1.5 Szacowanie i pytania Fermiego - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

szacować wartości wielkości fizycznych.

Naukowcy i inżynierowie często muszą dokonać oszacowania wartości pewnej wielkości fizycznej. W tym kontekście często mówi się też o pytaniach Fermiego. (Fizyk Enrico Fermi, o którym wspominaliśmy wcześniej, znany był z umiejętności określania wartości różnych danych z zaskakującą precyzją). Czy ten sprzęt zmieści się w bagażniku naszego samochodu, czy też trzeba będzie wynająć ciężarówkę? Ile czasu zajmie pobieranie tego pliku? Jakie będzie natężenie prądu w tym obwodzie? Ile gospodarstw domowych będzie korzystać z energii produkowanej w nowo budowanej elektrowni? Zauważ, że szacowanie nie jest równoznaczne ze zgadywaniem. Szacowanie (ang. estimation) oznacza określenie przybliżonej wartości na podstawie dotychczasowego doświadczenia oraz logicznego rozumowania. Proces szacowania wartości pomaga kształtować fizyczną intuicję, ponieważ wymaga określenia, które prawa fizyki mają wpływ na daną sytuację. Wymaga także trafnego określenia wartości pewnych wielkości. Szacowanie pozwala również na stwierdzenie, czy wykonane przez nas obliczenia lub zaproponowane zasady mają sens – jeśli nasz wynik znacznie różni się od oszacowanego, oznacza to, że popełniliśmy błąd. Określanie przybliżonych wartości stanowi wyzwanie w dążeniu do poznawania prawdy o otaczającym świecie.

Szacunkowe obliczenia często oparte są na wzorach, do których podstawiane są wielkości o wartościach znanych tylko z pewną dokładnością. Nabierając wprawy w rozwiązywaniu problemów fizycznych (co przydaje się w wielu dziedzinach), wprawy nabiera się w szacowaniu. Umiejętność szacowania rozwija się dzięki postrzeganiu świata w kategoriach liczb, a także dzięki podejmowaniu ryzyka. Pomocna jest również wiedza z zakresu wymiarów (zobacz Tabelę 1.4), jednostek (zobacz Tabelę 1.2 i Tabelę 1.3) oraz skali jednostek podstawowych (zobacz Tabelę 1.1).

Jeśli chcesz nauczyć się szacować, musisz wiedzieć, jak określać jedne wielkości na podstawie innych. Poniższe rady będą pomocne w nauce sztuki szacowania:

Oszacuj większe długości na podstawie mniejszych. Podczas szacowania długości pamiętaj, że jako linijki możesz użyć czegokolwiek. Spróbuj podzielić w myślach dużą rzecz na mniejsze, oszacuj długość jednej z mniejszych rzeczy, a następnie pomnóż ją tyle razy, aby otrzymać długość większej rzeczy. Na przykład, aby oszacować wysokość budynku, najpierw policz, ile ma on pięter. Następnie oszacuj wysokość jednego piętra, wyobrażając sobie, ile osób musiałoby stanąć jedna na drugiej, aby wypełnić przestrzeń od podłogi do sufitu. Na końcu oszacuj wzrost człowieka. Mnożąc przez siebie otrzymane liczby, uzyskasz wysokość budynku. Warto zapamiętać kilka skali długości związanych z problemami, których rozwiązywaniem się zajmujemy. Może się przydać znajomość skali długości zawartych w Tabeli 1.1. Działanie w drugą stronę może się przydać, jeśli chcemy oszacować długość małego obiektu. Wystarczy wyobrazić sobie kilka takich obiektów połączonych w jeden, większy. Na przykład, aby ocenić grubość kartki papieru, oszacuj grubość stosu takich kartek, a następnie podziel przez liczbę kartek znajdujących się w stosie. Strategia rozbijania większych obiektów na mniejsze lub łączenia mniejszych w jeden większy może przydać się podczas szacowania innych wielkości fizycznych, takich jak masa lub czas.
Oszacuj pole powierzchni lub objętość na podstawie długości. Jeśli chcesz oszacować pole powierzchni lub objętość przedmiotu o skomplikowanej strukturze, spróbuj w myślach przyrównać ten przedmiot do prostszego obiektu, takiego jak kula lub prostopadłościan. Następnie oszacuj poszczególne wymiary liniowe uproszczonego obiektu (promień kuli lub długość, wysokość i szerokość prostopadłościanu) i za ich pomocą, korzystając z podstawowych wzorów matematycznych, oblicz pole powierzchni lub objętość. Jeśli masz oszacowaną wartość pola powierzchni lub objętości, możesz wykonać odwrotne rozumowanie, to znaczy obliczyć wymiary liniowe przedmiotu.
Oszacuj masę na podstawie objętości lub gęstości. Jeśli chcesz oszacować masę przedmiotu, warto zacząć od oszacowania jego objętości oraz gęstości, a następnie na ich podstawie obliczyć masę (gęstość ma wymiar masy przez długość do potęgi trzeciej, a więc masa jest iloczynem gęstości i objętości). W tym celu warto znać wartości podstawowych gęstości: gęstość powietrza to około $1 k g / m^{3}$ , gęstość wody to $10^{3} k g / m^{3}$ , a największa gęstość spotykanych w codziennym życiu przedmiotów to około $10^{4} k g / m^{3}$ (np. srebro, ołów, stal). Jeśli jesteś w stanie odpowiedzieć na pytanie, czy dany przedmiot unosi się, czy opada w wodzie lub w powietrzu, zyskasz ogólne pojęcie na temat jego gęstości. Jeśli znasz oszacowane wartości masy i gęstości przedmiotu, możesz określić jego objętość.
Jeśli wszystko inne zawodzi, ogranicz wartość. W przypadku wielkości fizycznych, z którymi nie masz na co dzień styczności, czasem najlepsze, co możesz zrobić, to stwierdzić: no cóż, to musi być większe niż to, ale mniejsze niż tamto. Załóżmy, że musisz oszacować masę łosia. Być może znasz się na łosiach i wiesz, jaka może być ich średnia masa. W takim razie świetnie. Jednak większość ludzi może jedynie stwierdzić coś w rodzaju: Masa łosia na pewno jest większa niż człowieka (rzędu $10^{2} k g$ ) i mniejsza niż samochodu (rzędu $10^{3} k g$ ). Jeśli do dalszych obliczeń potrzebujesz konkretnej liczby, możesz obliczyć średnią geometryczną z górnej i dolnej granicy, to znaczy pomnożyć je przez siebie, a następnie spierwiastkować. Dla przykładu z łosiem obliczenia średniej geometrycznej wyglądają następująco:

${(10^{2} \cdot 10^{3})}^{0,5} = 10^{2,5} = 10^{0,5} \cdot 10^{2} \approx 3 \cdot 10^{2} kg .$

Średnią geometryczną stosujemy, ponieważ jest to często lepsze przybliżenie rozkładu cech, w którym istotne są stosunki pomiędzy wartościami a nie różnice pomiędzy nimi. Im mniejsza różnica między granicami, tym lepiej. Poza tym, jeśli chodzi o szacowanie, nie musisz się ściśle trzymać zasad. Jeśli uważasz, że wartość, której szukasz, jest bliższa górnej granicy, możesz powiększyć wynik o jeden lub dwa rzędy wielkości.
Wystarczy jedna cyfra znacząca. Podczas wykonywania obliczeń w celu otrzymania szacowanej wartości nie ma potrzeby określania więcej niż jednej cyfry znaczącej. W większości przypadków wystarczy po prostu rząd wielkości. Celem jest znalezienie przybliżonej wartości, więc postaraj się, aby obliczenia były tak proste, jak to tylko możliwe.
Czy to w ogóle ma sens? Na końcu musisz się zastanowić, czy twój wynik jest realistyczny. Porównaj go z innymi wartościami o tych samych wymiarach, które znasz lub możesz łatwo znaleźć. Jeśli twoja odpowiedź wydaje ci się dziwna (to znaczy jeśli na przykład oszacowana przez ciebie masa Atlantyku jest większa od masy Ziemi albo jakiś odcinek czasu jest dłuższy od czasu istnienia Wszechświata), na początek sprawdź poprawność jednostek. Następnie przekonaj się, czy nie popełniłeś błędów w obliczeniach. Na końcu jeszcze raz przeprowadź rozumowanie, które doprowadziło cię do otrzymanego wyniku. Jeśli wszystko wydaje się w porządku, to być może właśnie udowodniłeś, że jakaś nowa, dobrze brzmiąca teoria jest nieprawdziwa.

Przykład 1.6

Masa oceanów Ziemi

Oszacuj całkowitą masę wszystkich znajdujących się na Ziemi oceanów.

