William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

17.5 Źródła dźwięków muzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać częstotliwości rezonansowe w instrumentach, które można uznać za rury o symetrycznych lub niesymetrycznych warunkach brzegowych.

Niektóre instrumenty muzyczne – instrumenty dęte drewniane, mosiężne, organy piszczałkowe – można modelować jako rury z symetrycznymi warunkami brzegowymi (ang. tubes with symmetrical boundary conditions), obustronnie otwartymi lub zamkniętymi (Ilustracja 17.24). Inne instrumenty mogą być modelowane jako rury z niesymetrycznymi warunkami brzegowymi (ang. tubes with anti-symmetrical boundary conditions), z jednej strony otwarte, a z drugiej zamknięte (Ilustracja 17.25).

Rysunek przedstawia częstotliwość podstawową oraz trzy najniższe alikwoty dla rury jednostronnie zamkniętej. Częstotliwość podstawowa odpowiada połowie swojej długości fali w rurze. Pierwszy alikwot odpowiada długości fali w rurze, drugi alikwot trzem drugim długości fali w rurze, trzeci alikwot podwojonej długości fali w rurze. Dla wszystkich nich maksymalne drgania powietrza występują na obu końcach rury. — Ilustracja 17.24 Niektóre instrumenty muzyczne mogą być modelowane jako rury obustronnie otwarte.

Częstotliwości rezonansowe powstają na skutek rozchodzenia się fal podłużnych w rurach i ich interferencji z falami odbitymi, poruszającymi się w przeciwnych kierunkach. Organy piszczałkowe składają się z różnych piszczałek (rur) o określonych długościach, w celu wytworzenia różnych częstotliwości. Fale są wynikiem sprężania powietrza, które może się następnie rozprężać w rurach. Nawet w otwartych rurach niektóre odbicia pojawią się w wyniku oddziaływania końców rury z ciśnieniem atmosferycznym na zewnątrz rury.

Strzałki nie występują dokładnie przy otworze rury, ale zależą od promienia rury. Fale nie propagują się w pełni, dopóki nie znajdą się poza otwartym końcem rury, a dla cienkościennej rury należy dodać korektę końcową. Ta korekcja końcowa jest około 0,6 razy większa od promienia rury i powinna być dodana do długości rurki.

Muzycy grający na instrumentach takich jak flet czy obój zmieniają długość rury poprzez otwieranie i zamykanie otworów palcami. Na puzonie długość rury można zmieniać za pomocą rury przesuwnej. Trąbki posiadają określoną długość i mogą generować dźwięki o określonych częstotliwościach.

Częstotliwość podstawowa i alikwoty mogą występować dla różnych kombinacji. Na przykład środkowe C na trąbce wyraźnie różni się od środkowego C na klarnecie, chociaż oba instrumenty są zmodyfikowanymi wersjami rury jednostronnie zamkniętej. Częstotliwość podstawowa jest taka sama (i najczęściej o największym natężeniu), ale alikwoty i ich kombinacje są różne. To sprawia, że różne instrumenty muzyczne (jak również ludzkie głosy) posiadają cechy charakterystyczne, niezależnie od tego, czy dźwięki wywołują słupy powietrza, struny, komory dźwiękowe czy bębny. W rzeczywistości np. nasza mowa jest wyznaczana przez kształt wnęki utworzonej przez gardło i usta w celu otrzymania odpowiedniej częstotliwości podstawowej i alikwotów. Na przykład można tworzyć proste wnęki rezonansowe (ang. resonant cavities) w celu rezonowania dźwięków samogłosek (Ilustracja 17.26). U chłopców w okresie dojrzewania krtań rośnie i zmienia się kształt wnęki rezonansowej, co powoduje różnicę w dominujących częstotliwościach u kobiet i mężczyzn.

Rysunek przedstawia budowę gardła i jamy ustnej. Powietrze przechodzi z tchawicy do krtani, gardła i jamy ustnej. Struna głosowa znajduje się pomiędzy krtaniem i gardłem. Nagłośnia znajduje się powyżej gardła. Język znajduje się w jamie ustnej. Miękkie podniebienie znajduje się na górze jamy ustnej. Podniebienie twarde oddziela jamę ustną od jamy nosowej. — Ilustracja 17.26 Gardło i usta formują słup powietrza z jednej strony zamknięty, który rezonuje w odpowiedzi na wibracje aparatu głosowego. Widmo alikwotów i ich natężenie zmieniają się wraz z ukształtowaniem ust i położeniem języka, tworząc różne dźwięki. Aparat głosowy może być zastąpiony przez drgającą membranę i zrozumienie mowy jest w dalszym ciągu możliwe. Różnice w podstawowych kształtach anatomicznych układu gardła i jamy ustnej sprawiają, że mamy do czynienia z różnymi głosami.

Przykład 17.6

Wyznaczanie długości rury o częstotliwości podstawowej 128 Hz

Jaką długość powinna mieć rura jednostronnie zamknięta w dniu, w którym temperatura powietrza wynosi $22,0^{\circ} C$ , jeśli jej częstotliwość podstawowa wynosi 128 Hz?
Jaka jest częstotliwość czwartego alikwota?

Strategia rozwiązania

Długość rury

L

można wyznaczyć z zależności

f_{n} = n v / (4 L)

, ale wcześniej należy wyznaczyć prędkość dźwięku

v

.

