Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • prawidłowo określać liczbę cyfr znaczących wyniku obliczeń;
  • opisywać zależności między dokładnością, precyzją, niepewnością pomiarową i błędem pomiaru;
  • na podstawie wartości oraz jej niepewności pomiarowej obliczać niepewność względną;
  • na podstawie niepewności pomiarowych poszczególnych wartości używanych w obliczeniach określać niepewność wyniku.

Rysunek 1.10 przedstawia dwa przedmioty służące do pomiaru masy. W laboratoriach fizycznych waga szalkowa została prawie zupełnie wyparta przez wagę elektroniczną, której wskazania są dokładniejsze i bardziej precyzyjne. Ale co właściwie oznaczają słowa dokładne i precyzyjne? Czy to nie to samo? W tym podrozdziale zajmiemy się procesem dokonywania oraz zapisywania pomiarów.

Zdjęcie a przedstawia starą, zardzewiałą wagę szalkową z odważnikiem na jednej z szalek. Zdjęcie b przedstawia nowoczesną, elektroniczną wagę analityczną.
Rysunek 1.10 (a) Waga szalkowa służy do porównywania mas różnych obiektów. Na jednej szalce kładzie się obiekt o nieznanej masie, a na drugiej obiekt, którego masę znamy. Jeśli wskaźniki obu stron wagi zrównają się w położeniu równowagi, oznacza to, że porównywane masy są równe. Obiektami, których masy znamy, są zazwyczaj odważniki o standardowych masach takich jak 1 g, 10 g i 100 g. (b) Wiele wag mechanicznych, takich jak waga szalkowa, zostało zastąpionych przez wagi elektroniczne, które zazwyczaj są dokładniejsze. Za pomocą wagi mechanicznej można określić masę z dokładnością do jednej dziesiątej grama, podczas gdy wiele wag elektronicznych dokonuje pomiaru z dokładnością do jednej tysięcznej grama. (Źródło (a) Serge Melki; źródło (b) Karel Jakubec)

Dokładność i precyzja pomiaru

Nauka opiera się na obserwacji i na przeprowadzonych doświadczeniach – a więc na pomiarach. Dokładność (ang. accuracy) mówi, jak bardzo pomiar zbliżony jest do zaakceptowanej wartości referencyjnej. Załóżmy, że chcemy zmierzyć wysokość kartki papieru A4. Na opakowaniu napisano, że ma ona 29,7 cm wysokości. Mierzymy wysokość kartki trzykrotnie i otrzymujemy kolejno 29,8 cm, 29,6 cm i 30,0 cm. Te pomiary są dość dokładne, ponieważ są bardzo zbliżone do wartości referencyjnej równej 29,7 cm. Jeżeli natomiast uzyskalibyśmy pomiar równy 32 cm, nie byłby on dokładny i oznaczałby popełnienie tzw. błędu grubego podczas pomiaru. Zauważ, że aby mówić o dokładności, musimy wiedzieć, jaka jest wartość referencyjna.

Precyzja (ang. precision) pomiaru określa, jak bardzo różnią się od siebie niezależne pomiary wykonywane w tych samych warunkach. Wróćmy do przykładu z kartką papieru. Jednym ze sposobów określenia precyzji jest obliczenie różnicy między największą a najmniejszą wartością pomiaru. W tym przypadku najmniejszą otrzymaną wartością było 29,6 cm, a największą, poprawną 30,0 cm, więc różnica między nimi równa jest 0,4 cm. Pomiary te są względnie precyzyjne, ponieważ ich wartości nie różnią się od siebie znacznie. Jednak pomiary 26,5 cm, 29,1 cm i 31,3 cm nie byłyby zbyt precyzyjne, ponieważ różnica między nimi jest znaczna. Zauważ, że aby określić precyzję, potrzebne są jedynie wyniki pomiarów, nie musimy wiedzieć, jaka jest wartość referencyjna.

