William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać częstotliwości rezonansowe w instrumentach, które można uznać za rury o symetrycznych lub niesymetrycznych warunkach brzegowych.

Niektóre instrumenty muzyczne – instrumenty dęte drewniane, mosiężne, organy piszczałkowe – można modelować jako rury z symetrycznymi warunkami brzegowymi (ang. tubes with symmetrical boundary conditions), obustronnie otwartymi lub zamkniętymi (Ilustracja 17.24). Inne instrumenty mogą być modelowane jako rury z niesymetrycznymi warunkami brzegowymi (ang. tubes with anti-symmetrical boundary conditions), z jednej strony otwarte, a z drugiej zamknięte (Ilustracja 17.25).

Rysunek przedstawia częstotliwość podstawową oraz trzy najniższe alikwoty dla rury jednostronnie zamkniętej. Częstotliwość podstawowa odpowiada połowie swojej długości fali w rurze. Pierwszy alikwot odpowiada długości fali w rurze, drugi alikwot trzem drugim długości fali w rurze, trzeci alikwot podwojonej długości fali w rurze. Dla wszystkich nich maksymalne drgania powietrza występują na obu końcach rury.

Ilustracja 17.24 Niektóre instrumenty muzyczne mogą być modelowane jako rury obustronnie otwarte.

Ilustracja 17.25 Niektóre instrumenty muzyczne mogą być modelowane jako rury jednostronnie zamknięte.

Częstotliwości rezonansowe powstają na skutek rozchodzenia się fal podłużnych w rurach i ich interferencji z falami odbitymi, poruszającymi się w przeciwnych kierunkach. Organy piszczałkowe składają się z różnych piszczałek (rur) o określonych długościach, w celu wytworzenia różnych częstotliwości. Fale są wynikiem sprężania powietrza, które może się następnie rozprężać w rurach. Nawet w otwartych rurach niektóre odbicia pojawią się w wyniku oddziaływania końców rury z ciśnieniem atmosferycznym na zewnątrz rury.

Strzałki nie występują dokładnie przy otworze rury, ale zależą od promienia rury. Fale nie propagują się w pełni, dopóki nie znajdą się poza otwartym końcem rury, a dla cienkościennej rury należy dodać korektę końcową. Ta korekcja końcowa jest około 0,6 razy większa od promienia rury i powinna być dodana do długości rurki.

Muzycy grający na instrumentach takich jak flet czy obój zmieniają długość rury poprzez otwieranie i zamykanie otworów palcami. Na puzonie długość rury można zmieniać za pomocą rury przesuwnej. Trąbki posiadają określoną długość i mogą generować dźwięki o określonych częstotliwościach.

Częstotliwość podstawowa i alikwoty mogą występować dla różnych kombinacji. Na przykład środkowe C na trąbce wyraźnie różni się od środkowego C na klarnecie, chociaż oba instrumenty są zmodyfikowanymi wersjami rury jednostronnie zamkniętej. Częstotliwość podstawowa jest taka sama (i najczęściej o największym natężeniu), ale alikwoty i ich kombinacje są różne. To sprawia, że różne instrumenty muzyczne (jak również ludzkie głosy) posiadają cechy charakterystyczne, niezależnie od tego, czy dźwięki wywołują słupy powietrza, struny, komory dźwiękowe czy bębny. W rzeczywistości np. nasza mowa jest wyznaczana przez kształt wnęki utworzonej przez gardło i usta w celu otrzymania odpowiedniej częstotliwości podstawowej i alikwotów. Na przykład można tworzyć proste wnęki rezonansowe (ang. resonant cavities) w celu rezonowania dźwięków samogłosek (Ilustracja 17.26). U chłopców w okresie dojrzewania krtań rośnie i zmienia się kształt wnęki rezonansowej, co powoduje różnicę w dominujących częstotliwościach u kobiet i mężczyzn.

Rysunek przedstawia budowę gardła i jamy ustnej. Powietrze przechodzi z tchawicy do krtani, gardła i jamy ustnej. Struna głosowa znajduje się pomiędzy krtaniem i gardłem. Nagłośnia znajduje się powyżej gardła. Język znajduje się w jamie ustnej. Miękkie podniebienie znajduje się na górze jamy ustnej. Podniebienie twarde oddziela jamę ustną od jamy nosowej.

Ilustracja 17.26 Gardło i usta formują słup powietrza z jednej strony zamknięty, który rezonuje w odpowiedzi na wibracje aparatu głosowego. Widmo alikwotów i ich natężenie zmieniają się wraz z ukształtowaniem ust i położeniem języka, tworząc różne dźwięki. Aparat głosowy może być zastąpiony przez drgającą membranę i zrozumienie mowy jest w dalszym ciągu możliwe. Różnice w podstawowych kształtach anatomicznych układu gardła i jamy ustnej sprawiają, że mamy do czynienia z różnymi głosami.

Przykład 17.6

Wyznaczanie długości rury o częstotliwości podstawowej 128 Hz

Jaką długość powinna mieć rura jednostronnie zamknięta w dniu, w którym temperatura powietrza wynosi $22,0^{\circ} C$ , jeśli jej częstotliwość podstawowa wynosi 128 Hz?
Jaka jest częstotliwość czwartego alikwota?

Strategia rozwiązania

Długość rury

L

można wyznaczyć z zależności

f_{n} = n v / (4 L)

, ale wcześniej należy wyznaczyć prędkość dźwięku

v

Rozwiązanie

Określ znane wielkości: częstotliwość podstawowa wynosi 128 Hz, a temperatura powietrza wynosi $22,0^{\circ} C$ .
Skorzystaj ze wzoru $f_{n} = n v / (4 L)$ , aby wyznaczyć częstotliwość podstawową ( $n = 1$ ),

$f_{1} = \frac{v}{4 L} .$

Przekształć równanie do postaci:

$L = \frac{v}{4 f_{1}} .$

Oblicz prędkość dźwięku, korzystając ze wzoru $v = 331 m / s \sqrt{T / 273 K}$ ,

$v = 331 \frac{m}{s} \sqrt{\frac{295 K}{273 K}} = 344 \frac{m}{s} .$

Podstaw wartości prędkości dźwięku oraz częstotliwości do wyrażenia na $L$ .

$L = \frac{v}{4 f_{1}} = \frac{344 m / s}{4 \cdot 128 H z} = 0,672 m$
Określ znane wielkości: dla pierwszego alikwota $n = 3$ , dla drugiego alikwota $n = 5$ , dla trzeciego alikwota $n = 7$ i dla czwartego alikwota $n = 9$ .
Podstaw wartość dla czwartego alikwota do wzoru $f_{n} = n v / (4 L)$

$f_{9} = 9 \frac{v}{4 L} = 9 f_{1} = 1,15 kHz .$

Znaczenie

Wiele instrumentów dętych to zmodyfikowane rury wyposażone w otwory, zawory i inne urządzenia służące do zmiany długości słupa powietrza rezonansowego, a tym samym częstotliwości generowanego dźwięku. Rury, z których zbudowane są róg lub tuba, muszą być bardzo długie, by wytwarzały niskie częstotliwości. Ze względów praktycznych rury zwijane są więc w pętle. Niezależnie od tego, w jaki sposób pojawiają się alikwoty, czy w prostej rurze, czy w instrumencie muzycznym, dźwięk zależy od tego, w jaki sposób następuje stymulowanie drgań oraz jaki jest kształt rezonatora. Na przykład puzon nie wytwarza podstawowej częstotliwości, tylko alikwoty.

Jeśli mamy dwie rury z taką samą częstotliwością podstawową, ale jedna z nich jest jednostronnie zamknięta, a druga obustronnie otwarta, ich dźwięki brzmią inaczej, ponieważ mają różne alikwoty. Na przykład środkowe C grane na rurze otwartej brzmiałoby głośniej, ponieważ ma parzyste i nieparzyste wielokrotności częstotliwości podstawowej. Zamknięta rura ma tylko nieparzyste wielokrotności.

Rezonans

Rezonanse powstają w różnych układach, np. strunach, słupach powietrznych, atomach. W poprzednich rozdziałach powiedzieliśmy, że rezonans powstaje w wyniku pobudzenia układu siłą wymuszającą z częstotliwością równą częstotliwości podstawowej. Amplituda tych drgań gwałtownie rośnie, aż do momentu, gdy prawo Hooke’a dla tego układu przestanie obowiązywać. Przykładem tego jest np. dźwięk celowo zniekształcony w niektórych rodzajach muzyki rockowej.

Instrumenty dęte wykorzystują rezonans słupa powietrza do wzmocnienia tonów generowanych przez usta lub drgające trzciny. Inne instrumenty wykorzystują rezonans do wzmocnienia dźwięków w bardzo sprytny sposób. Ilustracja 17.27 prezentuje skrzypce i gitarę, które mają pudła rezonansowe, ale o różnych kształtach, co sprawia, że mają różną strukturę alikwotów. Wibrująca struna generuje dźwięk, który rezonuje w pudle rezonansowym, wzmacniając w ten sposób dźwięk i tworząc efekty, które nadają instrumentowi charakterystyczną barwę. Im bardziej skomplikowany jest kształt pudła rezonansowego, tym większa jest jego zdolność do rezonowania w szerokim zakresie częstotliwości. Marimba, którą przedstawiono na Ilustracji 17.28, wykorzystuje kotły lub gurdy poniżej drewnianych listew, aby wzmocnić ich dźwięki. Rezonans kotła może być regulowany przez dolanie wody.

Zdjęcie A przedstawia z bliska skrzypce. Zdjęcie B przedstawia osobę grającą na gitarze.

Ilustracja 17.27 Instrumenty strunowe takie jak skrzypce (a) lub gitary (b) wykorzystują rezonans w swoich pudłach rezonansowych w celu wzmocnienia i wzbogacenia dźwięku wygenerowanego przez struny. Mostek i progi pozwalają skierować dźwięk drgającej struny do pudła rezonansowego i powietrza. (Źródło: praca Feliciano Guimaresa (a); praca Steva Snodgrassa (b))

Zdjęcie przedstawia dwóch muzyków grających na marimbach.

Ilustracja 17.28 Rezonans był używany w instrumentach muzycznych od czasów prehistorycznych. Marimba wykorzystuje gurdy jako komory rezonansowe wzmacniające dźwięk. (Źródło: „APC Events”/Flickr)

W naszych rozważaniach podkreślaliśmy zastosowanie rezonansu i fal stojących, ale teorie te odnoszą się do każdego układu mającego cechy falowe. Drgające struny na przykład rezonują i posiadają częstotliwości podstawowe i alikwoty podobne do słupa powietrza. Bardziej subtelne są drgania atomów na skutek natury falowej elektronów. Ich orbity mogą być postrzegane jako fale stojące, które mają częstotliwość podstawową (stan podstawowy) i alikwoty (stan wzbudzenia). To fascynujące, że charakterystyka fal ma zastosowanie w szerokim zakresie układów fizycznych.

17.5 Źródła dźwięków muzycznych

Wyznaczanie długości rury o częstotliwości podstawowej 128 Hz

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Rezonans