Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

13.7 Teoria grawitacji Einsteina

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 113.7 Teoria grawitacji Einsteina
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać, w jaki sposób teoria względności jest powiązana z grawitacją;
  • wyjaśniać zasadę równoważności;
  • obliczać promień Schwarzschilda;
  • podawać dowody istnienia czarnych dziur.

Prawo powszechnego ciążenia wyjaśnia wiele faktów obserwacyjnych, które dostrzegliśmy w naszym Układzie Słonecznym. Rzeczywiście, same prawa Newtona wystarczyły, aby precyzyjnie wysłać każdy pojazd kosmiczny w podróż. Tory asteroid przecinających orbitę Ziemi i większości innych ciał niebieskich mogą być także dokładnie określone przy użyciu jedynie praw Newtona. Niemniej jednak, wiele zjawisk wykazało rozbieżność od tego, co przewidują prawa Newtona. Są to m.in. precesja orbity Merkurego i sposób, w jaki grawitacja oddziałuje ze światłem. W tym podrozdziale zapoznamy się z innym sposobem podejścia do grawitacji.

Rewolucja w podejściu

W 1905 roku Albert Einstein (1879–1955) opublikował szczególną teorię względności (ang. Theory of Special Relativity). Teoria ta została omówiona szczegółowo w rozdziale Teoria względności, więc powiemy w tym miejscu o niej tylko kilka słów. W teorii tej, prędkość żadnego ciała nie może przekroczyć prędkości światła — jest ona swoistym ograniczeniem prędkości w całym Wszechświecie. Ten prosty fakt został zweryfikowany w niezliczonych eksperymentach. Niesie on jednak ze sobą fundamentalne konsekwencje — przestrzeń i czas nie są absolutne. Dwie osoby poruszające się względem siebie nie zgadzają się co do wyniku pomiaru długości poruszających się obiektów oraz upływającego czasu. Prawie wszystkie prawa mechaniki, których nauczyłeś się w poprzednich rozdziałach, pomimo że są wyjątkowo dokładne nawet przy prędkościach rzędu wielu tysięcy kilometrów na sekundę, zaczynają zawodzić, gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła.

To ograniczenie wartości prędkości we Wszechświecie było również wyzwaniem dla nieodłącznego założenia prawa powszechnego ciążenia, że grawitacja jest siłą działającą na odległość (ang. action-at-a-distance force). Oznacza to, że bez kontaktu fizycznego, każda zmiana położenia jednego ciała jest natychmiastowo przekazywana do wszystkich innych ciał. Założenie to nie wywodzi się z żadnej pierwszej zasady, a teoria Newtona po prostu nie rozwodzi się nad tym problemem. (Podobnie zakładano w przypadku sił elektromagnetycznych. Można śmiało powiedzieć, że większość naukowców nie czuło się w pełni pogodzonych z koncepcją siły działającej na odległość).

W prawie powszechnego ciążenia (Równanie 13.1) pojawia się również drugie założenie. Zakłada się, że masy występujące w tym prawie są dokładnie takie same, jak te stosowane w drugiej zasadzie dynamiki Newtona F = m a F =m a . Poczyniliśmy to założenie w wielu naszych wyprowadzeniach w tym rozdziale. Ponownie, nie ma żadnej podstawowej zasady stwierdzającej, że tak musi być, ale wyniki doświadczalne są zgodne z tym założeniem. W kolejnej (1916 r.) ogólnej teorii względności (ang. Theory of General Relativity) Einstein, rozwiązał oba te problemy. Jego teoria opisuje geometrię czasoprzestrzeni (ang. space-time geometry) oraz to, jak masa (i przyspieszenie) oddziałują z czasoprzestrzenią i jak ją zakłócają. Nie jest to na pewno teoria sił grawitacyjnych. Matematyka stosowana w ogólnej teorii względności wykracza poza zakres tego kursu, ale możemy zapoznać się z kilkoma podstawowymi zasadami wynikającymi z tej teorii oraz ich konsekwencjami.

Zasada równoważności

Einstein doszedł po części do ogólnej teorii względności, zastanawiając się, dlaczego ktoś, kto spada swobodnie nie czuje swojej wagi. Powszechnie mówi się, że astronauci na orbicie Ziemi są w stanie nieważkości pomimo faktu, że grawitacja Ziemi jest tam wciąż stosunkowo silna. W ogólnej teorii względności Einsteina nie ma żadnej różnicy pomiędzy spadkiem swobodnym i przebywaniem w stanie nieważkości. Jest to tak zwana zasada równoważności (ang. Principle of Equivalence). Równie zaskakującym następstwem tej zasady jest fakt, że nie ma różnicy między jednorodnym polem grawitacyjnym i jednostajnym przyspieszeniem w przypadku braku grawitacji. Skupmy się na tym ostatnim stwierdzeniu. Chociaż doskonale jednorodne pole grawitacyjne istnieje tylko teoretycznie, możemy korzystać z takiego przybliżenia do opisu pól rzeczywistych.

W każdym laboratorium na Ziemi pole grawitacyjne g g jest w zasadzie jednorodne. Następstwem tego stwierdzenia jest fakt, że wszystkie eksperymenty fizyczne wykonywane w ziemskim laboratorium dadzą takie same wyniki, jak te wykonywane w laboratorium znajdującym się w przestrzeni kosmicznej, z dala od wszystkich innych mas, poruszającym się z przyspieszeniem a=ga=g a=g. Rysunek 13.28 ilustruje tę ideę.

Po lewej stronie znajduje się rysunek rakiety poruszającej się w górę. Strzałka skierowana w górę oznaczona jest a (= g). Widok wnętrza rakiety pokazuje eksperyment chemiczny i zegar wskazujący upływ 10 minut. Po prawej stronie jest rysunek Ziemi i tego samego eksperymentu chemicznego. Zegar także wskazuje upływ 10 minut na powierzchni ziemi. Strzałka w dół jest oznaczona g.
Rysunek 13.28 Zgodnie z zasadą równoważności wyniki wszystkich doświadczeń przeprowadzonych w jednorodnym polu grawitacyjnym w laboratorium są identyczne z wynikami takich samych eksperymentów, przeprowadzonych w jednostajnie przyspieszającym laboratorium.

Jak to możliwe, że te dwie pozornie zasadniczo różne sytuacje są takie same? Odpowiedź wynika z faktu, że grawitacja nie jest siłą działającą między dwoma ciałami, lecz jest wynikiem oddziaływania każdego ciała z efektami, jakie inne ciała wywierają na czasoprzestrzeń go otaczającą. Jednorodne pole grawitacyjne i ruch jednostajnie przyspieszony mają dokładnie taki sam wpływ na czasoprzestrzeń.

Geometryczne podejście do teorii grawitacji

Geometria euklidesowa zakłada, że przestrzeń jest płaska. Jej najpowszechniej znane cechy to: linia prosta jest najkrótszą odległością pomiędzy dwoma punktami, suma kątów każdego trójkąta wynosi 180 stopni, a linie równoległe nigdy się nie przecinają. Geometrie nieeuklidesowe to takie, w których co najmniej jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej nie jest spełniony. Nie były one przedmiotem dokładnych badań aż do XIX wieku, więc nie dziwi nas fakt, że przestrzeń euklidesowa występuje we wszystkich prawach Newtona.

Ogólna teoria względności kwestionuje tę długo obowiązującą koncepcję. Tylko pusta przestrzeń jest płaska. Obecność masy — lub energii, gdyż teoria względności nie odróżnia tych dwóch wielkości, zakrzywia czas i przestrzeń, czyli czasoprzestrzeń wokół niej. Ruch każdego innego ciała posiadającego masę jest po prostu reakcją na zakrzywienie czasoprzestrzeni. Rysunek 13.29 jest dwuwymiarowym przedstawieniem ciała o mniejszej masie, krążącego wokół ciała o większej masie, w reakcji na zakrzywienie przestrzeni, wynikające z obecności tej większej masy. Na bardziej precyzyjnym, jednak równocześnie bardziej skomplikowanym, a tym samym mniej czytelnym rysunku, widzielibyśmy również przestrzeń zakrzywioną przez orbitującą masę i wówczas obie masy byłyby w ruchu (wokół ich wspólnego środka masy), w reakcji na całkowite zakrzywienie przestrzeni. Zauważ, że rysunek ten pomaga tylko zobrazować ideę. W rzeczywistości są to zakrzywienia trójwymiarowej przestrzeni i czasu. Nie widzimy tych zakrzywień tak, jak widzielibyśmy dołki pod kulami. Obserwujemy je tylko dzięki starannym pomiarom ruchu ciał i światła w przestrzeni.