Pomiary przedstawione w przykładzie z kartką papieru są dokładne oraz precyzyjne, ale zdarza się, że dokładne pomiary nie są precyzyjne lub że precyzyjne pomiary nie są dokładne. Załóżmy, że przy pomocy urządzenia GPS próbujesz znaleźć położenie restauracji. Wyobraź sobie, że restauracja znajduje się na mapie z naniesionym wzorem tarczy strzelniczej (restauracja znajduje się w jej środku), a każda próba zlokalizowania jej przez GPS oznaczana jest czarną kropką. Jak widać, na Rysunku 1.11 (a) pomiary GPS są od siebie oddalone, ale wszystkie znajdują się względnie blisko środka tarczy. Jest to równoznaczne z małą precyzją i dużą dokładnością systemu pomiarowego. Na Rysunku 1.11 (b) pomiary są położone blisko siebie, ale wszystkie są oddalone od środka tarczy. Świadczy to o dużej precyzji i małej dokładności systemu pomiarowego.

Dwie tarcze, każda z nich posiada trzy białe, koncentryczne okręgi na czerwonym tle. Na rysunku a, zatytułowanym „Wysoka dokładność, niska precyzja” widać cztery czarne punkty rozmieszczone wokół najmniejszego okręgu. Na rysunku b, zatytułowanym „Niska dokładność, wysoka precyzja” cztery skupione blisko siebie czarne punkty umieszczone są między środkowym a zewnętrznym okręgiem.
Rysunek 1.11 Przy pomocy urządzenia GPS próbujemy odnaleźć restaurację znajdującą się na samym środku tarczy. Czarne punkty pokazują poszczególne próby zlokalizowania restauracji. a) Punkty znajdują się w sporej odległości od siebie, ale wszystkie dość blisko restauracji, co świadczy o wysokiej dokładności. b) Punkty znajdują się blisko siebie, co świadczy o wysokiej precyzji, ale położone są daleko od restauracji, co z kolei świadczy o niskiej dokładności. (Źródło: Dark Evil)

Dokładność, precyzja, niepewność i błąd pomiaru

Precyzja pomiarów związana jest z niepewnością pomiarową (ang. uncertainty), a dokładność z błędem pomiaru (ang. discrepancy), czyli rozbieżnością między dobrze znaną wartością referencyjną a obliczoną. Niepewność określa, jak bardzo poszczególne pomiary różnią się między sobą ze względu na statystyczny charakter czynności pomiarowych. Błąd pomiaru to różnica między wartością zmierzoną a wartością oczekiwaną, dzięki znajomości znanego standardu.

Istnieje wiele różnych metod obliczania niepewności – wybór odpowiedniej z nich zależy od problemu. Czasami należy obliczyć różnicę między największą a najmniejszą zmierzoną wartością, czasem trzeba znać wartość odchylenia standardowego pomiarów. Jeśli pomiary nie są zbyt precyzyjne, niepewność pomiarowa jest wysoka. Jeśli z kolei nie są dokładne, to podczas pomiarów popełniany jest, mniej lub bardziej świadomie, duży błąd pomiarowy.

Wróćmy raz jeszcze do przykładu z mierzeniem długości kartki papieru: nasze pomiary były równe 29,8 cm, 29,6 cm i 30,0 cm, podczas gdy na opakowaniu podano wartość 29,7 cm. Możemy obliczyć średnią arytmetyczną z uzyskanych pomiarów. W takim przypadku otrzymamy 29,8 cm, a za niepewność pomiaru będzie można przyjąć 29,8 cm - 29,7 cm = 0,1 cm – wartość ta stanowi wymierną reprezentację dokładności. W analizowanym przypadku niepewność pomiaru wyniesie 30,0 cm - 29,6 cm = 0,4 cm. Powiemy wówczas, że długość kartki papieru to 29,8 cm plus minus 0,4 cm. Niepewność pomiaru A A często zapisuje się jako Δ A ΔA (czytaj „delta A A”), a więc wynik pomiaru należy zapisać w następujący sposób: A ± Δ A A±ΔA. Powiemy zatem, że długość kartki papieru jest równa 29,8 cm ± 0,4 cm. Błąd pomiaru wynosi 0,1 cm i jest mniejszy od niepewności pomiaru równej 0,4 cm. W związku z tym możemy powiedzieć, że wartość zmierzona jest zgodna z wartością referencyjną z określoną dokładnością.

Oto niektóre z czynników mogących mieć wpływ na wzrost niepewności pomiarowej:

  • ograniczenia urządzeń pomiarowych;
  • umiejętności osoby dokonującej pomiaru;
  • nieregularny kształt mierzonego obiektu;
  • wszystkie inne czynniki mające wpływ na wynik (są one w dużym stopniu zależne od sytuacji).

W omawianym przypadku czynniki mogłyby być następujące: podziałka linijki ma dokładność do 1 mm, osoba dokonująca pomiaru ma słaby wzrok, na jednym końcu skala linijki jest wytarta, krawędź kartki jest z jednej strony dłuższa. W każdym przypadku w celu określenia precyzji pomiaru musi zostać obliczona niepewność. Jeśli znamy wartość referencyjną, warto również obliczyć różnicę bezwzględną (lub względną) pomiędzy otrzymaną wartością średnią (zmierzoną) a wartością referencyjną.

Niepewność względna

Niepewność pomiarową można przedstawić również jako procent zmierzonej wartości. Jeśli pomiar A A obarczony jest niepewnością Δ A ΔA, to niepewność względną (ang. relative uncertainty) definiuje się jako

Niepewność względna = Δ A A · 100 % . Niepewność względna= Δ A A ·100%.
1.1

Przykład 1.7

Obliczanie niepewności względnej: siatka jabłek

W pewnym sklepie spożywczym jabłka pakowane są w siatki po 5 kg. Powiedzmy, że w ciągu miesiąca kupiliśmy cztery siatki jabłek i za każdym razem ważyliśmy je. Wyniki pomiarów były następujące:
  • Tydzień 1.: 4,8 kg
  • Tydzień 2.: 5,3 kg
  • Tydzień 3.: 4,9 kg
  • Tydzień 4.: 5,4 kg

Możemy stwierdzić, że średnia wartość jest jedna i wynosi ( 5,1 ± 0,6 ) k g ( 5,1 ± 0,6 ) k g . Jaka jest niepewność względna wagi siatki jabłek?

Strategia rozwiązania

Zauważ, że średnia waga siatki jabłek A A jest równa 5,1 kg. Niepewność pomiarowa Δ A ΔA jest równa 0,6 kg. W celu wyznaczenia niepewności względnej korzystamy z równania:
Niepewność względna = Δ A A · 100% . Niepewność względna= Δ A A ·100%.

Rozwiązanie

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:
Niepewność względna = Δ A A 100% = 0,6 k g 5,1 k g 100% 11,76% 12% . Niepewność względna= Δ A A 100%= 0,6 k g 5,1 k g 100%11,76%12%.

Znaczenie

Możemy wywnioskować, że średnia waga siatki jabłek jest równa 5,1 kg z niepewnością względną wynoszącą 12%. Zauważ, że niepewność względna jest bezwymiarowa – jednostki masy Δ A = 0,6 k g Δ A=0,6 k g oraz A = 5,1 k g A=5,1 k g skróciły się.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.8

Trener szkolnej sekcji biegów kupił nowy stoper. Według instrukcji niepewność stopera wynosi ± 0,05 s ±0,05 s . Biegający w tej sekcji uczniowie na dystansie 100 m uzyskują wyniki od 11,49 s do 15,01 s. Na ostatnich zawodach zwycięzca przebiegł ten dystans w 12,04 s, a zdobywca drugiego miejsca w 12,07 s. Czy nowy stoper przyda się trenerowi? Dlaczego tak lub dlaczego nie?

