11.1 Toczenie się ciał

Podczas ruchu tocznego bez poślizgu pomiędzy toczącym się ciałem i powierzchnią występuje siła tarcia statycznego. Związki $v_{ŚM} = R ω$ , $a_{ŚM} = R ε$ i $d_{ŚM} = R θ$ mają taką postać, że prędkość liniowa, przyspieszenie i odległość przebyta przez środek masy są wyrażone jako zmienne kątowe pomnożone przez promień obiektu.
W ruchu tocznym z poślizgiem pomiędzy toczącym się przedmiotem i powierzchnią występuje siła tarcia kinetycznego. W tym przypadku $v_{ŚM} \neq R ω$ , $a_{ŚM} \neq R ε$ i $d_{ŚM} \neq R θ$ .
Do analizy ruchu tocznego ciał bez poślizgu może być stosowana zasada zachowania energii mechanicznej. Natomiast podczas toczenia się ciał z poślizgiem energia mechaniczna nie jest zachowywana na skutek wytwarzania ciepła towarzyszącego wykonywaniu pracy przeciwko sile tarcia kinetycznego.

11.2 Moment pędu

Moment pędu $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ pojedynczej cząstki względem określonego punktu (początku układu odniesienia) jest iloczynem wektorowym wektora położenia i pędu cząstki w danym układzie współrzędnych.
Moment pędu $\vec{L} = {\vec{l}}_{1} + {\vec{l}}_{2} + {\vec{l}}_{3} + \dots + {\vec{l}}_{N}$ układu cząstek względem określonego punktu jest sumą wektorową poszczególnych momentów pędu cząstek tworzących układ.
Wypadkowy moment siły względem określonego początku układu odniesienia jest pochodną względem czasu wypadkowego momentu pędu względem tego punktu: $d \vec{L} / d t = \sum \vec{M}$ .
Obracająca się wokół stałej osi bryła sztywna ma moment pędu $L = I ω$ będący wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu. Pochodna względem czasu momentu pędu: $d L / d t = \sum M$ daje wypadkowy moment siły działający na bryłę, który jest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu.

Zasada zachowania momentu pędu mówi, że w przypadku braku zewnętrznych momentów sił całkowity moment pędu w układzie jest zachowany. Jest to odpowiednik zasady zachowania pędu, która mówi, że pęd w układzie jest zachowany, gdy suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zero.
W przypadku bryły sztywnej, obracającej się wokół stałej osi, zasada zachowania momentu pędu mówi, że w nieobecności zewnętrznego wypadkowego momentu sił mamy $I_{2} ω_{2} = I_{1} ω_{1}$ . Zgodnie z tym równaniem prędkość kątowa jest odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności. Tak więc jeśli moment bezwładności zmniejsza się, to prędkość kątowa, w celu zachowania moment pędu, musi wzrosnąć.
Układy zawierające zarówno cząstki punktowe, jak i bryły sztywne również mogą być analizowane przy użyciu zasady zachowania momentu pędu. Momenty pędu wszystkich ciał w układzie muszą być liczone względem tej samej wspólnej osi.

Gdy żyroskop jest umieszczony na obrotowym trzpieniu na powierzchni ziemi i wiruje wokół własnej osi symetrii, to wykonuje precesję wokół osi pionowej, ponieważ moment siły jest zawsze poziomy i prostopadły do $\vec{L}$ . Jeżeli żyroskop nie kręci się, uzyskuje moment pędu w kierunku momentu siły i obraca się wokół osi poziomej i wypada z trzpienia, jak moglibyśmy tego oczekiwać.
Prędkość kątową precesji wyraża wzór $ω_{p} = r m g / I ω$ , gdzie: $r$ jest odległością od osi, wokół której następuje precesja, do środka masy żyroskopu, $I$ jest momentem bezwładności wirującego dysku żyroskopu, $m$ jest jego masą, a $ω$ jest prędkością kątową żyroskopu.