Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać krzywe stożkowe i określać ich związek z ruchem po orbicie;
  • opisywać, w jaki sposób prędkość orbitalna związana jest z zasadą zachowania momentu pędu;
  • wyznaczać okres ruchu planet po orbicie eliptycznej na podstawie długości jej osi wielkiej.

Na podstawie dokładnych danych zebranych przez Tycho Brahe, Johannes Kepler przeanalizował pozycje wszystkich znanych planet i Księżyca na niebie, zaznaczając ich pozycje w stałych odstępach czasu. Na podstawie tej analizy sformułował trzy prawa, które omówimy w tym podrozdziale.

Pierwsze prawo Keplera

W czasach Keplera przeważał pogląd, że wszystkie orbity planetarne są okrągłe. Dane zarejestrowane dla Marsa stanowiły największe wyzwanie dla tego założenia i w końcu zachęciły Keplera, by zmierzyć się z tym powszechnym przekonaniem. Pierwsze prawo Keplera (ang. Kepler’s First Law) stwierdza, że każda planeta porusza się po elipsie, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy. Elipsa jest definiowana jako zbiór wszystkich punktów, których suma odległości od każdego z dwóch punktów, zwanych ogniskami elipsy, jest stała. Rysunek 13.16 przedstawia elipsę i pokazuje, w jaki sposób można ją łatwo narysować.

Rysunek A przedstawia układ współrzędnych x, y oraz elipsę wyśrodkowaną na środku odcinka łączącego ognisko f 1 po lewej stronie i f 2 po prawej. Oba ogniska znajdują się na osi x. Ognisko f 1 jest oznaczone M. Punkt na elipsie powyżej ogniska f 2 jest oznaczony m. Trójkąt o wierzchołkach w punktach f 1, f 2 i m jest zaznaczony na czerwono. Rysunek B pokazuje podobną elipsę, ze słońcem pokazanym w ognisku f 1 i oznaczonym M oraz Słońce. Planeta o masie m jest pokazana powyżej f 1, w pionowej odległości r od f 1. Punkt gdzie elipsa przecina oś poziomą po lewej stronie jest oznaczony jako punkt A, a miejsce, gdzie elipsa przecina oś poziomą po prawej stronie jest oznaczony jako B.
Rysunek 13.16 (a) Elipsa jest krzywą, którą tworzy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od jej ognisk ( f 1 i f 2 ) ( f 1 i f 2 ) jest stała. Na podstawie tej definicji można narysować elipsę w następujący sposób. Umieść szpilkę w każdym z ognisk, a następnie zamocuj kawałek sznurka pomiędzy szpilkami i owiń pętelkę wokół ołówka. Utrzymując stale naciągnięty sznurek, narysuj ołówkiem dookoła ognisk pełny obwód krzywej zamkniętej. Jeśli dwa ogniska znajdują się w tym samym miejscu, to w wyniku tej procedury otrzymamy okrąg, szczególny przypadek elipsy. (b) W przypadku orbity eliptycznej, jeśli m M m M , to ciało o masie m m porusza się po elipsie wokół ciała o masie M M znajdującego się w jednym z ognisk. Dokładniej mówiąc, oba ciała poruszają się po własnych elipsach wokół ich wspólnego środka masy.

Dla orbity eliptycznej, punkt największego zbliżenia planety do Słońca nazywa się peryhelium (ang. perihelion). Jest to punkt A A na Rysunku 13.16. Najdalszy punkt zwany jest aphelium (ang. aphelion). Jest to punkt B B na tym rysunku. W przypadku Księżyca krążącego po orbicie eliptycznej wokół Ziemi, punkty te są nazywane odpowiednio perygeum i apogeum.

Istnieje kilka postaci matematycznych równania elipsy. Wszystkie one są szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego równania krzywych stożkowych. Istnieją cztery różne krzywe stożkowe i wszystkie z nich spełniają równanie:

α r = 1 + e cos θ . α r = 1 + e cos θ .
13.10

Zmienne r r i θ θ w przypadku elipsy zaznaczono na Rysunku 13.17. Stałe α α i e e zależą od energii całkowitej i momentu pędu satelity w danym punkcie. Stała e e jest zwana mimośrodem. Wartości stałych α α i e e określają, która z czterech krzywych stożkowych reprezentuje trajektorię obiektu astronomicznego.