Niepewność w obliczeniach

Wszystkie obliczenia oparte na pomiarach różnych wielkości obarczone są jakąś niepewnością. Na przykład pole powierzchni podłogi obliczone na podstawie długości i szerokości ma niepewność, ponieważ mają ją również długość i szerokość. Jak duża jest niepewność wartości obliczanej poprzez mnożenie lub dzielenie? Jeżeli pomiary, z których korzystasz podczas obliczeń, mają małe niepewności (nie większe niż kilka procent), w celu obliczenia niepewności wyniku możesz skorzystać z metody dodawania niepewności procentowych (ang. method of adding percents). Według tej metody wyrażona w procentach niepewność wartości, obliczonej na podstawie mnożenia lub dzielenia, jest sumą wyrażonych w procentach niepewności poszczególnych wartości użytych podczas obliczeń. Jeśli na przykład podłoga ma długość równą 4,00 m oraz szerokość równą 3,00 m, a wartości te obarczone są odpowiednio niepewnością 2% i 1%, to pole powierzchni tej podłogi jest równe 12,0 m 2 12,0 m 2 , a niepewność pomiaru wynosi 3%. (Wartość niepewności możemy przedstawić też jako 0,36 m 2 0,36 m 2 , ponieważ 12,0 m 2 0,03 = 0,36 m 2 12,0 m 2 0,03=0,36 m 2 , co zaokrąglamy do 0,4 m 2 0,4 m 2 , ponieważ wartość pola powierzchni podłogi podana jest z dokładnością do jednej dziesiątej metra).

Precyzja przyrządów pomiarowych i cyfry znaczące

Ważnym czynnikiem wpływającym na precyzję pomiaru jest używany przez nas przyrząd. Ogólnie rzecz biorąc, precyzyjny przyrząd powinien umożliwiać dokonywanie pomiarów z dokładnością do bardzo małych wartości. Przy pomocy zwykłej linijki możemy dokonywać pomiarów z dokładnością do 1 mm, podczas gdy pomiary dokonane przy pomocy suwmiarki mogą charakteryzować się dokładnością do 0,02 mm. Suwmiarka jest przyrządem bardziej precyzyjnym, ponieważ umożliwia wykrycie bardzo małych różnic w długości. Im bardziej precyzyjny przyrząd, tym wyższa precyzja pomiaru.

Wynik pomiaru należy zapisać tak, aby liczba cyfr po przecinku zgadzała się z liczbą cyfr wskazywanych przez przyrząd pomiarowy. Jeżeli mierzymy długość pręta przy pomocy zwykłej linijki, możemy stwierdzić, że ma on długość 36,7 cm. Nie możemy zapisać wartości 36,71 cm, ponieważ nasz przyrząd pomiarowy nie ma wystarczającej precyzji, aby mierzyć obiekty z dokładnością do setnych części centymetra. Należy zauważyć, że ostatnia cyfra musiała w jakiś sposób zostać oszacowana przez osobę dokonującą pomiaru. Jeżeli osoba mierząca wspomniany pręt przy pomocy linijki widzi, że jego długość zawiera się między 36,6 cm a 36,7 cm, musi ona oszacować wartość cyfry po przecinku. Zasada cyfr znaczących (ang. significant figures) mówi, że ostatnia cyfra pomiaru jest pierwszą cyfrą obarczoną niepewnością pomiarową. Aby określić liczbę cyfr znaczących, należy policzyć kolejne cyfry wartości. Na przykład wartość 36,7 cm składa się z trzech cyfr, co oznacza, że ma trzy cyfry znaczące. Liczba cyfr znaczących jest związana z precyzją przyrządu pomiarowego.

Zera

Podczas omawiania zagadnienia cyfr znaczących należy szczególnie skupić się na zerach. Zera w liczbie 0,053 nie są cyframi znaczącymi, ponieważ nie wpływają na wartość, otaczają jedynie przecinek. Liczba 0,053 ma dwie cyfry znaczące. Zera w liczbie 10,053 są cyframi znaczącymi – liczba ta ma pięć cyfr znaczących. Zera w liczbie 1300 mogą, ale nie muszą być cyframi znaczącymi – zależy to od sposobu zapisu. Mogą one oznaczać, że wartość liczby jest znana do ostatniej cyfry, mogą także być cyframi wypełniającymi. 1300 może mieć więc dwie, trzy lub cztery cyfry znaczące. Aby uniknąć niejednoznaczności, powinniśmy skorzystać z notacji wykładniczej. 1300 możemy zapisać jako 1,3 · 10 3 1,3· 10 3 , 1,30 · 10 3 1,30· 10 3 lub 1,300 · 10 3 1,300· 10 3 w zależności od tego, czy ma dwie, trzy czy cztery cyfry znaczące. Zera są cyframi znaczącymi, chyba że służą jedynie jako cyfry wypełniające.