Rysunek czasoprzestrzeni, pokazanej jako siatka. Kulka reprezentuje ciało o dużej masie w środku siatki powodujące zniekształcenie przestrzeni kosmicznej, tworząc wgłębienie i ugięcie linii siatki. Na obręczy wgłębienia widoczna jest kulka o małej masie orbitująca po brzegu wgłębienia wokół dużej masy.
Rysunek 13.29 Mniejsza masa orbitująca w zakrzywionej przez większą masę czasoprzestrzeni. W rzeczywistości każda masa i energia zakrzywiają czasoprzestrzeń.

Dla słabych pól grawitacyjnych wyniki uzyskiwane przy zastosowaniu ogólnej teorii względności Einsteina nie różnią się znacząco od tych uzyskanych na podstawie prawa powszechnego ciążenia Newtona. W przypadku silnych pól grawitacyjnych wyniki różnią się i to właśnie ogólna teoria względności daje poprawne rezultaty. Różnicę tę możemy zauważyć nawet w stosunkowo słabym polu grawitacyjnym Słońca w odległości orbity Merkurego. Począwszy od połowy XIX wieku zaczęto wykonywać dokładne pomiary eliptycznej orbity Merkurego. Chociaż jego orbita jest eliptyczna, to ruch Merkurego jest dodatkowo skomplikowany przez fakt, że położenia peryhelium i aphelium elipsy powoli się przemieszczają. Większość tej precesji wynika z grawitacyjnego oddziaływania innych planet, ale niewielki jej składnik nie mógł być obliczony na podstawie praw Newtona. W pewnym momencie szukano nawet towarzyszącej mu planety, która wyjaśniłaby tę różnicę. Jednak ogólna teoria względności poprawnie przewiduje przeprowadzone pomiary. Od tego czasu wykonano wiele pomiarów, takich jak zakrzywienie promienia światła w obecności dużych obiektów, takich jak Słońce, które potwierdziły, że ogólna teoria względności jest w pełni poprawna.

Zamkniemy tę dyskusję pewnym końcowym stwierdzeniem. Mówiliśmy o zakrzywieniu czasoprzestrzeni lub zakrzywieniu przestrzeni i czasu. Zarówno w ogólnej, jak i w szczególnej teorii względności wymiar czasu jest równorzędny z każdym wymiarem przestrzennym (różniący się w obu teoriach jedynie bliskim jedności czynnikiem skali). W pobliżu bardzo dużej masy nie tylko przestrzeń się zakrzywia, ale też upływ czasu jest rozciągnięty i spowolniony. Omówimy te efekty dokładniej w dalszej części rozdziału.

Czarne dziury

Teoria grawitacji Einsteina jest wyrażona jednym pozornie prosto wyglądającym równaniem tensorowym (tensor to uogólnienie skalara i wektora), które mówi, w jaki sposób masa zakrzywia czasoprzestrzeń wokół niej. Jedno z rozwiązań tego równania prowadzi do jednego z najbardziej fascynujących przewidywań tej teorii: istnienia czarnej dziury (ang. black hole). Powstanie czarnych dziur polega na tym, że jeśli dany obiekt jest wystarczająco gęsty, to zapada się pod wpływem własnej grawitacji i jest otoczony horyzontem zdarzeń (ang. event horizon). Cokolwiek znajdzie się w jego wnętrzu, nie może uciec spod wpływu przyciągania grawitacyjnego czarnej dziury. Nazwa „czarna dziura” została wymyślona przez astronoma Johna Wheelera (1911–2008) w 1969 roku. Wynika ona z faktu, że nawet światło nie może uciec spod wpływu przyciągania grawitacyjnego takiego obiektu. Karl Schwarzschild (1873–1916) był pierwszą osobą, która zauważyła ten fakt w 1916 roku, ale w owym czasie uważano go głównie za matematyczną osobliwość.

Co zaskakujące, idea masywnego ciała, z którego światło nie może uciec, pochodzi z XVIII wieku. Niezależnie John Michell (1724–1793) i Pierre Simon de Laplace (1749–1827) wykorzystali prawo powszechnego ciążenia, aby pokazać, że światło próbujące opuścić powierzchnię wystarczająco masywnej gwiazdy nie może uciec z jej powierzchni. Ich praca opierała się na fakcie, że prędkość światła została zmierzona przez Ole Rømera (1644–1710) w 1676 roku. Zauważył on rozbieżności w otrzymanych danych, dotyczących okresu orbitalnego obiegu księżyca Io wokół Jowisza. Rømer zdał sobie sprawę, że różnice te wynikają ze względnej pozycji Ziemi i Jowisza w różnym czasie, i na tej podstawie mógł wyznaczyć prędkość światła. Michell i Laplace zrozumieli, że skoro światło ma skończoną prędkość, może istnieć wystarczająco duża gwiazda, taka że ​​prędkość ucieczki z jej powierzchni może być większa od prędkości światła. Wówczas światło zawsze powróciłoby z powrotem do gwiazdy. Obserwatorzy znajdujący się wystarczająco daleko od największych gwiazd nie byliby więc w stanie w ogóle ich zobaczyć, chociaż widzieliby mniejsze gwiazdy z tej samej odległości.