 Rysunek przedstawia układ współrzędnych x y i elipsę wyśrodkowaną na punkcie leżącym pośrodku między ogniskami znajdującymi się na osi poziomej i oznaczonymi f 1 po lewej stronie i f 2 po prawej. Ognisko f 1 jest oznaczone także przez M. Punkt na obwodzie elipsy w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych jest oznaczony jako m. Na czerwono zaznaczono poziomy odcinek łączący ogniska f 1 i f 2 oraz odcinek łączący f 1 i M. Kąt pomiędzy tymi odcinkami jest oznaczony theta.
Rysunek 13.17 Tak jak poprzednio, odległość między planetą a Słońcem jest równa r r i tworzy kąt θ θ z osią x x , równoległą do osi wielkiej elipsy.

Jedną z największych zalet stosowania prawa powszechnego ciążenia, w którym siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, jest to, że gdy połączymy go z drugą zasadą dynamiki Newtona, to rozwiązaniem tego układu równań będzie trajektoria będąca krzywą, która jest jedną z krzywych stożkowych. Każda trajektoria, którą podąża ciało o masie m m po orbicie jest, jedną z czterech krzywych stożkowych: okręgiem lub elipsą w przypadku zamkniętych (czyli związanych) orbit albo parabolą lub hiperbolą w przypadku otwartych (czyli niezwiązanych) orbit. Wszystkie krzywe stożkowe przedstawiono na Rysunku 13.18.

Rysunek przedstawia stożek i krzywe stożkowe. Na górze przecięto stożek poziomą płaszczyzną i zaznaczono zacienione cięcie i przerywaną linię wzdłuż cięcia. Ta krzywa jest podpisana okrąg. Poniżej tej krzywej ukośne cięcie i linia zostały zaznaczone. Przecinają one w całości powierzchnię boczną stożka. Krzywa ta jest oznaczona elipsa. Poniżej jest ukośne cięcie i linia, które przecinają częściowo powierzchnię boczną oraz częściowo podstawę stożka i oznaczone jako parabola. Najniżej jest linia pionowa i zacieniowane cięcie równoległe do wysokości stożka oznaczone hiperbola.
Rysunek 13.18 Trajektoria każdego ciała, na które działa siła proporcjonalna do odwrotności kwadratu odległości między ciałami, jest jedną z czterech krzywych stożkowych. Ruch tego ciała jest określony przez energię i kierunek jego ruchu.

Jeśli energia całkowita ciała jest ujemna, to wtedy 0 e < 1 0 e < 1 , i Równanie 13.10 opisuje orbitę zamkniętą (związaną) — elipsę w przypadku, gdy 0 < e < 1 0 < e < 1 , lub okrąg, gdy e = 0 e = 0 . Na podstawie Równania 13.10 można zauważyć, że gdy e = 0 e = 0 , to r = α r = α , więc promień trajektorii ciała jest stały. W przypadku elipsy, mimośród określa jak bardzo jest ona spłaszczona. Okrąg ma mimośród równy zero, a bardzo spłaszczona, wyciągnięta elipsa ma mimośród o wartości bliskiej jedności.

Jeśli całkowita energia ciała jest dokładnie równa zero, to e = 1 e = 1 i trajektorią ruchu jest parabola. Przypomnijmy, że satelita o całkowitej energii równej zero porusza się z prędkością równą dokładnie drugiej prędkości kosmicznej. (Parabola powstaje przez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do tworzącej stożka.) W końcu jeśli całkowita energia ciała jest dodatnia, to e > 1 e > 1 , więc trajektorią jest hiperbola. Te dwie ostatnie krzywe reprezentują orbity ciał niezwiązanych grawitacyjnie, gdzie ciało o masie m m mija ciało o masie M M tylko jeden raz. Ta sytuacja została zaobserwowana w przypadku kilku komet, które zbliżyły się do Słońca, a potem oddaliły się, by już nigdy do niego nie powrócić.

Ograniczyliśmy się tylko do przypadków, w których mniejsza masa (planeta) krąży wokół znacznie większej, a co za tym idzie, nieruchomej masy (gwiazdy). Jednak Równanie 13.10 odnosi się także do dowolnych dwóch oddziałujących grawitacyjnie ciał. Oba ciała poruszają się wówczas po krzywych stożkowych o takim samym kształcie. Kształt ten zależy od całkowitej energii i momentu pędu układu, przy czym środek masy układu znajduje się w jednym z ognisk tej krzywej. Stosunek rozmiarów ich torów ruchu jest odwrotnie proporcjonalny do stosunku ich mas.

Materiały pomocnicze

Na stronie internetowej projektu PhET możesz obejrzeć animację My Solar System, przedstawiającą ruch dwóch oddziałujących ciał. Możesz wybrać jedną z wbudowanych opcji, np. Słońce i planetę. Możesz tam również zobaczyć wiele bardziej skomplikowanych zagadnień ruchu ciał. Można określić rzeczywisty tor Księżyca, który może wydawać ci się dość zaskakujący, chociaż spełnia proste prawa dynamiki Newtona.

Podróże międzyplanetarne

Ludzie marzyli o podróżowaniu na inne planety naszego Układu Słonecznego, od kiedy tylko zostały one odkryte. Ale w jaki sposób można najłatwiej do nich dotrzeć? Najbardziej efektywna metoda została podana w 1925 roku przez Waltera Hohmanna. Zainspirowała go jedna z popularnych w tamtych czasach powieści science fiction. Metoda ta nazywa się teraz manewrem transferowym Hohmanna. W przypadku podróży pomiędzy dwoma orbitami kołowymi transfer odbywa się po eliptycznej orbicie transferowej Hohmanna, która jest styczna do tych orbit w aphelium i peryhelium elipsy. Rysunek 13.19 przedstawia przypadek podróży z orbity Ziemi na orbitę Marsa. Tak jak poprzednio, Słońce znajduje się w ognisku elipsy.

Dla każdej elipsy, długość jej półosi wielkiej jest zdefiniowana jako połowa odległości położenia ciała w peryhelium i aphelium. Na Rysunku 13.17 półoś ta jest równa połowie odległości od miejsca startu do lądowania po przeciwnej stronie osi wielkiej elipsy. W związku z tym przemieszczając się z jednej orbity kołowej o promieniu r 1 r 1 do drugiej orbity kołowej o promieniu r 2 r 2 , aphelium elipsy transferowej znajduje się na większej orbicie kołowej, a peryhelium na mniejszej orbicie. Półoś wielka oznaczona na rysunku symbolem a a jest wówczas równa a = 1 2 ( r 1 + r 2 ) a = 1 2 ( r 1 + r 2 ) .

Rysunek przedstawia Słońce i trzy orbity wokół niego. Wszystkie trzy orbity są okrągłe. Środek wewnętrznej orbity znajduje się na Słońcu i jest ona oznaczona orbita Ziemi. Środek środkowej orbity nie znajduje się na Słońcu. Zbiega się ona z orbitą Ziemi w punkcie oznaczonym ''Start'' z prawej strony Słońca. Strzałka wskazuje, że start odbywa się w górę i w lewo rysunku. Średnica orbity jest oznaczona jako odległość 2 a i zaczyna się w punkcie oznaczonym ''Start'' z prawej strony Słońca, a kończy punkcie oznaczonym ''dotarcie na Marsa'' po lewej jego stronie. Słońce leży na tej średnicy. Środek zewnętrznej orbity znajduje się na Słońcu i jest ona oznaczona orbita Marsa. Ta orbita pokrywa się ze średnią orbitą w miejscu oznaczonym jako ''dotarcie na Marsa''. Punkt w drugiej ćwiartce (znajdujący się na prawo i powyżej od punktu przybycia na największej orbicie) jest oznaczony etykietą ''pozycja Marsa w chwili startu''.
Rysunek 13.19 Orbita transferowa Hohmanna ma swoje peryhelium na orbicie Ziemi i aphelium na orbicie Marsa.