Rozwiązanie

Określ znane wielkości: częstotliwość podstawowa wynosi 128 Hz, a temperatura powietrza wynosi $22,0^{\circ} C$ .
Skorzystaj ze wzoru $f_{n} = n v / (4 L)$ , aby wyznaczyć częstotliwość podstawową ( $n = 1$ ),

$f_{1} = \frac{v}{4 L} .$

Przekształć równanie do postaci:

$L = \frac{v}{4 f_{1}} .$

Oblicz prędkość dźwięku, korzystając ze wzoru $v = 331 m / s \sqrt{T / 273 K}$ ,

$v = 331 \frac{m}{s} \sqrt{\frac{295 K}{273 K}} = 344 \frac{m}{s} .$

Podstaw wartości prędkości dźwięku oraz częstotliwości do wyrażenia na $L$ .

$L = \frac{v}{4 f_{1}} = \frac{344 m / s}{4 \cdot 128 H z} = 0,672 m$
Określ znane wielkości: dla pierwszego alikwota $n = 3$ , dla drugiego alikwota $n = 5$ , dla trzeciego alikwota $n = 7$ i dla czwartego alikwota $n = 9$ .
Podstaw wartość dla czwartego alikwota do wzoru $f_{n} = n v / (4 L)$

$f_{9} = 9 \frac{v}{4 L} = 9 f_{1} = 1,15 kHz .$

Znaczenie

Wiele instrumentów dętych to zmodyfikowane rury wyposażone w otwory, zawory i inne urządzenia służące do zmiany długości słupa powietrza rezonansowego, a tym samym częstotliwości generowanego dźwięku. Rury, z których zbudowane są róg lub tuba, muszą być bardzo długie, by wytwarzały niskie częstotliwości. Ze względów praktycznych rury zwijane są więc w pętle. Niezależnie od tego, w jaki sposób pojawiają się alikwoty, czy w prostej rurze, czy w instrumencie muzycznym, dźwięk zależy od tego, w jaki sposób następuje stymulowanie drgań oraz jaki jest kształt rezonatora. Na przykład puzon nie wytwarza podstawowej częstotliwości, tylko alikwoty.

Jeśli mamy dwie rury z taką samą częstotliwością podstawową, ale jedna z nich jest jednostronnie zamknięta, a druga obustronnie otwarta, ich dźwięki brzmią inaczej, ponieważ mają różne alikwoty. Na przykład środkowe C grane na rurze otwartej brzmiałoby głośniej, ponieważ ma parzyste i nieparzyste wielokrotności częstotliwości podstawowej. Zamknięta rura ma tylko nieparzyste wielokrotności.

Rezonans

Rezonanse powstają w różnych układach, np. strunach, słupach powietrznych, atomach. W poprzednich rozdziałach powiedzieliśmy, że rezonans powstaje w wyniku pobudzenia układu siłą wymuszającą z częstotliwością równą częstotliwości podstawowej. Amplituda tych drgań gwałtownie rośnie, aż do momentu, gdy prawo Hooke’a dla tego układu przestanie obowiązywać. Przykładem tego jest np. dźwięk celowo zniekształcony w niektórych rodzajach muzyki rockowej.

Instrumenty dęte wykorzystują rezonans słupa powietrza do wzmocnienia tonów generowanych przez usta lub drgające trzciny. Inne instrumenty wykorzystują rezonans do wzmocnienia dźwięków w bardzo sprytny sposób. Ilustracja 17.27 prezentuje skrzypce i gitarę, które mają pudła rezonansowe, ale o różnych kształtach, co sprawia, że mają różną strukturę alikwotów. Wibrująca struna generuje dźwięk, który rezonuje w pudle rezonansowym, wzmacniając w ten sposób dźwięk i tworząc efekty, które nadają instrumentowi charakterystyczną barwę. Im bardziej skomplikowany jest kształt pudła rezonansowego, tym większa jest jego zdolność do rezonowania w szerokim zakresie częstotliwości. Marimba, którą przedstawiono na Ilustracji 17.28, wykorzystuje kotły lub gurdy poniżej drewnianych listew, aby wzmocnić ich dźwięki. Rezonans kotła może być regulowany przez dolanie wody.

Zdjęcie A przedstawia z bliska skrzypce. Zdjęcie B przedstawia osobę grającą na gitarze. — Ilustracja 17.27 Instrumenty strunowe takie jak skrzypce (a) lub gitary (b) wykorzystują rezonans w swoich pudłach rezonansowych w celu wzmocnienia i wzbogacenia dźwięku wygenerowanego przez struny. Mostek i progi pozwalają skierować dźwięk drgającej struny do pudła rezonansowego i powietrza. (Źródło: praca Feliciano Guimaresa (a); praca Steva Snodgrassa (b))

Zdjęcie przedstawia dwóch muzyków grających na marimbach. — Ilustracja 17.28 Rezonans był używany w instrumentach muzycznych od czasów prehistorycznych. Marimba wykorzystuje gurdy jako komory rezonansowe wzmacniające dźwięk. (Źródło: „APC Events”/Flickr)

W naszych rozważaniach podkreślaliśmy zastosowanie rezonansu i fal stojących, ale teorie te odnoszą się do każdego układu mającego cechy falowe. Drgające struny na przykład rezonują i posiadają częstotliwości podstawowe i alikwoty podobne do słupa powietrza. Bardziej subtelne są drgania atomów na skutek natury falowej elektronów. Ich orbity mogą być postrzegane jako fale stojące, które mają częstotliwość podstawową (stan podstawowy) i alikwoty (stan wzbudzenia). To fascynujące, że charakterystyka fal ma zastosowanie w szerokim zakresie układów fizycznych.