Przypomnijmy, że w podrozdziale Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego, okazało się, że prędkość ucieczki, określona przez Równanie 13.6, jest niezależna od masy ciała m m opuszczającego ciało o dużej masie M M. Mimo że natura światła nie była wtedy jeszcze w pełni zrozumiała, masa światła, o ile w ogóle byłaby niezerowa, i tak nie miała znaczenia. W związku z tym Równanie 13.6 powinno obowiązywać także dla światła. Podstawiając prędkość światła c c w miejsce prędkości ucieczki, otrzymujemy:

v u = c = 2 G M R . v u =c= 2 G M R .

Musimy jedynie podstawić odpowiednie wartości R R i M M, tak aby prędkość ucieczki przekroczyła wartość c c i w konsekwencji światło nie będzie mogło opuścić takiego ciała. Michell stwierdził, że jeśli gwiazda ma gęstość naszego Słońca i promień, który wykracza poza orbitę Marsa, wtedy światło nie będzie mogło uciec z jej powierzchni. Przypuszczał również, że nadal będziemy w stanie wykryć taką gwiazdę dzięki oddziaływaniu grawitacyjnemu, jakie wywierałaby ona na ciała znajdujące się w jej pobliżu. Był to wnikliwy wniosek, ponieważ właśnie w taki sposób wykrywamy obecnie istnienie takich obiektów. Choć jeszcze nikt nie odwiedził i nigdy nie odwiedzi żadnej czarnej dziury, dowody na ich istnienie stały się tak oczywiste, że prawie żaden astronom nie wątpi w ich istnienie.

Zanim przyjrzymy się niektórym z tych dowodów, zwrócimy naszą uwagę z powrotem na rozwiązanie Schwarzschilda równania tensorowego ogólnej teorii względności. Z tego rozwiązania wynika charakterystyczny promień, nazywany promieniem Schwarzschilda (ang. Schwarzschild radius) ( R S ) ( R S ). Dowolna masa M M zapadnie się do osobliwości, jeśli tylko ściśnie się ją do tego stopnia, że jej promień będzie mniejszy niż promień Schwarzschilda. Wówczas wszystko, co znajdzie się w objętości kuli o tym promieniu, nie będzie mogło jej opuścić. Wewnątrz R S R S , strzałka czasu kieruje wszystko do osobliwości. (W ogólnym sensie matematycznym osobliwość występuje, gdy wartość funkcji dąży do nieskończoności. W tym przypadku jest to punkt w przestrzeni o zerowej objętości i skończonej masie. Stąd gęstość masy i energia pola grawitacyjnego stają się nieskończone). Promień Schwarzschilda dany jest równaniem:

R S = 2 G M c 2 . R S = 2 G M c 2 .
13.13

Przyglądając się naszemu równaniu na prędkość ucieczki, zauważymy, że kiedy v u = c v u =c, to daje ono dokładnie taki sam wynik. Jest to jednak tylko czysty przypadek spowodowany kilkoma błędnymi założeniami w teorii klasycznej. Jednym z tych założeń jest użycie niewłaściwego wyrażenia na energię kinetyczną w przypadku światła. Zobaczmy zatem, jak gęste musi być ciało, aby zapadło się pod wpływem własnej grawitacji i zamieniło się w czarną dziurę.

Przykład 13.15

Wyznaczanie promienia Schwarzschilda

Oblicz długość promienia Schwarzschilda dla Słońca i Ziemi. Porównaj gęstość jądra atomowego z gęstością ściśniętej równomiernie masy Ziemi do objętości ograniczonej promieniem Schwarzschilda. Gęstość jądra atomowego wynosi około 2,3 10 17 k g / m 3 2,3 10 17 k g / m 3 .

Strategia rozwiązania

W naszych obliczeniach skorzystamy z Równania 13.13. Potrzebujemy tylko mas Ziemi i Słońca, które znajdziemy w danych astronomicznych podanych w Dodatku D.

Rozwiązanie

Podstawiając masę Słońca M S M S , otrzymujemy:
R S = 2 G M S c 2 = 2 6,67 10 11 N m 2 / k g 2 1,99 10 30 k g ( 3 10 8 m / s ) 2 = 2,95 10 3 m . R S = 2 G M S c 2 = 2 6,67 10 11 N m 2 / k g 2 1,99 10 30 k g ( 3 10 8 m / s ) 2 =2,95 10 3 m .

Jest to średnica o długości tylko około 6 km. Jeśli użyjemy masy Ziemi M Z M Z , otrzymamy R S = 8,85 10 3 m R S =8,85 10 3 m . Jest to średnica mniejsza niż 2 cm! Jeśli spakowalibyśmy masę Ziemi w kulę o promieniu R S = 8,85 10 3 m R S =8,85 10 3 m , jej gęstość wynosiłaby:

ρ = M Z V = 5,97 10 24 k g 4 3 π ( 8,85 10 3 m ) 3 = 2,06 10 30 k g m 3 . ρ= M Z V = 5,97 10 24 k g 4 3 π ( 8,85 10 3 m ) 3 =2,06 10 30 k g m 3 .

Znaczenie

Gwiazda neutronowa (ang. neutron star) to, poza czarną dziurą, najgęstszy znany obiekt we Wszechświecie. Gwiazda neutronowa składa się z neutronów. Jej gęstość jest równa gęstości jądra atomowego. Jak wiele czarnych dziur, uważa się ją za pozostałość po supernowych — gwiazdach, które wybuchają pod koniec swego życia. Aby utworzyć czarną dziurę z Ziemi, musimy ją ścisnąć do gęstości trzynastu rzędów wielkości, większych od gęstości gwiazdy neutronowej. Ten proces wymagałby niewyobrażalnej siły. Nie istnieje żaden znany mechanizm, który mógłby spowodować, że obiekt wielkości Ziemi stanie się czarną dziurą. W przypadku Słońca, powinieneś być w stanie wykazać, że musiałoby być ono skompresowane do gęstości tylko około 80 razy większej od gęstości jądra atomowego. (Uwaga: Gdy masa jest ściśnięta w kulę o promieniu Schwarzschilda, ogólna teoria względności mówi, że zapadnie się ona do osobliwości. Obliczenia te pokazują jedynie gęstość, którą musimy osiągnąć, aby zainicjować ten proces).

Sprawdź, czy rozumiesz 13.11

Porównaj gęstość potrzebną, aby Ziemia stała się czarną dziurą z tą, która jest potrzebna do takiej zmiany w przypadku Słońca. Jakie wnioski można wyciągnąć z tego porównania – odnośnie do tego, co byłoby konieczne do utworzenia czarnej dziury? Czy spodziewasz się, że we Wszechświecie jest wiele czarnych dziur o małej masie?

Horyzont zdarzeń

Okrąg o promieniu Schwarzschilda nazywany jest horyzontem zdarzeń czarnej dziury. Zauważyliśmy, że zarówno przestrzeń, jak i czas są rozciągnięte w pobliżu masywnych obiektów, takich jak czarne dziury. Rysunek 13.30 ilustruje ten wpływ na przestrzeń. Jej zakrzywienie wywoływane przez nasze Słońce jest w zasadzie niewielkie i zostało wyolbrzymione dla czytelności rysunku. Rozważmy przypadek gwiazdy neutronowej, opisaną w Przykładzie 13.15. Chociaż zakrzywienie czasoprzestrzeni na powierzchni gwiazdy neutronowej jest bardzo duże, jej promień jest wciąż większy niż promień Schwarzschilda. Obiekty o dużej prędkości mogą wciąż uciec z jej powierzchni.

Jeśli gwiazda neutronowa zyska wystarczająco dużo dodatkowej masy, to w rezultacie zapadnie się zmniejszając swoją objętość tak, że jej promień będzie krótszy od promienia Schwarzschilda. Kiedy tak się stanie, cała masa zostanie nieuchronnie wciągnięta do osobliwości. Przestrzeń na poniższym rysunku jest rozciągnięta do nieskończoności. Czas jest również rozciągnięty do nieskończoności. Gdy obiekty spadają na horyzont zdarzeń, widzimy, że zbliżają się one coraz wolniej, ale nigdy nie osiągną horyzontu zdarzeń. Jako obserwatorzy zewnętrzni nigdy nie zobaczymy, aby obiekty przechodziły przez horyzont zdarzeń — faktycznie, czas rozciąga się coraz bardziej tak, że zatrzymuje się na horyzoncie zdarzeń.