Rozważmy przypadek podróży z Ziemi na Marsa. W tej chwili zignorujemy obecność obu planet i założymy, że jesteśmy sami na orbicie Ziemi i chcemy przenieść się na orbitę Marsa. Dzięki Równaniu 13.9 opisującemu energię całkowitą możemy zauważyć, że całkowita energia statków kosmicznych na dalszej orbicie (Marsa) jest większa (mniej ujemna) niż na bliższej orbicie (Ziemi). Aby przemieścić się po elipsie transferowej z orbity Ziemi, będziemy musieli zwiększyć naszą energię kinetyczną, czyli musimy zwiększyć prędkość. Najbardziej skuteczną metodą jest bardzo szybkie przyspieszanie po orbicie kołowej w obszarze, w którym tor ciała na tej orbicie pokrywa się z torem na elipsie transferowej. (Najlepiej aby przyspieszenie było natychmiastowe, tak by orbity kołowa i eliptyczna były zgodne podczas całego procesu przyspieszania, a są one styczne jedynie w punkcie startowym. W praktyce droga przyspieszania jest na tyle krótka, że różnica dróg na orbitach nie jest znaczącym czynnikiem.) Po przybyciu na orbitę Marsa potrzebny będzie kolejny impuls zmiany prędkości, aby wejść na tę orbitę, gdyż inaczej pozostalibyśmy na transferowej orbicie eliptycznej i po prostu wrócilibyśmy z powrotem do peryhelium, skąd startowaliśmy. Podczas podróży powrotnej wystarczy w każdym punkcie orbity transferowej zmienić kierunek przyspieszenia na przeciwny.

Aby wejść na elipsę transferową, a następnie z niej zejść, musimy znać prędkość na każdej orbicie kołowej i prędkości w aphelium i peryhelium orbity transferowej. Wymagana zmiana prędkości jest po prostu różnicą pomiędzy prędkością na orbicie kołowej i eliptycznej w każdym z tych punktów. Prędkości na orbitach kołowych możemy wyznaczyć z Równania 13.7. Wymaganą prędkość na orbicie eliptycznej możemy wyznaczyć z Równania 13.11. Podajemy go bez dowodu, gdyż wykracza to poza zakres tego kursu. Energia całkowita na orbicie eliptycznej wynosi:

E = G m M S 2 a , E= G m M S 2 a ,
13.11

gdzie M S M S jest masą Słońca, a a a jest długością półosi transferowej orbity eliptycznej. Co ciekawe, równanie to ma taką samą postać jak Równanie 13.9 dla orbity kołowej, tylko zamiast długości promienia orbity kołowej występuje w nim długość półosi transferowej orbity eliptycznej. Ponieważ znamy energię potencjalną z Równania 13.4, możemy obliczyć energię kinetyczną, a tym samym wymaganą prędkość w każdym z interesujących nas punktów na elipsie. Jako zadanie dla czytelnika zostawiamy obliczenie tych prędkości podczas wycieczki z Ziemi na Marsa.

Zakończymy tę analizę, wskazując na kilka ważnych szczegółów. Po pierwsze, nie uwzględniliśmy grawitacyjnej energii potencjalnej związanej z obecnością Ziemi i Marsa na orbicie oraz mechaniki procesu lądowania na Marsie. W praktyce, by dotrzeć do Marsa musimy uwzględnić te czynniki w obliczeniach. Po drugie, ważna jest koordynacja czasowa transferu. Nie chcesz przecież przybyć na orbitę Marsa i stwierdzić, że w danym miejscu orbity akurat go nie ma. Musimy opuścić Ziemię w odpowiednim momencie tak, aby Mars był w aphelium naszej orbity transferowej, gdy dotrzemy na miejsce. Taka okazja zdarza się mniej więcej co 2 lata. Powrót także wymaga właściwej koordynacji czasowej. Całkowity czas podróży wynosi prawie 3 lata! Są jeszcze inne opcje, które umożliwiają szybszy przelot, w tym wykorzystanie asysty grawitacyjnej Wenus. Jednak wiążą się one z dodatkowym wydatkiem energetycznym i zagrożeniem dla życia astronautów.

