1.4 Analiza wymiarowa - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

znajdować wymiary równania operującego na wielkościach fizycznych;
określać, czy równanie jest wymiarowo spójne.

Wymiar (ang. dimension) wielkości fizycznej opisuje jej zależność od wielkości podstawowych. Wyraża się go za pomocą iloczynu lub potęgi tych wielkości. Tabela 1.4 zawiera listę podstawowych wielkości fizycznych oraz symboli odpowiadających ich wymiarom. Mówi się na przykład, że pomiar długości ma wymiar L lub $L^{1}$ , pomiar masy M lub $M^{1}$ , a pomiar czasu T lub $T^{1}$ . Tak samo jak jednostki, na wymiarach można wykonywać działania algebraiczne. Dlatego pole powierzchni, będące iloczynem dwóch długości, ma wymiar $L^{2}$ , czyli długość do kwadratu. Objętość jest iloczynem trzech długości, a więc ma wymiar $L^{3}$ , czyli długość do potęgi trzeciej. Gęstość ma wymiar ${M/L}^{3}$ lub ${ML}^{- 3}$ , lub masa przez sześcian długości. Ogólnie rzecz biorąc, wymiar każdej wielkości fizycznej można zapisać w postaci $L^{a} M^{b} T^{c} I^{d} Θ^{e} N^{f} J^{g}$ dla potęg $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ oraz $g$ . Przyjmując, że $a = 1$ , a w miejscu pozostałych potęg podstawiając zero, możemy przedstawić wymiary długości: $L^{1} = L^{1} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0}$ . Każda wielkość, którą przedstawia się, za wszystkie potęgi podstawiając zero (to znaczy w następujący sposób: $L^{0} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0}$ ), nazywana jest wielkością bezwymiarową (ang. dimensionless) (lub liczbą o wymiarze 1, ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi zerowej równa jest 1). Wielkości bezwymiarowe często nazywane są liczbami niemianowanymi.

Wielkość podstawowa	Symbol
Długość	L
Masa	M
Czas	T
Natężenie prądu elektrycznego	I
Temperatura termodynamiczna	Θ
Liczność materii	N
Światłość	J

Tabela 1.4 Podstawowe wielkości fizyczne i ich wymiary

Symbol oznaczający wymiar wielkości fizycznej często umieszczany jest w nawiasach kwadratowych. Przykładowo, jeśli $r$ jest promieniem podstawy walca, a $h$ jest jego wysokością, to zapis $[r] = L$ i $[h] = L$ oznacza, że wymiarem promienia i wysokości jest długość. Analogicznie, jeśli przez $P$ oznaczymy pole powierzchni walca, a przez $V$ jego objętość, to $[P] = L^{2}$ oraz $[V] = L^{3}$ . Jeśli $m$ oznacza masę walca, a $ρ$ jego gęstość, to $[m] = M$ oraz $[ρ] = M L^{- 3}$ .

Określanie wymiarów jest bardzo istotne, ponieważ każde równanie matematyczne operujące na wielkościach fizycznych musi być wymiarowo spójne (ang. dimensionally consistent), co oznacza, że musi spełniać następujące zasady:

Wszystkie składniki jednego wyrażenia muszą mieć ten sam wymiar – dodawanie lub odejmowanie wielkości o różnych wymiarach nie ma sensu. Szczególnie istotne jest to, aby wyrażenia występujące po dwóch stronach znaku równości miały te same wymiary.
Argumenty wszystkich standardowych funkcji matematycznych, takich jak na przykład funkcji trygonometrycznych (np. sinusa lub cosinusa), muszą być wielkościami bezwymiarowymi. Zarówno argumenty, jak i wyniki tych funkcji są liczbami niemianowanymi.

Jeśli któraś z powyższych zasad nie zostanie spełniona, wyrażenie nie będzie wymiarowo spójne i w związku z tym nie będzie stanowiło poprawnego opisu prawa fizyki. Tę wiedzę można wykorzystać, szukając błędów w równaniach lub zapamiętując różne zasady fizyczne. Może ona nawet pomóc wybrać formę, jaką mają przyjąć nowe prawa fizyki. Co prawda w tym tekście nie będziemy zajmować się tym ostatnim zastosowaniem, ale na pewno spotkamy się z nim jeszcze w czasie dalszej nauki.