Materiały pomocnicze

Odwiedź stronę internetową, aby obejrzeć animację tych zakłóceń przestrzeni.

Po lewej stronie są trzy ilustracje czasoprzestrzeni przedstawione jako siatka z coraz głębszymi wgłębieniami z ciałem na dole wgłębienia. Ciało na górnym rysunku jest oznaczone jako Słońce i ma płytkie wgłębienie. Ciało na środkowym rysunku jest opisane jako biały karzeł i ma głębsze wgłębienie oraz bardziej zakrzywione linie siatki. Ciało na trzecim rysunku jest oznaczone jako gwiazdą neutronową. Wgłębienie jest bardzo głębokie, a jego boki są prawie pionowe. Region nad gwiazdą jest opisany jako zakrzywiona czasoprzestrzeń. Po prawej stronie znajduje się większa ilustracja czarnej dziury. Wgłębienie jest teraz zakrzywione i staje się pionową rurką, która jest otwarta na dole. Dno rury jest oznaczone jako osobliwość. Linie siatki w rurze tworzą pionowe linie i spiralę. Okrąg na przekroju rurki jest oznaczony jako horyzont zdarzeń. Krąg, w którym siatka czasoprzestrzeni zgina się tworząc górną część rury, jest oznaczony jako ostatnia stabilna orbita.
Rysunek 13.30 Zakrzywienie przestrzeni staje się coraz bardziej widoczne wokół coraz większych mas. Gdy gęstość masy osiągnie poziom krytyczny, tworzy się czarna dziura i struktura czasoprzestrzeni zostaje rozdarta. Krzywizna przestrzeni jest największa na powierzchni każdego z trzech pierwszych ciał pokazanych na rysunku, lecz jest ona skończona. Krzywizna następnie zmniejsza się (nie pokazano) do zera podczas przemieszczania się do środka ciała. W przypadku czarnej dziury jest inaczej. Krzywizna staje się nieskończona: powierzchnia zapada się do osobliwości, a stożek czasoprzestrzeni rozciąga się do nieskończoności. (Uwaga: rysunki te w żaden sposób nie zachowują skali.)

Dowody istnienia czarnych dziur

Dopiero w latach sześćdziesiątych XX wieku, kiedy odkryto pierwszą gwiazdę neutronową, zainteresowanie istnieniem czarnych dziur ponownie wzrosło. Dowody na istnienie czarnych dziur opierają się na kilku typach obserwacji, takich jak analiza promieniowania rentgenowskiego układów podwójnych, soczewkowanie grawitacyjne światła pochodzącego z odległych galaktyk oraz ruch widocznych ciał wokół ich niewidzialnych partnerów. Skupimy się na tych ostatnich obserwacjach, ponieważ odnoszą się one do tego, czego nauczyliśmy się w tym rozdziale. Światło nie może uciec z czarnej dziury, abyśmy ją mogli zobaczyć. Możemy jednak zaobserwować efekty oddziaływania grawitacyjnego czarnej dziury na otaczające ją ciała.

Najbliższe, a być może także najbardziej dramatyczne, dowody na istnienie czarnej dziury znajdują się w centrum Drogi Mlecznej. Grupa z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles (UCLA) zajmująca się badaniem galaktyk, wykorzystując dane uzyskane przez teleskopy Kecka znajdujące się na Hawajach, określiła orbitę kilku gwiazd poruszających się w pobliżu centrum naszej galaktyki. Niektóre z tych danych są pokazane na Rysunku 13.31. Na podstawie pomiarów okresów orbitalnych i rozmiarów orbit tych gwiazd szacuje się, że orbitują one wokół obiektu, którego masa jest równa około 4 milionom mas Słońca. Zwróćmy uwagę, że masa ta musi znajdować się w obszarze ograniczonym przez przecinające się eliptyczne orbity gwiazd. Obszar ten zmieściłby się wewnątrz orbity Merkurego, ale w widmie światła widzialnego nic w tym miejscu nie widać.