Cyfry znaczące w obliczeniach

Jeżeli podczas obliczeń operujemy na pomiarach o różnym stopniu precyzji, liczba cyfr znaczących wyniku nie może być większa niż liczba cyfr znaczących pomiaru o najmniejszej precyzji. Wyróżniamy dwie zasady: jedną dla mnożenia i dzielenia, a drugą dla dodawania i odejmowania.

  1. Jeśli chodzi o mnożenie i dzielenie, wynik powinien mieć taką samą liczbę cyfr znaczących jak wartość pomiaru o najniższym stopniu precyzji. Jeśli znamy promień koła, możemy obliczyć jego pole powierzchni, korzystając ze wzoru A = π r 2 A=π r 2 . Sprawdźmy, ile cyfr znaczących ma wartość pola koła, którego promień jest równy r = 1,2 m r=1,2 m (ma dwie cyfry znaczące). Używając kalkulatora o ośmiocyfrowym wyświetlaczu, otrzymalibyśmy

    A = π r 2 = 3,141 592 7 ( 1,2 m ) 2 = 4,523 893 4 m 2 . A=π r 2 =3,1415927 ( 1,2 m ) 2 =4,5238934 m 2 .

    Jednak wartość promienia podana jest z dokładnością do dwóch cyfr znaczących, co oznacza, że otrzymany wynik należy zaokrąglić:

    A = 4,5 m 2 , A=4,5 m 2 ,

    mimo tego, że π π podane jest z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących.

  2. W przypadku dodawania lub odejmowania wynik nie może mieć więcej cyfr po przecinku niż najmniej precyzyjny pomiar. Załóżmy, że w sklepie spożywczym kupujemy 7,56 kg ziemniaków – ważymy je przy pomocy wagi o precyzji 0,01 kg. W naszym laboratorium przy pomocy wagi o precyzji 0,001 kg odmierzamy 6,052 kg ziemniaków i zostawiamy je tam. Następnie wracamy do domu, skąd zabieramy 13,7 kg ziemniaków, zważonych przy pomocy wagi łazienkowej o precyzji 0,1 kg. Ile kilogramów ziemniaków mamy i ilu cyfr znaczących powinniśmy użyć przy formułowaniu odpowiedzi? Masę otrzymujemy dzięki prostemu dodawaniu i odejmowaniu:

    7,56kg6,052kg+13,7kg=15,208kg.7,56kg6,052kg+13,7kg=15,208kg. (\SI{7,56}{\kilo\gram} - \SI{6,052}{\kilo\gram}) + \SI{13,7}{\kilo\gram} = \SI{15,208}{\kilo\gram} \text{.}

    Po dokonaniu obliczeń znajdujemy pomiar o najniższej precyzji: 13,7 kg. Wartość ta podana jest z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, a więc wynik końcowy również powinien być podany z taką dokładnością. Zaokrąglamy otrzymany wcześniej wynik do części dziesiętnych i uzyskujemy 15,2 kg.

Cyfry znaczące w tym podręczniku

Większość liczb w tej książce podawana jest z dokładnością do trzech cyfr znaczących. Poza tym wszystkie wartości przedstawiane w danym przykładzie mają odpowiednią liczbę cyfr znaczących. Na przykład wynik podawany jest z dokładnością do trzech cyfr znaczących, ponieważ wartość początkowa również miała taką dokładność. Jeśli wartość początkowa ma mniej cyfr znaczących, wynik również będzie miał ich mniej. Liczba cyfr znaczących jest również odpowiednio dobrana do sytuacji. W przypadku niektórych dziedzin, zwłaszcza w optyce, potrzebne są liczby o wysokim stopniu precyzji. Jeżeli podana jest dokładna wartość liczby, jak na przykład 2 we wzorze na obwód koła, C = 2 π r C=2πr, nie ma ona wpływu na liczbę cyfr znaczących wyniku. Przeliczniki, takie jak na przykład 100 c m = 1 m 100 c m =1 m , są uznawane za wartości dokładne i również nie mają wpływu na liczbę cyfr znaczących wyniku.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.