17.4 Tryby drgań fali stojącej

Interferencja fal dźwiękowych

W rozdziale Fale rozważaliśmy interferencję fal przesuniętych w fazie. Wyznaczyliśmy funkcję opisującą falę wypadkową, która była superpozycją fal $y_1\left(x,t\right)=A\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)$ i $y_2\left(x,t\right)=A\text{sin}\left(kx-\omega t\right)$ i wynosiła:

$$y(x,t)=2A\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)\sin \left(kx-\omega t+\frac{\varphi }{2}\right).$$

Jeśli fale, które początkowo mają takie same fazy przebędą różne odległości, ich fazy zaczną się różnić. Fale dźwiękowe są doskonałym przykładem fal przesuniętych w fazie na skutek różnicy w długości dróg propagacji. Jak wcześniej stwierdziliśmy, fale dźwiękowe można zasadniczo modelować jako fale podłużne, gdzie cząsteczki powietrza drgają wokół położenia równowagi, lub jako zmiany ciśnienia powietrza.

Gdy fale opuszczają głośnik, propagują się jako fale sferyczne (Ilustracja 17.16). Konstruktywna interferencja fal jest wynikiem dodawania tzw. grzbietów i dolin interferujących ze sobą fal. Destruktywna interferencja zachodzi wówczas, gdy grzbietowi jednej fali odpowiada dolina drugiej i odwrotnie.

Ilustracja 17.16 Gdy fale dźwiękowe wygenerowane są przez głośnik, propagują się w postaci fal sferycznych. Na rysunku przedstawiono dwa głośniki, które generują taki sam sygnał tonalny. W efekcie otrzymujemy punkty o wysokim natężeniu, które są wynikiem dodawania dwóch tzw. grzbietów (zagęszczenia) i dwóch tzw. dolin (rozrzedzenia). Interferencja destruktywna jest wynikiem nakładania grzbietów i dolin. Punkty na rysunku, w których występuje konstruktywna interferencja, są wynikiem nakładania się fal o takiej samej fazie. Punkty, w których występuje destruktywna interferencja, (Ilustracja 17.17) są wynikiem kombinacji fal o różnych fazach.

Ilustracja 17.17 Dwa głośniki są podłączone do jednego generatora sygnałowego. Fale dźwiękowe wygenerowane przez głośniki są w fazie i mają jedną, taką samą częstotliwość. Fale dźwiękowe interferują ze sobą. Gdy spotykają się dwa grzbiety lub dwie doliny, następuje konstruktywna interferencja, zaznaczona niebieskimi i czerwonymi punktami. Gdy spotykają się grzbiety fali z dolinami, wówczas prowadzi to do destrukcyjnej interferencji (zaznaczona czarnymi punktami). Różnica faz zależy od różnicy dróg propagacji pojedynczych fal. Dwie identyczne fale pokonują różne drogi propagacji do punktu P. (a) Różnica pomiędzy długościami dróg propagacji odpowiada długości fali i prowadzi do powstania konstruktywnej interferencji, co oznacza podwojenie amplitudy oryginalnego sygnału. (b) Różnica pomiędzy długościami dróg propagacji jest mniejsza niż jedna długość fali, ale większa niż połowa długości fali, w efekcie amplituda wypadkowej fali jest większa od zera ale mniejsza niż amplituda oryginalnej amplitudy. (c) Różnica pomiędzy długościami dróg propagacji odpowiada połowie długości fali, co oznacza powstanie destruktywnej interferencji i w konsekwencji amplituda wypadkowej fali wynosi zero.

Różnica faz w każdym punkcie związana jest z różnicą pomiędzy długościami dróg propagacji każdej z fal. Kiedy różnica ta jest równa wielokrotności długości fali

wówczas fale mają taką samą fazę i ulegają wzmocnieniu. Gdy różnica długości dróg propagacji jest równa wielokrotności połowy długości fali

wówczas fale są przesunięte w fazie o $180{}^{\circ }(\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})$ i w konsekwencji otrzymujemy interferencję destruktywną. Punkty te mogą być określone za pomocą miernika natężenia dźwięku.

Przykład 17.5

Interferencja fal dźwiękowych

Dwa głośniki znajdują się w odległości 5 m od siebie i są pobudzane generatorem sygnałowym o nieznanej częstotliwości. Student z miernikiem poziomu dźwięku oddalił się o 6 m od głośników i przesunął się o 2 m w kierunku drugiego miernika i znalazł pierwsze minimum poziomu natężenia dźwięku, jak pokazano poniżej. Jaka jest częstotliwość sygnału generowanego przez generator? Załóżmy, że prędkość dźwięku wynosi $v=\mathrm{343,00}\text{m/s}\text{.}$

Strategia rozwiązania

Prędkość fali jest równa $v=\lambda \text{/}T=\lambda f$. Częstotliwość jest zatem równa $f=v\text{/}\lambda$. Minimalna wartość natężenia dźwięku wskazuje destruktywną interferencję i pierwsze minimum pojawia się, jeśli różnica pomiędzy drogami propagacji obu fal wynosi $\text{Δ}r=\lambda \text{/}2,$ co może być wyznaczone z geometrii układu.