Obraz w podczerwieni gwiazd znajdujących się w pobliżu środka Drogi Mlecznej. Osiem orbit pokazano z kilkoma punktami pomiarowymi na każdej z nich. Orbity różnią się mimośrodem, orientacją i rozmiarem, ale wszystkie zachodzą na siebie w pobliżu środka obrazu.
Rysunek 13.31 Trajektorie gwiazd krążących wokół masy znajdującej się w centrum Drogi Mlecznej. Na podstawie ich ruchu szacuje się, że czarna dziura w centrum galaktyki ma masę równą około 4 milionom mas Słońca. (Źródło: UCLA Galactic Center Group – W.M. Keck Observatory Laser Team)

Fizyka powstawania i ewolucji gwiazd jest dobrze znana. Podstawowym źródłem energii, dzięki któremu gwiazdy świecą, jest ich własna grawitacja inicjująca fuzję termojądrową. Im bardziej masywna jest gwiazda, tym jaśniej świeci i tym krócej żyje. Obiekt zajmujący bardzo mały obszar, którego masa jest 4 miliony razy większa od masy Słońca i którego nie można zobaczyć, nie ma żadnego innego logicznego wytłumaczenia jak to, że w istocie jest on czarną dziurą. Obserwacje pozagalaktyczne sugerują, że obecność czarnych dziur jest powszechna w centrach galaktyk.

Materiały pomocnicze

Odwiedź stronę internetową UCLA Galactic Center Group, by poznać więcej szczegółów na temat promieniowania X emitowanego przez układy podwójne oraz na temat soczewkowania grawitacyjnego. Odwiedź także tę stronę internetową, by zobaczyć trójwymiarową wizualizację gwiazd krążących w pobliżu centrum naszej galaktyki. Animacja znajduje się w dolnej części tej strony.

10 kwietnia 2019 roku astronomowie z międzynarodowego projektu EHT (Event Horizon Telescope) zaprezentowali pierwsze na świecie zdjęcie czarnej dziury. Supermasywna czarna dziura z Rysunku 13.32 znajduje się w centrum galaktyki M87 oddalonej o 55 milionów lat świetlnych od Ziemi. Pomimo jej dużych rozmiarów żaden pojedynczy teleskop nie byłby stanie wykonać takiego zdjęcia, ponieważ czarna dziura oglądana z Ziemi ma mały rozmiar kątowy. Dlatego wykorzystano do tego 8 radioteleskopów rozmieszczonych w różnych miejscach na całej planecie. Metoda ta nosi nazwę interferometrii wielkobazowej (ang. very long baseline interferometry), w której obraz powstaje na podstawie zebranych przez wiele teleskopów sygnałów radiowych (wraz z dokładnym czasem ich rejestracji). W ten sposób uzyskano kątową zdolność rozdzielczą wynoszącą 20 mikrosekund łuku. Gdyby ludzie oko posiadało taką rozdzielczość, to podczas lotu samolotem moglibyśmy podejrzeć nagłówki w gazecie leżącej na trawie.

Zdjęcie czarnej dziury.
Rysunek 13.32 Zdjęcie supermasywnej czarnej dziury, która znajduje się w centrum galaktyki M87. Zdjęcie wykonano przy pomocy Teleskopu Horyzontu Zdarzeń (Event Horizon TelescopeEHT), który składa się 8 z niezależnych radioteleskopów rozmieszczonych na całej planecie. (Źródło: Event Horizon Telescope Collaboration)

Materiały pomocnicze

Jeśli chcesz dowiedzieć się jak interpretować zdjęcie czarnej dziury to obejrzyj krótki film na ten temat.

Ciemna materia

Gwiazdy krążące wokół samego centrum naszej galaktyki dostarczają silnych dowodów na to, że znajduje się tam czarna dziura, ale orbity gwiazd oddalonych od jej środka sugerują występowanie również innego, intrygującego zjawiska, obserwowanego pośrednio. Przypomnijmy sobie z podrozdziału Grawitacja przy powierzchni Ziemi, że w celu obliczenia siły grawitacji, wywieranej przez ciało sferycznie symetryczne na inne masy, przyjmujemy, iż cała jego masa znajduje się w centrum takiego ciała. Podobnie możemy potraktować całkowitą masę, która znajduje się wewnątrz obszaru ograniczonego orbitą dowolnej gwiazdy w naszej galaktyce. Zakładamy po prostu, że cała ta masa znajduje się w centrum dysku Drogi Mlecznej. Możemy oszacować tę masę sumując masy wszystkich widocznych gwiazd w tym obszarze, a następnie dodając do tego wyniku masę czarnej dziury w centrum.