Strategia rozwiązania

Wiemy, że gęstość wody jest równa około

10^{3} k g / m^{3}

, więc na początku skorzystamy z rady, która mówi: „Oszacuj masę na podstawie objętości lub gęstości”. W tym celu musimy oszacować objętość oceanów. Inna rada mówi: „Oszacuj pole powierzchni lub objętość na podstawie długości” – w tym wypadku oszacować objętość oceanów, mnożąc ich pole powierzchni przez średnią głębokość:

V = A D

. Średnicę Ziemi znamy z Tabeli 1.1, a ponieważ wiemy, że większość powierzchni Ziemi pokrywa woda, możemy założyć, że powierzchnia oceanów jest mniej więcej równa powierzchni całej planety. Jeszcze raz stosując radę o „szacowaniu pola powierzchni lub objętości na podstawie długości”, zakładamy, że Ziemia jest idealną kulą i korzystamy ze wzoru na pole powierzchni kuli o średnicy

d

A = π d^{2}

, dzięki czemu otrzymujemy przybliżoną wartość pola powierzchni oceanów. Teraz musimy jeszcze tylko oszacować średnią głębokość oceanu. W tym celu stosujemy radę: „Ograniczanie wartości”. Wiemy, że najgłębiej położony punkt oceanu znajduje się około 10 km pod powierzchnią, wiemy też, że głębokość oceanu często jest większa niż 1 km, a więc możemy obliczyć średnią głębokość:

{(10^{3} \cdot 10^{4})}^{0,5} \approx 3 \cdot 10^{3} m

. Teraz trzeba tylko skorzystać z otrzymanych wyników, pamiętając, że „Wystarczy jedna cyfra znacząca”.

Rozwiązanie

Szacujemy, że powierzchnia Ziemi (a więc również powierzchnia oceanów) jest równa mniej więcej:

A = π d^{2} = π {(10^{7} m)}^{2} \approx 3 \cdot 10^{14} m^{2} .

Następnie, korzystając z oszacowanej poprzez ograniczenie średniej głębokości oceanu $D = 3 \cdot 10^{3} m$ , szacujemy objętość oceanów:

V = A D = 3 \cdot 10^{14} m^{2} \cdot 3 \cdot 10^{3} m = 9 \cdot 10^{17} m^{3} .

Na końcu szacujemy masę oceanów:

M = ρ V = 10^{3} k g / m^{3} \cdot 9 \cdot 10^{17} m^{3} = 9 \cdot 10^{20} k g .

Możemy oszacować, że masa oceanów pokrywających Ziemię ma rząd wielkości $10^{21} k g$ .

Znaczenie

Aby zweryfikować poprawność oszacowanej przez nas wartości, przede wszystkim musimy odpowiedzieć na pytanie: „Czy to w ogóle ma sens?”. Z Tabeli 1.1 wiemy, że masa atmosfery ziemskiej ma rząd wielkości

10^{19} k g

, a masa Ziemi ma rząd wielkości

10^{25} k g

. Oszacowany przez nas rząd wielkości masy ziemskich oceanów równy

10^{21} k g

zawiera się między powyższymi wartościami. A więc tak, wydaje się, że to ma sens. Spróbowaliśmy znaleźć informacje na temat masy oceanów za pomocą wyszukiwarki internetowej – według pierwszych wyników masa ta jest równa

1,4 \cdot 10^{21} k g

. Liczba ta ma ten sam rząd wielkości co oszacowana przez nas wartość. Teraz, zamiast ślepo wierzyć komuś, kto pierwszy umieścił tę wartość w Internecie (reszta prawdopodobnie skopiowała ją od niego), mamy podstawy twierdzić, że miał rację.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.7

Według Tabeli 1.1 masa atmosfery ziemskiej jest równa $10^{19} k g$ . Wiedząc, że gęstość atmosfery jest równa $1 k g / m^{3}$ , oszacuj jej wysokość. Myślisz, że oszacowana przez ciebie wartość jest zbyt wysoka, czy zbyt niska? Dlaczego?

Ilu stroicieli pianin jest w Warszawie? Ile liści jest na tym drzewie? Te pytania mogą być dla nas bardzo istotne, jeśli uczymy się o fotosyntezie lub planujemy napisać aplikację mobilną dla stroicieli pianin. W przeciwnym przypadku pewnie w ogóle nie interesują nas odpowiedzi. Jednak właśnie tego typu pytania zadają pracodawcy, aby ocenić umiejętności szacowania potencjalnych pracowników. Jeśli nie przemawia do ciebie możliwość wyrobienia intuicji fizycznej i zyskanie umiejętności szacowania, to może przekona możliwość zdobycia dobrze płatnej pracy?

Materiały pomocnicze

Aby przećwiczyć szacowanie długości, pól powierzchni oraz objętości zobacz tę symulację PhET, zatytułowaną Estimation.