Drugie prawo Keplera

Drugie prawo Keplera (ang. Kepler’s Second Law) mówi, że prędkość polowa planety (ang. areal velocity) na orbicie jest stała. Prędkość polową planety definiujemy jako stosunek pola powierzchni zakreślonego przez promień wodzący planety do czasu, w którym planeta przebywa, odpowiadającą temu polu odległość po orbicie. Przyjrzyjmy się Rysunkowi 13.20. Czas potrzebny, by planeta przemieściła się z położenia A A do B B, zakreślając powierzchnię S 1 S 1 , jest dokładnie równy czasowi potrzebnemu by planeta przemieściła się z położenia C C do D D, zakreślając powierzchnię S 2 S 2 oraz dokładnie taki sam, by przemieściła się ona z położenia E E do F F, zakreślając powierzchnię S 3 S 3 , pod warunkiem, że wszystkie te trzy pola powierzchni są takie same: S 1 = S 2 = S 3 S 1 = S 2 = S 3 .

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych x y. Zaznaczono na nim Słońce, oznaczone jako M, na osi x z lewej strony początku układu współrzędnych. Na osi x zaznaczono czerwoną kropką nieoznaczony punkt na prawo od początku układu współrzędnych. Planeta oznaczona jako m, jest pokazana w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Strzałka, oznaczona v, narysowana jest od planety i skierowana w dół i na lewo, stycznie do orbity. Punkty A, B, C, D, E i F są zaznaczone na orbicie. Punkty A i B leżą w trzeciej ćwiartce. Obszar między punktami A, B i Słońcem jest oznaczony S 1. Punkty C i D są na orbicie po przeciwnych stronach osi y. Obszar pomiędzy punktami C D i słońcem jest oznaczony S 2. Punkty E i F leżą w pierwszej ćwiartce. Obszar pomiędzy punktami E F i słońcem jest oznaczony S 3. Punkty A B są najbardziej oddalone od siebie i leżą najbliżej słońca. Punkty E F leżą najbliżej siebie i są najdalej od Słońca.
Rysunek 13.20 Zacienione obszary pokazane na rysunku mają równe pola powierzchni i są zakreślane w ciągu takiego samego przedziału czasu.

Porównując obszary zacienione na rysunku i odległości przebyte przez planetę po obwodzie elipsy w każdym z tych przypadków widzimy, że aby zacienione pola powierzchni były równe, planeta musi przyspieszać, gdy zbliża się do Słońca i spowalniać w miarę oddalania się od niego. Takie zachowanie jest całkowicie zgodne z zasadą zachowania energii (Równanie 13.5). Poniżej pokażemy, że drugie prawo Keplera jest przede wszystkim konsekwencją zasady zachowania momentu pędu, która odnosi się do dowolnego układu, w którym występują jedynie siły grawitacyjne działające wzdłuż promienia wodzącego.

Przypomnijmy definicję momentu pędu L = r × p L = r × p z rozdziału Moment pędu. W przypadku ruchu po orbicie, L L jest momentem pędu planety orbitującej wokół Słońca, r r jest wektorem promienia wodzącego planetę o początku na Słońcu i końcu w danym punkcie orbity, w którym znajduje się planeta, a p = m v p =m v jest chwilową wartością pędu planety w danym punkcie na orbicie. Gdy planeta porusza się po orbicie, wektor p p jest zawsze styczny do tej orbity.

Możemy rozłożyć wektor pędu na dwie składowe: składową p równ p równ skierowaną do środka orbity ku Słońcu i równoległą do promienia wodzącego r r oraz składową p prost p prost prostopadłą do promienia wodzącego r r . Iloczyn wektorowy momentu pędu można wówczas zapisać jako:

L = r × p = r × ( p równ + p prost ) = r × p równ + r × p prost . L = r × p = r × ( p równ + p prost ) = r × p równ + r × p prost .

Pierwszy składnik jest równy zero ponieważ wektor r r jest równoległy do p równ p równ , a w przypadku drugiego składnika r r jest prostopadły do p prost p prost , więc wartość iloczynu wektorowego redukuje się do L = r p prost = r m v prost L = r p prost = r m v prost . Zwróćmy uwagę, że moment pędu nie zależy od p równ p równ . Ponieważ siła grawitacji jest skierowana tylko w kierunku promienia wodzącego, może ona zmieniać tylko składową p równ p równ , a nie p prost p prost , dlatego moment pędu musi pozostać stały.

Rozpatrzmy teraz Rysunek 13.21. Powierzchnia Δ S Δ S małego, zacienionego trójkąta jest zakreślana w czasie Δ t Δ t . Prędkość planety jest styczna do toru jej ruchu i tworzy kąt θ θ z kierunkiem promienia wodzącego. W związku z tym składowa prędkości prostopadła do promienia wodzącego jest równa v prost = v sin θ v prost = v sin θ . W czasie Δ t Δ t planeta przebywa odległość Δ l = v Δ t sin θ Δ l = v Δ t sin θ wzdłuż kierunku prostopadłego do r r. Ponieważ powierzchnia trójkąta jest równa połowie długości jego podstawy ( r ) (r) razy wysokość trójkąta ( Δ l ) ( Δ l ) , to dla małych przemieszczeń powierzchnia trójkąta wynosi Δ S = 1 2 r Δ l Δ S = 1 2 r Δ l . Podstawiając Δ l Δ l oraz mnożąc licznik i mianownik przez m m, a następnie przekształcając, otrzymujemy:

Δ S = 1 2 r Δ l = 1 2 r ( v Δ t sin θ ) = 1 2 m r ( m v sin θ Δ t ) = 1 2 m r ( m v prost Δ t ) = L 2 m Δ t . Δ S = 1 2 r Δ l = 1 2 r ( v Δ t sin θ ) = 1 2 m r ( m v sin θ Δ t ) = 1 2 m r ( m v prost Δ t ) = L 2 m Δ t .
Rysunek pokazuje planetę w odległości r od Słońca. Wektor prędkości planety jest pokazany jako strzałka skierowana pod kątem rozwartym do promienia r narysowanego pomiędzy Słońcem i planetą. Linia łącząca Słońce i planetę jest przedłużona jako linia przerywana. Druga linia przerywana jest narysowana od końca wektora prędkości do linii przerywanej przedłużającej odległość r. Przerywane linie przecinają się pod kątem prostym, tworząc trójkąt ze strzałką wektora prędkości będącego przeciwprostokątną. Planeta jest narysowana w jednym z wierzchołków trójkąta. Kąt w pobliżu planety jest oznaczony theta. Przeciwprostokątna jest również oznaczona v Delta t, a przyprostokątna po przeciwnej stronie planety jest oznaczona v delta t sin theta. Obszar trójkąta o wierzchołkach określonych przez Słońce, planetę i koniec strzałki prędkości jest oznaczony Delta S, a kąt w pobliżu Słońca jest oznaczony delta phi.
Rysunek 13.21 Pole powierzchni Δ S Δ S jest zakreślane w czasie Δ t Δ t , gdy planeta przemieszcza się o kąt Δ ϕ Δ ϕ . Kąt pomiędzy kierunkiem promienia wodzącego i v v wynosi θ θ .

Prędkość polowa jest po prostu równa stosunkowi zmiany pola powierzchni do czasu, więc otrzymujemy:

prędkość polowa = Δ S Δ t = L 2 m . prędkość polowa = Δ S Δ t = L 2 m .

Ponieważ moment pędu planety na orbicie jest stały, to także jej prędkość polowa musi być stała. Jest to drugie prawo Keplera. Newton pokazał, że podobnie jak w przypadku pierwszego prawa Keplera, jest ono naturalną konsekwencją podanego przez niego prawa powszechnego ciążenia.

Materiały pomocnicze

Animację sytuacji z Rysunku 13.20 oraz wiele innych ciekawych animacji możesz zobaczyć na stronie internetowej Uniwersytetu Nowej Południowej Walii.

Trzecie prawo Keplera

Trzecie prawo Keplera (ang. Kepler’s Third Law) mówi, że kwadrat okresu obiegu planety jest proporcjonalny do sześcianu wielkiej półosi jej orbity. W podrozdziale Orbity satelitów i ich energia, wyprowadziliśmy trzecie prawo Keplera dla szczególnego przypadku orbity kołowej. Równanie 13.8 określa okres obiegu ciała po orbicie kołowej o promieniu r r wokół Ziemi:

T = 2 π r 3 G M Z . T=2π r 3 G M Z .

