,06 10 3 s . v = 2 π r T T = 2 π r v = 2 3,14 6,37 10 6 m 7,91 10 3 m / s = 5,06 10 3 s .

Jest to czas około 84 minut.

Znaczenie

W dalszej części rozdziału zobaczymy, że wyznaczona tu wartości pierwszej prędkości kosmicznej v = g r = G M Z / R Z v= g r = G M Z / R Z jest równa prędkości orbitalnej (tzw. pierwszej prędkości kosmicznej). Z uwagi na obecność atmosfery ziemskiej, a tym samym opór powietrza, ruch satelitów nie jest możliwy w pobliżu powierzchni Ziemi. Z pewnością mogą się one jednak poruszać już na wysokości kilkuset kilometrów nad Ziemią.

Przypadek większych szerokości geograficznych

Przy zbliżaniu się do biegunów a d 0 a d 0 i na samych biegunach F s = m g F s =mg, tak samo jak w przypadku braku ruchu obrotowego Ziemi. Dla każdej innej szerokości geograficznej φ φ, sytuacja jest bardziej skomplikowana. Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane w kierunku zaznaczonego na rysunku punktu P P, a wówczas promień okręgu r = R Z cos φ r= R Z cosφ. Suma wektorowa siły ciężkości i ciężaru pozornego musi być skierowana do punktu P P. Różnica ta jest mała i znacznie wyolbrzymiona na rysunku. W konsekwencji siła F s F s nie ma już kierunku wzdłuż promienia od środka Ziemi, lecz jest nieznacznie odchylona (niewidoczne na rysunku). Ciężarek zawieszony na linie będzie zawsze wyznaczał pion także wzdłuż tego odchylonego kierunku. Wszystkie budynki na Ziemi są ustawione także wzdłuż odchylonego kierunku, a nie wzdłuż promienia Ziemi. W przypadku najwyższych budynków odchylenie to na ich szczycie wynosi około 1 metra.

Warto również zauważyć, że Ziemia nie jest idealną sferą. Jej wnętrze jest częściowo ciekłe, a to zwiększa wybrzuszenie Ziemi na równiku z powodu ruchu obrotowego. Promień Ziemi jest około 30 km większy w kierunku równika w porównaniu z kierunkiem do biegunów. Jako ćwiczenie pozostawiamy porównanie siły grawitacji na biegunach i na równiku za pomocą Równania 13.2. Różnica wynikająca z innej długości promienia Ziemi jest porównywalna z różnicą wynikającą z ruchu obrotowego i ma taki sam znak. Wydaje się, że naprawdę można się „schudnąć” przenosząc się do tropików.

Grawitacja z dala od powierzchni

Zaczęliśmy nasze rozważania bez podania dowodu na to, że prawo powszechnego ciążenia ma zastosowanie do sferycznie symetrycznych ciał, gdzie można przyjąć, że cała masa takiego ciała zlokalizowana jest w jego środku. Ponieważ Równanie 13.2 wywodzi się z Równania 13.1, jest ono także poprawne dla sferycznie symetrycznie rozłożonej masy, ale oba równania są poprawne tylko dla r R Z r R Z . Jak widzieliśmy w Przykładzie 13.4, 400 km nad powierzchnią Ziemi, gdzie orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna, wartość g g wynosi 8,67 m/s 2 8,67 m/s 2 . (Dalej zobaczymy, że jest to także wartość przyspieszenia dośrodkowego stacji, czyli takiego, które rejestruje obserwator będący z dala od stacji. Astronauta na stacji odczuwa takie samo co do wartości przyspieszenie, jednak jest ono skierowane na zewnątrz orbity i nazywa się przyspieszeniem odśrodkowym).

Dla promienia r < R Z r < R Z , Równanie 13.1 i Równanie 13.2 nie są poprawne. Jednak możemy wyznaczyć wartość g g dla tych przypadków, korzystając z prawa Gaussa. Jest ono potężnym narzędziem matematycznym, które będziemy badać bardziej szczegółowo w dalszej części kursu. Konsekwencją zastosowania prawa Gaussa do grawitacji jest fakt, że tylko część masy ciała, znajdująca się wewnątrz kuli o promieniu r r , jest źródłem siły grawitacji. Podobnie jak poprzednio możemy przyjąć, że ta część masy ciała także znajduje się w jego środku. Efekt grawitacyjny części masy ciała, znajdującej się na zewnątrz promienia r r , znosi się.

