William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

ustalać częstotliwość dudnienia, wytworzonego przez dwie fale dźwiękowe różniące się częstotliwością;
opisywać mechanizm powstawania dudnień w instrumentach muzycznych.

Badania o muzyce dostarczają wielu przykładów superpozycji fal oraz konstruktywnej i destrukcyjnej interferencji. Jest niewiele przykładów muzyki wykonywanej przez jedno źródło, generujące jedną częstotliwość przez dłuższy czas. Prawdopodobnie zgodzisz się z tym, że pojedyncza częstotliwość grana przez dłuższy czas jest nudna i irytująca, podobnie jak dźwięk silnika samolotu czy głośnego wentylatora. Muzyka jest przyjemna i ciekawa dzięki mieszaniu się różnych częstotliwości różnych instrumentów i głosów.

Ciekawym zjawiskiem, które występuje w wyniku konstruktywnej i destrukcyjnej interferencji dwóch lub więcej częstotliwości dźwięku, jest zjawisko dudnień (ang. beats). Jeśli dwa dźwięki różnią się częstotliwością, fala wypadkowa może być zapisana jako:

y_{1} = A \cos (k_{1} x - 2 π f_{1} t) oraz y_{2} = A \cos (k_{2} x - 2 π f_{2} t) .

Wykorzystując znany z trygonometrii wzór $cos u + cos v = 2 cos ((u + v) / 2) cos ((u - v) / 2)$ , a następnie ustalając położenie punktu odniesienia $x = 0 m$ w przestrzeni, możemy wyznaczyć punkt w przestrzeni, w którym występuje superpozycja dwóch fal dźwiękowych, która jest równa:

y (t) = 2 A cos (2 π f_{średnia} t) cos (2 π (\frac{| f_{2} - f_{1} |}{2}) t),

gdzie częstotliwość dudnień (ang. beat frequency) jest równa:

f_{dudnienia} = | f_{2} - f_{1} | .

17.17

Wykres przedstawia przemieszczenia w centymetrach w funkcji czasu w sekundach. Górny wykres pokazuje dwie fale dźwiękowe. Wykres dolny pokazuje falę wypadkową z zaznaczonymi obszarami konstruktywnej (amplituda podwójna) i destruktywnej (amplituda równa zero) interferencji.

Ilustracja 17.29 Dudnienia powstałe na skutek konstruktywnej i destrukcyjnej interferencji dwóch fal dźwiękowych różniących się częstotliwościami.

Dudnienia te mogą być pożyteczne dla stroicieli fortepianów. Widełki stroikowe są pobudzone do drgań, podobnie jak dźwięk na fortepianie. Gdy stroiciel dostraja struny fortepianu, słyszy dudnienia o malejącej częstotliwość wynikające z wyrównywania częstości struny z częstotliwością generowaną przez widełki stroikowe.

Przykład 17.7

Znajdź częstotliwość dudnień pomiędzy dwoma kamertonami

Jaka jest częstotliwość dudnień, gdy dwa kamertony o częstotliwości 256 Hz i 512 Hz pobudzone są jednocześnie?

Strategia rozwiązania

Częstotliwość dudnień jest równa różnicy dwóch częstotliwości.

Rozwiązanie

Korzystamy z

f_{dudnienia} = | f_{2} - f_{1} | :

| f_{2} - f_{1} | = 512 H z - 256 H z = 256 H z .

Znaczenie

Częstotliwość dudnień jest modułem różnicy dwóch częstotliwości. Częstotliwość ujemna nie miałaby sensu.

Sprawdź, czy rozumiesz 17.8

Co się stanie, jeśli więcej niż dwie częstotliwości będą interferować? Przeanalizuj trzy częstotliwości.

Badanie superpozycji różnych fal ma wiele interesujących zastosowań poza badaniami dźwięku. W dalszych rozdziałach omówimy właściwości falowe cząstek. Cząstki mogą być modelowane jako „pakiety falowe”, które wynikają z superpozycji różnych fal, a cząstka porusza się z „prędkością grupową” pakietu falowego.

17.6 Dudnienia

Znajdź częstotliwość dudnień pomiędzy dwoma kamertonami

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie