1.4 Analiza wymiarowa

Zapamiętywanie wzorów dzięki analizie wymiarowej

Załóżmy, że dokonujemy obliczeń i potrzebujemy wzoru na pole koła. Jeśli od dłuższego czasu nie mieliśmy do czynienia z geometrią, do głowy mogą nam przyjść dwa wzory związane z zagadnieniem koła: $\pi r^2$ oraz $2\pi r.$ Jeden ze wzorów pozwala obliczyć obwód koła o promieniu $r$, a drugi jego pole powierzchni. Ale jak je od siebie odróżnić?

Strategia rozwiązania

Jednym ze sposobów może być znalezienie wzoru, ale w takim przypadku musimy poświęcić czas na zaczerpnięcie informacji z wiarygodnego źródła. Poza tym nie powinniśmy wierzyć we wszystko, co czytamy, nawet jeśli wydaje nam się, że źródło jest wiarygodne. Możliwość zweryfikowania informacji za pomocą prostego rozumowania jest bardzo przydatna, poza tym nie zawsze mamy możliwość skorzystania z zewnętrznych źródeł (na przykład podczas egzaminu). Dlatego też najlepszą strategią jest znalezienie wymiarów obu wzorów, wykorzystując fakt, że na wymiarach można przeprowadzać działania algebraiczne. Wzór na pole koła musi mieć takie same wymiary jak pole powierzchni.

Rozwiązanie

Wiemy, że wymiarem pola powierzchni jest ${\text{L}}^2$. Wymiarem wyrażenia $\pi r^2$ jest

ponieważ stała $\pi$ jest liczbą niemianowaną, a promień $r$ określa długość. Możemy więc stwierdzić, że $\pi r^2$ ma wymiar pola powierzchni. Wymiarem wyrażenia $2\pi r$ jest

ponieważ liczba $2$ oraz stała $\pi$ są bezwymiarowe, a promień $r$ określa długość. Widzimy więc, że wyrażenie $2\pi r$ ma wymiar długości, co oznacza, że nie może być wzorem na pole powierzchni.

Wyrażenie $2\pi r$ nie ma wymiaru pola powierzchni. Widzimy, że $\pi r^2$ ma wymiar pola powierzchni, więc jeśli musimy wybrać między dwoma podanymi wyrażeniami, powinniśmy wybrać $\pi r^2$.

Znaczenie

Powyższy przykład może się wydawać banalny, ale służy on zaprezentowaniu pewnej idei. Jeśli tylko znamy wymiary wielkości fizycznych pojawiających się w wyrażeniu, możemy stwierdzić, czy wyrażenie to jest wymiarowo spójne. Poza tym jeśli nie jesteśmy pewni, co opisuje zapamiętany przez nas wzór, możemy dopasować go do odpowiedniej wielkości. Nie pomoże nam to zapamiętać bezwymiarowych współczynników (na przykład jeśli pomyliłbyś się i złączył dwa wyrażenia w jedno: $2\pi r^2$, to analiza wymiarowa na nic się nie przyda), ale pozwoli zapamiętać podstawową formę wyrażenia.

Sprawdzanie spójności wymiarów w wyrażeniach

Wielkości fizyczne $s,$ $v,$ $a$ i $t$ mają wymiary $\left[s\right]=\mathrm{L}$, $\left[v\right]=\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-1}$, $\left[a\right]=\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-2}$ oraz $\left[t\right]=\mathrm{T}$. Sprawdź spójność wymiarową poniższych wyrażeń:

1. $s=vt+\mathrm{0,5}a{t}^2$;
2. $s=v{t}^2+\mathrm{0,5}at$;
3. $v=\sin \left(a{t}^2\text{/}s\right)$.

Strategia rozwiązania

W celu stwierdzenia, czy wyrażenie jest spójne, musimy sprawdzić, czy wszystkie składniki mają takie same wymiary i czy argumenty standardowych funkcji matematycznych są bezwymiarowe.

Rozwiązanie

1. W tym wyrażeniu nie ma funkcji trygonometrycznych, logarytmicznych ani wykładniczych, więc należy sprawdzić jedynie wymiary poszczególnych składników. Po lewej stronie znaku równości występuje jeden składnik, a po prawej dwa:
   
   $$\begin{array}{c}\left[s\right]=\text{L,}\\ \left[vt\right]=\left[v\right]·\left[t\right]={\text{LT}}^{\mathrm{-1}}·\text{T}={\text{LT}}^0=\text{L,}\\ \left[0,5a{t}^2\right]=\left[a\right]·{\left[t\right]}^2={\text{LT}}^{\mathrm{-2}}·{\text{T}}^2={\text{LT}}^0=\text{L}\text{.}\end{array}$$
   
   Wszystkie trzy składniki mają te same wymiary, co oznacza, że wyrażenie jest wymiarowo spójne.
2. W tym wyrażeniu również nie ma funkcji trygonometrycznych, logarytmicznych ani eksponenty, więc ponownie sprawdzamy wymiary poszczególnych składników:
   
   $$\begin{array}{c}\left[s\right]=\text{L,}\\ \left[v{t}^2\right]=\left[v\right]·{\left[t\right]}^2={\text{LT}}^{\mathrm{-1}}·{\text{T}}^2=\text{LT,}\\ \left[at\right]=\left[a\right]·\left[t\right]={\text{LT}}^{\mathrm{-2}}·\text{T}={\text{LT}}^{\mathrm{-1}}.\end{array}$$
   
   Każdy z trzech składników ma inne wymiary, więc wyrażenie nie jest spójne.
3. W tym wyrażeniu występuje funkcja trygonometryczna, więc na początku sprawdźmy, czy jej argument jest liczbą niemianowaną:
   
   $$\begin{array}{c}\left[\frac{a{t}^2}{s}\right]=\frac{\left[a\right]·{\left[t\right]}^2}{\left[s\right]}=\frac{{\text{LT}}^{\mathrm{-2}}·{\text{T}}^2}{\text{L}}=\frac{\text{L}}{\text{L}}=1.\end{array}$$
   
   Argument funkcji sinus jest liczbą niemianowaną, a więc na razie wszystko się zgadza. Teraz musimy sprawdzić, czy składnik występujący po lewej stronie znaku równości ma ten sam wymiar co składnik występujący po prawej:
   
   $$\begin{array}{c}\left[v\right]={\text{LT}}^{\mathrm{-1}}\text{,}\\ \left[\text{sin}\left(\frac{a{t}^2}{s}\right)\right]=1.\end{array}$$

Składniki mają różne wymiary, co oznacza, że wyrażenie nie jest spójne.

Znaczenie

Jeżeli mamy zaufanie do ludzi, tego typu weryfikacja może się wydawać niepotrzebna. Ale możemy być pewni, że w każdym podręczniku z dziedziny fizyki (również w tym, który właśnie czytasz) można znaleźć wzory z błędami. Sprawdzanie poprawności wyrażeń przy pomocy analizy wymiarowej uchroni nas przed użyciem błędnego wzoru. Jest to też świetny sposób na znalezienie ewentualnego błędu w naszych obliczeniach.