Występują tu dwa bardzo ciekawe przypadki szczególne. W przypadku kulistych planet o stałej gęstości, część ich masy zlokalizowanej wewnątrz promienia r r jest równa gęstości pomnożonej przez objętość kuli o promieniu r r. Masę tę można traktować jako zlokalizowaną w środku planety. Gdy podstawimy w miejsce M Z M Z tylko tę jej część, która znajduje się wewnątrz kuli o promieniu r r, wtedy M = ρ ( objętość kuli ) M=ρ(objętość kuli) i w miejsce R Z R Z podstawiamy r r, Równanie 13.2 przybiera postać:

g = G M Z R Z 2 = G ρ 4 3 π r 3 r 2 = 4 3 G ρ π r . g=G M Z R Z 2 =G ρ 4 3 π r 3 r 2 = 4 3 Gρπr.

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego g g, i w związku z tym także twój ciężar, malałyby liniowo w miarę zbiliżania się do środka dziury wydrążonej wydrążonej w kulistej planecie. Po dotarciu do jej środka byłbyś nieważki, ponieważ masa planety przyciągała by cię jednakowo we wszystkich kierunkach ku jej powierzchni. W rzeczywistości gęstość Ziemi nie jest stała, podobnie jak i cała Ziemia nie jest ciałem stałym. Ilustracja 13.10 pokazuje zależność g g wynikającą z prawa Gaussa, przy założeniu stałej gęstości Ziemi, oraz bardziej rzeczywistą zależność opartą na szacunkach gęstości Ziemi, pochodzących z danych sejsmicznych.

Rysunek przedstawia wycinek Ziemi. Pokazuje kilka warstw wnętrza Ziemi. Legenda opisuje jej warstwy począwszy od powierzchni do wewnątrz. Zaznaczono górny płaszcz w kolorze różowym, dolny płaszcz w kolorze czerwonym, jądro zewnętrzne (płynne) w kolorze pomarańczowym i jądro wewnętrzne (stałe) w kolorze żółtobrązowym. Górny płaszcz jest znacznie cieńszy niż dolny płaszcz i jądro zewnętrzne, które są w przybliżeniu tej samej grubości, a długość promienia jądra wewnętrznego jest większa niż grubość warstwy górnego płaszcza, ale mniejsza niż grubość jądra zewnętrznego. Poniżej tej ilustracji przedstawiono wykres przyspieszenia w metrach na sekundę do kwadratu jako funkcję promienia w tysiącach kilometrów. Skala pionowa jest w zakresie od 0 do 12 metrów na sekundę do kwadratu, a zakres skali poziomej wynosi od 0 do 14 tysięcy kilometrów. Pionowe słupki o takiej samej kolorystyce jak ilustracja Ziemi są wyrównane do powyższego rysunku Ziemi. Jądro wewnętrzne rozciąga się od 0 do nieco ponad 1000 km. Jądro zewnętrzne rozciąga się do nieco poniżej 4000 km. Dolny płaszcz rozciąga się do prawie 6000 km. Górny płaszcz rozciąga się do ponad 6000 km. Niebieska krzywa oznaczona 'model sejsmologiczny', zaczyna się od środka i wzrasta prawie liniowo do ponad 10 metrów na sekundę do kwadratu na zewnętrznej krawędzi jądra zewnętrznego. Krzywa następnie zmniejsza się do poniżej 10 przy zewnętrznej krawędzi górnego płaszcza. Krzywa następnie maleje szybciej, ale jej nachylenie maleje z promieniem. Druga zielona krzywa jest oznaczona 'stała gęstość'. Jest to linia prosta od początku wykresu do punktu o promieniu ponad 6000 km (powierzchni Ziemi) i wartości przyspieszenia wynoszącej niecałe 10 (taka sama wartość jak dla krzywej niebieskiej na powierzchni Ziemi)
Ilustracja 13.10 Dla r < R Z r < R Z , wartość przyspieszenia grawitacyjnego g g w przypadku stałej gęstości przedstawiono za pomocą zielonej linii. Niebieska linia przedstawia profil g g wyznaczony na podstawie sejsmologicznego modelu Ziemi, który jest bardziej zbliżony do rzeczywistego profilu przyspieszenia grawitacyjnego wewnątrz Ziemi.

Drugi ciekawy przypadek dotyczy życia na planecie zbudowanej w formie kulistej powłoki. Ten scenariusz został zaproponowany w wielu opowiadaniach science fiction. Pomijając istotne problemy inżynierskie, powłoka może być zbudowana z zadanym promieniem i masie całkowitej dobranych tak, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego g g na powierzchni powłoki jest taka sama jak na Ziemi. Czy wiesz, co by się stało, gdybyś zjeżdżał w windzie do wnętrza powłoki, gdzie nie byłoby żadnej masy między tobą i jej środkiem? Jakie korzyści wynikałyby z tego faktu, w przypadku podróżowania na duże odległości pomiędzy dwoma punktami na powierzchni powłoki? Jaki efekt by się pojawił, jeśli planeta by się obracała?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.