3.2 La derivada como función

Funciones derivadas

La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada como sigue.

Una función $f(x)$ se dice que es diferenciable en $a$ si $f^{\prime }(a)$. De forma más general, se dice que una función es diferenciable en $S$ si es diferenciable en cada punto de un conjunto abierto $S,$ y una función diferenciable es aquella en la que $f^{\prime }(x)$ existe en su dominio.

En los siguientes ejemplos utilizaremos la Ecuación 3.9 para encontrar la derivada de una función.

Para expresar la derivada de una función utilizamos diferentes notaciones. En el Ejemplo 3.12 demostramos que si $f\left(x\right)=x^2-2x,$ entonces $f^{\prime }\left(x\right)=2x-2.$ Si hubiéramos expresado esta función en la forma $y=x^2-2x,$ podríamos haber expresado la derivada como $y^{\prime }=2x-2$ o $\frac{dy}{dx}=2x-2.$ Podríamos haber expresado la misma información al escribir $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x\right)=2x-2.$ Así, para la función $y=f\left(x\right),$ cada una de las siguientes notaciones representa la derivada de $f\left(x\right)\text{:}$

En vez de $f^{\prime }\left(a\right)$ también podemos utilizar $\frac{dy}{dx}|\begin{array}{l}\\ {}_{x=a}\end{array}$ El uso de la notación $\frac{dy}{dx}$ (llamada notación Leibniz) es bastante común en ingeniería y física. Para entender mejor esta notación, recordemos que la derivada de una función en un punto es el límite de las pendientes de las líneas secantes cuando estas se acercan a la línea tangente. Las pendientes de estas líneas secantes suelen expresarse en la forma $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$ donde $\text{Δ}y$ es la diferencia en los valores $y$ correspondientes a la diferencia en los valores $x$, que se expresan como $\text{Δ}x$ (Figura 3.11). Así, la derivada, que puede considerarse como la tasa instantánea de cambio de $y$ con respecto a $x,$ se expresa como

Figura 3.11 La derivada se expresa como $\frac{dy}{dx}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\text{lím}}\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}.$

Graficar una derivada

Ya hablamos de cómo graficar una función, así que dada la ecuación de una función o la ecuación de una función derivada, podemos graficarla. Dadas ambas, esperaríamos ver una correspondencia entre los gráficos de estas dos funciones, ya que $f^{\prime }(x)$ da la tasa de cambio de una función $f\left(x\right)$ (o pendiente de la línea tangente a $f(x))$

En el Ejemplo 3.11 encontramos que para $f\left(x\right)=\sqrt{x},f^{\prime }(x)=1\text{/}2\sqrt{x}.$ Si graficamos estas funciones en los mismos ejes, como en la Figura 3.12, podemos usar los gráficos para entender la relación entre estas dos funciones. En primer lugar, observamos que $f(x)$ es creciente en todo su dominio, lo que significa que las pendientes de sus líneas tangentes en todos los puntos son positivas. En consecuencia, esperamos $f^{\prime }\left(x\right)>0$ para todos los valores de $x$ en su dominio. Además, a medida que $x$ aumenta, las pendientes de las líneas tangentes a $f(x)$ disminuyen y esperamos ver un descenso correspondiente en $f^{\prime }(x).$ También observamos que $f\left(0\right)$ es indefinido y que $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\text{+}\infty ,$ correspondiente a una tangente vertical a $f(x)$ a las $0.$

Figura 3.12 La derivada $f^{\prime }(x)$ es positiva en todas partes porque la función $f(x)$ aumenta.

En el Ejemplo 3.12 encontramos que para $f\left(x\right)=x^2-2x,f^{\prime }\left(x\right)=2x-2.$ Los gráficos de estas funciones se muestran en la Figura 3.13. Observe que $f(x)$ disminuye para $x<1.$ Para estos mismos valores de $x,f^{\prime }\left(x\right)<0.$ Para los valores de $x>1,f(x)$ está aumentando y $f^{\prime }\left(x\right)>0.$ También, $f(x)$ tiene una tangente horizontal en $x=1$ y $f^{\prime }\left(1\right)=0.$

Figura 3.13 La derivada $f^{\prime }\left(x\right)<0$ donde la función $f\left(x\right)$ es decreciente y $f^{\prime }\left(x\right)>0$ donde $f(x)$ aumenta. La derivada es cero donde la función tiene una tangente horizontal.