Przykład 1.4

Zapamiętywanie wzorów dzięki analizie wymiarowej

Załóżmy, że dokonujemy obliczeń i potrzebujemy wzoru na pole koła. Jeśli od dłuższego czasu nie mieliśmy do czynienia z geometrią, do głowy mogą nam przyjść dwa wzory związane z zagadnieniem koła:

π r^{2}

oraz

2 π r .

Jeden ze wzorów pozwala obliczyć obwód koła o promieniu

r

, a drugi jego pole powierzchni. Ale jak je od siebie odróżnić?

Strategia rozwiązania

Jednym ze sposobów może być znalezienie wzoru, ale w takim przypadku musimy poświęcić czas na zaczerpnięcie informacji z wiarygodnego źródła. Poza tym nie powinniśmy wierzyć we wszystko, co czytamy, nawet jeśli wydaje nam się, że źródło jest wiarygodne. Możliwość zweryfikowania informacji za pomocą prostego rozumowania jest bardzo przydatna, poza tym nie zawsze mamy możliwość skorzystania z zewnętrznych źródeł (na przykład podczas egzaminu). Dlatego też najlepszą strategią jest znalezienie wymiarów obu wzorów, wykorzystując fakt, że na wymiarach można przeprowadzać działania algebraiczne. Wzór na pole koła musi mieć takie same wymiary jak pole powierzchni.

Rozwiązanie

Wiemy, że wymiarem pola powierzchni jest

L^{2}

. Wymiarem wyrażenia

π r^{2}

jest

[π r^{2}] = [π] \cdot {[r]}^{2} = 1 \cdot L^{2} = L^{2},

ponieważ stała $π$ jest liczbą niemianowaną, a promień $r$ określa długość. Możemy więc stwierdzić, że $π r^{2}$ ma wymiar pola powierzchni. Wymiarem wyrażenia $2 π r$ jest

[2 π r] = [2] \cdot [π] \cdot [r] = 1 \cdot 1 \cdot L = L,

ponieważ liczba $2$ oraz stała $π$ są bezwymiarowe, a promień $r$ określa długość. Widzimy więc, że wyrażenie $2 π r$ ma wymiar długości, co oznacza, że nie może być wzorem na pole powierzchni.

Wyrażenie $2 π r$ nie ma wymiaru pola powierzchni. Widzimy, że $π r^{2}$ ma wymiar pola powierzchni, więc jeśli musimy wybrać między dwoma podanymi wyrażeniami, powinniśmy wybrać $π r^{2}$ .

Znaczenie

Powyższy przykład może się wydawać banalny, ale służy on zaprezentowaniu pewnej idei. Jeśli tylko znamy wymiary wielkości fizycznych pojawiających się w wyrażeniu, możemy stwierdzić, czy wyrażenie to jest wymiarowo spójne. Poza tym jeśli nie jesteśmy pewni, co opisuje zapamiętany przez nas wzór, możemy dopasować go do odpowiedniej wielkości. Nie pomoże nam to zapamiętać bezwymiarowych współczynników (na przykład jeśli pomyliłbyś się i złączył dwa wyrażenia w jedno:

2 π r^{2}

, to analiza wymiarowa na nic się nie przyda), ale pozwoli zapamiętać podstawową formę wyrażenia.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.5

Załóżmy, że potrzebujemy wzoru na objętość kuli. Dwa wyrażenia mogące kojarzyć się z kulą to $4 π r^{2}$ oraz $4 π r^{3} / 3$ . Jedno z nich pozwala obliczyć objętość kuli o promieniu $r$ , a drugie pole jej powierzchni. Jak znaleźć to będące wzorem na objętość?

Przykład 1.5

Sprawdzanie spójności wymiarów w wyrażeniach

Wielkości fizyczne

s,

v,

a

t

mają wymiary

[s] = L

[v] = L T^{- 1}

[a] = L T^{- 2}

oraz

[t] = T

. Sprawdź spójność wymiarową poniższych wyrażeń:

$s = v t + 0,5 a t^{2}$ ;
$s = v t^{2} + 0,5 a t$ ;
$v = \sin (a t^{2} / s)$ .