Rozwiązanie

1. Znajdź minimalną długość propagacji dla każdego z głośników.
   
   
   $$r_1=\sqrt{{\left(\mathrm{6,00}\text{m}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,00}\text{m}\right)}^2}=\mathrm{6,32}\text{m,}{r}_2=\sqrt{{\left(\mathrm{6,00}\text{m}\right)}^2+{\left(\mathrm{3,00}\text{m}\right)}^2}=\mathrm{6,71}\text{m}$$
2. Wykorzystaj różnicę długości dróg propagacji, aby określić długość fali.
   
   $$\text{Δ}r=\left|r_2-r_1\right|=\left|\mathrm{6,71}\text{m}-\mathrm{6,32}\text{m}\right|=\mathrm{0,39}\text{m}$$
   
   
   $$\lambda =2\mathrm{\Delta }r=2\cdot \mathrm{0,39}\mathrm{m}=\mathrm{0,78}\mathrm{m}$$
3. Wyznacz częstotliwość sygnału.
   
   $$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{\mathrm{343,00}\text{m/s}}{\mathrm{0,78}\text{m}}=\mathrm{439,74}\text{Hz}$$

Znaczenie

Jeśli punkt $P$ byłby punktem, w którym natężenie dźwięku byłoby maksymalne, długość drogi propagacji byłaby wielokrotnością długości fali.

Kwestia przesunięcia fazy z powodu różnic w długościach dróg propagacji jest bardzo ważna. Możesz porównać to zagadnienie w rozdziałach Interferencja oraz Fotony i fale materii, w którym dyskutujemy o tym, w jaki sposób Thomas Young zastosował tę metodę w swoim słynnym eksperymencie z dwiema szczelinami, aby udowodnić, że światło ma analogiczne właściwości.

Redukcja hałasu dzięki interferencji

Ilustracja 17.18 przedstawia pomysłowe zastosowanie interferencji w celu wyeliminowania hałasu. Badano również możliwość zastosowania aktywnych metod redukcji hałasu (ang. noise reduction) w większej skali w samolotach pasażerskich. Interferencję destruktywną otrzymuje się po wykonaniu szybkiej analizy elektronicznej, dzięki której drugi zagłuszający dźwięk jest przesunięty w fazie o ${180}^{\circ }$ w stosunku do zagłuszanego. Wówczas grzbiety i doliny obu dźwięków są ułożone przeciwnie do siebie. Fale dźwiękowe w ośrodkach ciekłych są falami ciśnienia i są zgodne z prawem Paskala (patrz rozdział Prawo Pascala i układy hydrauliczne). To znaczy ciśnienia z dwóch różnych źródeł dodają się i odejmują podobnie jak liczby proste. Z tego powodu dodatnie i ujemne połówki sinusoidalnych zmian ciśnienia dodają się i w konsekwencji zmniejszają wypadkowe ciśnienie, co oznacza mniejsze natężenie dźwięku. Oczywiście możliwa jest interferencja całkowicie destruktywna, ale tylko w skrajnym przypadku. W konsekwencji, przy stosowaniu tej metody, możliwa jest redukcja hałasu o 30 dB i więcej.

Ilustracja 17.18 Słuchawki zaprojektowane w celu redukcji hałasu z wykorzystaniem destruktywnej interferencji, tzn. działające poprzez dodanie sygnału odwróconego w fazie w stosunku do sygnału oryginalnego. Na ilustracji przedstawiono wyidealizowaną sytuację, gdy wygenerowany dźwięk jest przesunięty w fazie dokładnie o $180°$. W rzeczywistości występuje minimalne opóźnienie spowodowane czasem potrzebnym na analizę zagłuszanego dźwięku. Słuchawki takie mogą być bardziej skuteczne niż stosowanie prostego pasywnego tłumienia w ochronnikach słuchu. Takie słuchawki stosowane były w celu redukcji hałasu silników u pilotów samolotu Voyager w 1986 roku.

Gdzie możemy zaobserwować interferencję dźwięku? Wszystkie dźwięki rezonansowe, takie jak dźwięki instrumentów muzycznych, są wynikiem konstruktywnych i destruktywnych interferencji. Tylko drgania o częstotliwościach rezonansowych dodają się i w wyniku tego powstają fale stojące. Natomiast inne interferują destruktywnie i się znoszą.