Ejemplo 3.13

Trazado de una derivada mediante una función

Utilice el siguiente gráfico de $f\left(x\right)$ para dibujar un gráfico de $f^{\prime }\left(x\right).$

Solución

La solución se muestra en el siguiente gráfico. Observe que $f(x)$ está aumentando y $f^{\prime }\left(x\right)>0$ sobre $\left(–2,3\right).$ También, $f(x)$ es decreciente y $f^{\prime }\left(x\right)<0$ sobre $\left(-\infty ,\mathrm{–2}\right)$ y en $\left(3,+\infty \right).$ También tenga en cuenta que $f(x)$ tiene tangentes horizontales en $–2$ y $3,$ y $f^{\prime }\left(\mathrm{-2}\right)=0$ y $f^{\prime }\left(3\right)=0.$

Derivadas y continuidad

Ahora que podemos graficar una derivada, vamos a examinar el comportamiento de los gráficos. En primer lugar, consideraremos la relación entre diferenciabilidad y continuidad. Veremos que si una función es diferenciable en un punto, debe ser continua en el mismo, sin embargo, una función que es continua en un punto no tiene por qué ser diferenciable en él. De hecho, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en ese punto por una entre varias razones.

Prueba

Si los valores de $f(x)$ es diferenciable en $a,$ entonces $f^{\prime }(a)$ existe y

$$f^{\prime }\left(a\right)=\underset{x\to a}{\text{lím}}\frac{f\left(x\right)-f(a)}{x–a}.$$

Queremos demostrar que $f(x)$ es continua en $a$ demostrando que $\underset{x\to a}{\text{lím}}f(x)=f(a).$ Por lo tanto,

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)& =\underset{x\to a}{\text{lím}}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)+f(a)\right)\hfill & & & \\ & =\underset{x\to a}{\text{lím}}\left(\frac{f\left(x\right)-f(a)}{x–a}.\left(x–a\right)+f(a)\right)\hfill & & & \text{Multiplicar y dividir}f\left(x\right)-f(a)\text{por}x–a.\hfill \\ & =\left(\underset{x\to a}{\text{lím}}\frac{f\left(x\right)-f(a)}{x–a}\right).\left(\underset{x\to a}{\text{lím}}\left(x–a\right)\right)+\underset{x\to a}{\text{lím}}f(a)\hfill & & & \\ & =f\prime \left(a\right).0+f\left(a\right)\hfill & & & \\ & =f(a)\hfill & & & \end{array}$$

Por lo tanto, dado que $f\left(a\right)$ está definida y $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=f(a),$ concluimos que $f$ es continua en $a.$

□

Acabamos de demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad, pero ahora consideramos si la continuidad implica diferenciabilidad. Para responder esa pregunta, examinaremos la función $f\left(x\right)=\left|x\right|.$ Esta función es continua en todas partes; sin embargo, $f^{\prime }(0)$ es indefinida. Esta observación nos lleva a pensar que la continuidad no implica diferenciabilidad. Exploremos más a fondo. Para $f\left(x\right)=\left|x\right|,$

$$f^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\left|x\right|-\left|0\right|}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\left|x\right|}{x}.$$

Este límite no existe porque

$$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}\frac{\left|x\right|}{x}=\mathrm{-1}\text{y}\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}\frac{\left|x\right|}{x}=1.$$

Vea la Figura 3.14.

Figura 3.14 La función $f\left(x\right)=\left|x\right|$ es continua en $0$ pero no es diferenciable en $0.$

Consideremos algunas situaciones adicionales en las que una función continua no es diferenciable. Considere la función $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\text{:}$

$$f^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\text{+}\infty .$$

Por lo tanto, $f^{\prime }\left(0\right)$ no existe. Un rápido vistazo al gráfico de $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ aclara la situación. La función tiene una línea tangente vertical en $0$ (Figura 3.15).