Strategia rozwiązania

W celu stwierdzenia, czy wyrażenie jest spójne, musimy sprawdzić, czy wszystkie składniki mają takie same wymiary i czy argumenty standardowych funkcji matematycznych są bezwymiarowe.

Rozwiązanie

W tym wyrażeniu nie ma funkcji trygonometrycznych, logarytmicznych ani wykładniczych, więc należy sprawdzić jedynie wymiary poszczególnych składników. Po lewej stronie znaku równości występuje jeden składnik, a po prawej dwa:

$\begin{matrix} [s] = L, \\ [v t] = [v] \cdot [t] = {LT}^{−1} \cdot T = {LT}^{0} = L, \\ [0,5 a t^{2}] = [a] \cdot {[t]}^{2} = {LT}^{−2} \cdot T^{2} = {LT}^{0} = L . \end{matrix}$

Wszystkie trzy składniki mają te same wymiary, co oznacza, że wyrażenie jest wymiarowo spójne.
W tym wyrażeniu również nie ma funkcji trygonometrycznych, logarytmicznych ani eksponenty, więc ponownie sprawdzamy wymiary poszczególnych składników:

$\begin{matrix} [s] = L, \\ [v t^{2}] = [v] \cdot {[t]}^{2} = {LT}^{−1} \cdot T^{2} = LT, \\ [a t] = [a] \cdot [t] = {LT}^{−2} \cdot T = {LT}^{−1} . \end{matrix}$

Każdy z trzech składników ma inne wymiary, więc wyrażenie nie jest spójne.
W tym wyrażeniu występuje funkcja trygonometryczna, więc na początku sprawdźmy, czy jej argument jest liczbą niemianowaną:

$\begin{matrix} [\frac{a t^{2}}{s}] = \frac{[a] \cdot {[t]}^{2}}{[s]} = \frac{{LT}^{−2} \cdot T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 . \end{matrix}$

Argument funkcji sinus jest liczbą niemianowaną, a więc na razie wszystko się zgadza. Teraz musimy sprawdzić, czy składnik występujący po lewej stronie znaku równości ma ten sam wymiar co składnik występujący po prawej:

$\begin{matrix} [v] = {LT}^{−1}, \\ [sin (\frac{a t^{2}}{s})] = 1 . \end{matrix}$

Składniki mają różne wymiary, co oznacza, że wyrażenie nie jest spójne.

Znaczenie

Jeżeli mamy zaufanie do ludzi, tego typu weryfikacja może się wydawać niepotrzebna. Ale możemy być pewni, że w każdym podręczniku z dziedziny fizyki (również w tym, który właśnie czytasz) można znaleźć wzory z błędami. Sprawdzanie poprawności wyrażeń przy pomocy analizy wymiarowej uchroni nas przed użyciem błędnego wzoru. Jest to też świetny sposób na znalezienie ewentualnego błędu w naszych obliczeniach.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.6

Czy równanie $v = a t$ z poprzedniego zadania jest wymiarowo spójne?

Kolejną rzeczą, o jakiej należy wspomnieć, jest wykonywanie na wymiarach działań z zakresu analizy matematycznej. Wiemy, że wymiary, tak jak jednostki, podlegają prawom algebry, ale co stanie się jeśli obliczymy pochodną cząstkową wielkości fizycznej lub scałkujemy jedną wielkość względem innej zmiennej wielkości? Pochodna funkcji jest to tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji, więc jeśli chodzi o wielkości fizyczne $v$ oraz $t$ , wymiarem pochodnej $v$ względem $t$ jest stosunek wymiarów $v$ i $t$ :

[\frac{d v}{d t}] = \frac{[v]}{[t]} .

Całka jest sumą pewnej ilości składników, a więc wymiarem całki z $v$ względem $t$ jest po prostu wymiar $v$ pomnożony razy wymiar $t$ :

[\int v d t] = [v] \cdot [t] .

Te same zasady odnoszą się do jednostek wielkości fizycznych, powstałych w wyniku całkowania lub różniczkowania innych wielkości.