Gdy to zrobimy, zauważymy, że prędkość orbitalna gwiazd jest zdecydowanie za duża, aby była spowodowana taką ilością materii. Rysunek 13.33 przedstawia prędkość orbitalną gwiazd w zależności od ich odległości od środka Drogi Mlecznej. Niebieska linia reprezentuje prędkości, jakich można się spodziewać na podstawie naszego oszacowania masy, podczas gdy zielona krzywa odzwierciedla dane pomiarowe. Najwyraźniej dużej części materii nie widzimy. Szacuje się, że materii, której nie widać, jest pięciokrotnie więcej niż tej, którą możemy obserwować. Nazwano ją ciemną materią (ang. dark matter). Ponadto profil prędkości nie odzwierciedla oczekiwanego rozkładu widocznych gwiazd. Nie tylko szacunkowa masa całkowita materii jest niezgodna z danymi, ale jej oczekiwany rozkład także jest niezgodny z obserwacją. Zjawisko to nie dotyczy jedynie naszej galaktyki, ale wydaje się cechą wszystkich galaktyk. Problem ten został po raz pierwszy zauważony w latach trzydziestych XX wieku, kiedy mierzono ruch galaktyk w obrębie klastrów. Okazało się, że poruszały się one wokół środka masy tych klastrów szybciej, niż wskazywałyby na to szacunki ich widocznej masy.

Wykres krzywej rotacji galaktyki przedstawia prędkość orbitalną w jednostkach względnych w funkcji promienia w kiloparsekach. Skala osi poziomej ma zakres od 0 do 14 kiloparseków i jest opisana w odstępach co 2. Pionowa skala osi ma zakres od 0 do 1,6 i jest opisana w odstępach co 0,2. Zielona krzywa jest oznaczona jako obserwowana. Krzywa zaczyna się przy r = 0 i v = 0,9, wzrasta do prawie v = 1,4 przy r nieco mniejszym od 2, a następnie obniża się do około v = 1,3 przy około r = 4, a następnie maleje wolniej do około v = 1,2 przy r = 14. Niebieska krzywa jest oznaczona jako oczekiwana. Krzywa zaczyna się przy r = 0 i v = 1.0 rośnie do wartości maksymalnej, która jest mniejsza niż zielonej krzywej i przy mniejszej wartości r. Krzywa następnie gładko spada ze stałym nachyleniem do v około 0,5 przy r = 14. Przedstawione są również dodatkowe szare krzywe. Krzywa kropkowana oznaczona jako ciemna materia rozpoczyna się od r = 0 i v = 0 i wzrasta gładko ze stałym nachyleniem do około 0,9 przy r = 14. Krzywa przerywana oznaczona jako zgrubienie centralne galaktyczne (jasne) również zaczyna się przy r = 0 i v = 0 i wzrasta do maksymalnej wartości około v = 0,5 przy r między 1 a 2, a następnie maleje gładko ze stałym nachyleniem do v około 0,2 przy r = 14. Krzywa kropkowano-przerywana oznaczona jako dysk galaktyczny (jasny) zaczyna się przy r = 0 i v = 1 i gładko spada wraz ze stałym nachyleniem do v około 0,3 przy r = 14.
Rysunek 13.33 Niebieska krzywa wskazuje oczekiwaną prędkość orbitalną gwiazd w Drodze Mlecznej wyznaczoną na podstawie masy gwiazd, które możemy zobaczyć. Zielona krzywa wskazuje, że rzeczywiste prędkości gwiazd są większe, co sugeruje obecność dodatkowej materii, której nie można zobaczyć. (Źródło: modyfikacja pracy Matthew Newby)

Istnieją dwie dominujące koncepcje na temat tego, czym może być ta materia — WIMP i MACHO. WIMP (ang. Weakly Interacting Massive Particles) są to słabo oddziałujące masywne cząstki. Cząstki te (neutrina są jednym z przykładów) oddziałują bardzo słabo ze zwykłą materią, a więc są bardzo trudne do wykrycia. MACHO (ang. Massive Astrophysical Compact Halo Object) to masywne zwarte obiekty halo (np. gwiazdy neutronowe, brązowe karły), które składają się ze zwykłej materii barionowej, takiej jak neutrony i protony. Emitują one bardzo mało promieniowania, a więc są trudne do wykrycia przy użyciu współczesnej techniki obserwacyjnej. Z oboma pomysłami związane są nierozwiązane dotąd problemy i trzeba przeprowadzić wiele dalszych badań, aby ostatecznie rozwiązać te kwestie.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.