Przypomnij sobie, że w przypadku elipsy półoś wielka jest połową odległości między peryhelium i aphelium. Dla orbity kołowej półoś wielka ( a ) (a) jest równa promieniowi orbity. Jeśli do Równania 13.8 zamiast promienia r r podstawimy długość a a i podniesiemy do kwadratu obie strony równania, to określi ono trzecie prawo Keplera:

T 2 = 4 π 2 G M a 3 . T 2 = 4 π 2 G M a 3 .
13.12

W miejsce masy Ziemi podstawiliśmy bardziej ogólną masę M M, gdyż równanie to stosuje się do satelitów krążących wokół dowolnego ciała o dużej masie.

Przykład 13.13

Orbita komety Halleya

Oblicz długość półosi wielkiej orbity komety Halleya, wiedząc, że przybywa ona w peryhelium swojej orbity co 75,3 lat. Jeśli odległość peryhelium od Słońca wynosi 0,586 j.a., jaka jest odległość aphelium od Słońca?

Strategia rozwiązania

Znamy okres obiegu komety wokół Słońca, więc przekształcając Równanie 13.12, wyznaczymy długość półosi wielkiej jej orbity. Znając odległość peryhelium od Słońca, możemy skorzystać z definicji półosi wielkiej elipsy, podanej wcześniej w tym rozdziale, aby znaleźć odległość aphelium od Słońca. Jedna jednostka astronomiczna (j.a.) jest średnią odległością Ziemi od Słońca i jest zdefiniowana jako 1 j . a . = 1,50 10 11 m 1 j . a . =1,50 10 11 m .

Rozwiązanie

Przekształcając Równanie 13.12 i podstawiając wartości okresu obiegu komety Halleya i masę Słońca, otrzymujemy:
a = ( G M 4 π 2 T 2 ) 1 3 = [ 6,67 10 11 N m 2 / k g 2 2 10 30 k g 4 π 2 ( 75,3 r o k u 365 d n i r o k 24 g o d z . d z i e ń 3600 s g o d z . ) 2 ] 1 3 . a = ( G M 4 π 2 T 2 ) 1 3 = [ 6,67 10 11 N m 2 / k g 2 2 10 30 k g 4 π 2 ( 75,3 r o k u 365 d n i r o k 24 g o d z . d z i e ń 3600 s g o d z . ) 2 ] 1 3 .

Daje to długość półosi wielkiej orbity komety wynoszącą 2,67 10 12 m 2,67 10 12 m lub 17,8 j.a..

Półoś wielka jest równa połowie odległości między aphelium i peryhelium, mamy więc następującą zależność:

a = 1 2 ( aphelium + peryhelium ) aphelium = 2 a peryhelium . a = 1 2 ( aphelium + peryhelium ) aphelium = 2 a peryhelium .

Podstawiając wartość długości półosi wielkiej orbity, którą wyznaczyliśmy, i podaną odległość peryhelium od Słońca, dostajemy odległość aphelium równą 35 j.a..

Znaczenie

Edmund Halley (1656–1742) żył w czasach Newtona. On pierwszy podejrzewał, że trzy komety odkryte w latach 1531, 1607 i 1682 były w rzeczywistości tą samą kometą. Zanim Tycho Brahe wykonał pomiary ruchu komet, wierzono, że zjawiska te były jednorazowymi wydarzeniami, być może jakimiś zaburzeniami w atmosferze ziemskiej, niemającymi nic wspólnego z ruchem wokół Słońca. Halley wykorzystał nowe wówczas prawa mechaniki podane przez Newtona, aby przewidzieć powrót komety w 1758 r., nazywanej odtąd jego imieniem.

Sprawdź, czy rozumiesz 13.9

Saturn porusza się po prawie kołowej orbicie wokół Słońca z okresem orbitalnym równym 30 lat. Średni promień jego orbity wynosi około 9,5 j.a.. Średnia długość promienia orbity Urana wynosi około 19 j.a., a jego okres orbitalny wynosi 84 lata. Czy dane te są zgodne z naszymi wynikami otrzymanymi dla komety Halleya?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.