Rezonans w rurze jednostronnie zamkniętej

Jak stwierdzono w rozdziale Fale, fale stojące (ang. standing wave) są wynikiem sumowania dwóch fal poruszających się w przeciwnych kierunkach. Gdy dwie identyczne fale sinusoidalne poruszają się w przeciwnych kierunkach, opisuje się je zależnościami:

Gdy te dwie interferują, wówczas powstaje fala stojąca:

Rezonans (ang. resonance) może powstać w wyniku nałożenia na fale warunków brzegowych. W rozdziale Fale wykazaliśmy, że rezonans może powstać na naciągniętej strunie, przy założeniu symetrycznych warunków brzegowych, tj. przy założeniu węzłów na obu końcach. Węzły zdefiniowano jako punkty, w których struna się nie porusza. Okazało się, że przyjęcie symetrycznych warunków brzegowych spowodowało, że niektóre częstotliwości rezonują, powodując powstanie fal stojących, podczas gdy inne interferują destruktywnie. Fale dźwiękowe mogą rezonować na przykład w rurze, przy czym częstotliwości, dla których występuje rezonans, zależą od warunków brzegowych.

Załóżmy, że mamy rurę z jednej strony zamkniętą, a z drugiej otwartą. Jeśli trzymamy kamerton (ang. tuning fork) w pobliżu otwartej strony rury, dźwięk propaguje się wewnątrz rury i odbija się od jej końca. Odbity dźwięk posiada taką samą częstotliwość i długość fali jak dźwięk oryginalny, przy czym porusza się w przeciwnym kierunku. Na końcu rury cząsteczki powietrza mają bardzo mało miejsca, aby wykonywać drgania, co skutkuje powstaniem węzła. Na końcu otwartej części rury cząsteczki powietrza mają dużą swobodę, by wykonywać drgania, i dla odpowiednich częstotliwości tworzy się wówczas strzałka. W przeciwieństwie do symetrycznych warunków brzegowych na strunie, gdzie powstają fale stojące, warunki brzegowe dla rury jednostronnie otwartej są niesymetryczne – węzeł na końcu zamkniętej rury i strzałka na końcu otwartej.

Jeśli kamerton ma odpowiednią częstotliwość, słup powietrza w rurze rezonuje bardzo mocno, ale dla większości częstotliwości rezonuje bardzo słabo. Oznacza to, że słup powietrza w rurze ma swoją częstotliwość własną. Rozważmy najniższą częstotliwość, dla której powietrze w rurze wpadnie w rezonans i w konsekwencji powstanie głośny dźwięk. Przy zamkniętej części rury powstanie węzeł, natomiast przy otwartej – strzałka – tak jak to pokazano na Ilustracji 17.19.

Ilustracja 17.19 Rezonans powietrza w rurze jednostronnie zamkniętej powodowany przez kamerton drgający z najniższą częstotliwością, powodującą powstanie rezonansu (częstotliwość podstawowa). Węzeł powstaje na końcu zamkniętej części rury, a strzałka przy stronie otwartej.

Fala stojąca posiada węzeł na końcu zamkniętej części rury oraz strzałkę na końcu otwartej części. Odległość pomiędzy węzłem i strzałką wynosi jedną czwartą długości fali, co odpowiada długości rury, czyli ${\lambda }_1=4L.$ Taki sam rezonans może powstać w wyniku drgań pobudzających na końcu zamkniętej części rury (Ilustracja 17.20). Najlepiej rozważać drgania własne słupa powietrza w rurze, niezależnie od sposobu ich wywołania.

Ilustracja 17.20 Taka sama fala stojąca może powstać w rurze, jeśli pobudzimy do drgań powietrze w rurze w pobliżu zamkniętej części rury

Biorąc pod uwagę, że maksymalne drgania powietrza możliwe są przy otwartym końcu rury, a żadne na zamkniętym końcu, w rurze mogą rezonować także inne fale o krótszej długości, tak jak pokazano na Ilustracji 17.21. Na rysunku fala stojąca ma długość równą 3/4 długości fali $3{\lambda }_3\text{/}4=L$, co daje ${\lambda }_3=4L\text{/}3$. Dalsza analiza pokazuje, że wewnątrz rury powstają rezonanse dla jeszcze krótszych długości fal. Najniższa częstotliwość, dla której występuje rezonans, nazywa się częstotliwością podstawową (ang. fundamental frequency), natomiast wszystkie wyższe częstotliwości rezonansowe nazywane są alikwotami (ang. overtones). Wszystkie częstotliwości rezonansowe są wielokrotnością częstotliwości podstawowej i są wspólnie nazywane harmonicznymi (ang. harmonics). Częstotliwość podstawowa jest pierwszą harmoniczną, pierwszy alikwot jest drugą harmoniczną itd. Ilustracja 17.22 pokazuje częstotliwość podstawową i pierwsze trzy alikwoty (pierwsze cztery harmoniczne) w rurze jednostronnie zamkniętej.

Ilustracja 17.21 Inny rezonans w rurze jednostronnie zamkniętej. Fala stojąca ma największe wychylenie na końcu otwartej strony rury i brak wychylenia przy zamkniętym końcu rury. Długość fali jest krótsza i wynosi 3/4 $\lambda \prime$ równej długości rury i stąd $\lambda \prime =4L\text{/}3$. Wyższa częstotliwość rezonansowa nazywa się pierwszym alikwotem.

Ilustracja 17.22 Częstotliwość podstawowa i trzy najniższe alikwoty dla rury jednostronnie zamkniętej. Dla wszystkich częstotliwości maksymalne wychylenie występuje na końcu otwartej rury, a ich brak – na końcu zamkniętej.

W rurze jednostronnie zamkniętej rezonans występuje dla następujący długości fal:

Spójrzmy teraz na wzór dla częstotliwości rezonansowych dla prostej rury jednostronnie zamkniętej. Częstotliwość podstawowa dla długości fali $\lambda =4L$ jest związana z prędkością dźwięku daną wzorem:

$$v=f\lambda .$$

Rozwiązując powyższe równanie, można wyznaczyć $f$, która wynosi:

gdzie $v$ jest prędkością dźwięku w powietrzu. Podobnie dla pierwszego alikwota $\lambda =4L\text{/}3$ (patrz Ilustracja 17.22) otrzymujemy:

Ponieważ $f_3=3f_1$, pierwszy alikwot nazywamy trzecią harmoniczną. Postępując analogicznie, dochodzimy do wzoru, który można uogólnić za pomocą jednej zależności. Częstotliwości rezonansowe w rurze jednostronnie otwartej występują dla:

gdzie $f_1$ jest częstotliwością podstawową, $f_3$ jest pierwszym alikwotem itd. Interesujące jest to, że częstotliwości rezonansowe zależą od prędkości dźwięku oraz od temperatury. Zależność ta stwarza odczuwalny problem np. dla organów w starych nieogrzewanych kościołach (katedrach). Z tego powodu muzycy przed koncertem trzymają instrumenty dęte w pomieszczeniu o temperaturze pokojowej a nie na mrozie.

Rezonans w rurze obustronnie otwartej

Innym źródłem powstawania fal stojących jest rura obustronnie otwarta. W tym przypadku warunki brzegowe są symetryczne – na obu końcach powstają strzałki. Rezonanse w rurze obustronnie otwartej mogą być analizowane w podobny sposób jak w przypadku rury jednostronnie zamkniętej. Słupy powietrza w rurach obustronnie otwartych posiadają maksymalne wychylenie na obu końcach (Ilustracja 17.23). Fale stojące pokazano na rysunku 8.

Ilustracja 17.23 Częstotliwości rezonansowe w rurze obustronnie otwartej, zawierające częstotliwość podstawową i pierwsze trzy alikwoty. We wszystkich przypadkach maksymalne przesunięcie (ciśnienie, wychylenie) pojawia się na obu końcach rury, dając inne częstotliwości podstawowe niż w przypadku rury jednostronnie zamkniętej.

W rurze obustronnie otwartej rezonans występuje dla następujących długości fal:

Uwzględniając fakt, że na obu końcach rury obustronnie otwartej występują maksymalne wychylenia drgającego słupa powietrza oraz korzystając z Ilustracji 17.23 możemy wyznaczyć częstotliwości rezonansowe rury obustronnie otwartej:

gdzie $f_1$ jest częstotliwością podstawową, $f_2$ jest pierwszym alikwotem, $f_3$ jest drugim alikwotem itd. Należy zauważyć, że dla rury obustronnie otwartej częstotliwości rezonansowe są dwukrotnie większe niż dla rury jednostronnie otwartej. Oba typy rur różnią się też zestawem (widmem) alikwot.

Zauważ, że rura obustronnie otwarta ma symetryczne warunki brzegowe, podobnie jak struna zaczepiona z obu stron, jak to było przedstawione w rozdziale Fale. Wzory na długości fal i częstotliwości rezonansowe instrumentu strunowego są takie same jak w Równaniu 17.15 i Równaniu 17.16. Prędkość fali na strunie (patrz rozdział Fale) wynosi $v=\sqrt{F_T\text{/}\mu }$. Powietrze wokół obustronnie otwartej rury wibruje z takimi samymi częstotliwościami jak w przypadku struny, wytwarzając dźwięki o takich samych częstotliwościach. Fala dźwiękowa porusza się z prędkością dźwięku i długością fali równą $v=\lambda f.$