Figura 3.15 La función $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ tiene una tangente vertical en $x=0.$ Es continua en $0$ pero no es diferenciable en $0.$

La función $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\text{si}x\ne 0\\ 0\text{si}x=0\end{array}$ también tiene una derivada que muestra un comportamiento interesante en $0.$ Vemos que

$$f^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{x\text{sen}\left(1\text{/}x\right)-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\text{lím}}\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right).$$

Este límite no existe, esencialmente porque las pendientes de las líneas secantes cambian continuamente de dirección al acercarse a cero (Figura 3.16).

Figura 3.16 La función $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\text{si}x\ne 0\\ 0\text{si}x=0\end{array}$ no es diferenciable en $0.$

En resumen:

1. Observamos que si una función no es continua, no puede ser diferenciable, ya que toda función diferenciable debe ser continua. Sin embargo, es posible que una función continua no sea diferenciable.
2. Vimos que $f\left(x\right)=\left|x\right|$ no es diferenciable en $0$ porque el límite de las pendientes de las líneas tangentes a la izquierda y a la derecha no eran iguales. Visualmente, esto dio lugar a una esquina aguda en el gráfico de la función en $0.$ De esto se deduce que para que una función sea diferenciable en un punto, debe ser "suave" en ese punto.
3. Vimos en el ejemplo de $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x},$ una función no es diferenciable en un punto en el que hay una línea tangente vertical.
4. Como vimos con $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\text{si}x\ne 0\\ 0\text{si}x=0\end{array}$ una función puede dejar de ser diferenciable en un punto de formas más complicadas también.

Ejemplo 3.14

Una función a trozos continua y diferenciable

Una compañía de juguetes quiere diseñar una pista para un carrito de juguete que comienza con una curva parabólica y luego se convierte en una línea recta (Figura 3.17). La función que describe la pista debe tener la forma $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{10}{x}^2+bx+c\text{si}x<\mathrm{-10}\\ -\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}\text{si}x\ge \mathrm{-10}\end{array}$ donde $x$ y $f(x)$ están en pulgadas. Para que el auto recorra suavemente por la pista, la función $f(x)$ debe ser continua y diferenciable en $\mathrm{-10}.$ Halle los valores de $b$ y $c$ que hacen $f(x)$ tanto continua como diferenciable.

Figura 3.17 Para que ese auto recorra suavemente la pista, la función debe ser continua y diferenciable.

Solución

Para que la función sea continua en $x=\mathrm{-10},\underset{x\to {\mathrm{-10}}^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=f\left(\mathrm{-10}\right).$ Por lo tanto, ya que

$$\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\frac{1}{10}{(\mathrm{-10})}^2-10b+c=10–10b+c$$

y $f\left(\mathrm{-10}\right)=5,$ debemos tener $10–10b+c=5.$ De forma equivalente, tenemos $c=10b-5.$

Para que la función sea diferenciable en $\mathrm{-10},$

$$f^{\prime }\left(\mathrm{-10}\right)=\underset{x\to \text{−}10}{\text{lím}}\frac{f\left(x\right)-f(\mathrm{-10})}{x+10}$$

debe existir. Dado que $f\left(x\right)$ se define con reglas diferentes a la derecha y a la izquierda, debemos evaluar este límite por la derecha y por la izquierda y luego igualarlos entre sí:

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lím}}\frac{f\left(x\right)-f(\mathrm{-10})}{x+10}& =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lím}}\frac{\frac{1}{10}{x}^2+bx+c-5}{x+10}\hfill & & & \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lím}}\frac{\frac{1}{10}{x}^2+bx+\left(10b-5\right)-5}{x+10}\hfill & & & \text{Sustituya}c=10b-5.\hfill \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lím}}\frac{x^2-100+10bx+100b}{10(x+10)}\hfill & & & \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{-}}{\text{lím}}\frac{(x+10)(x-10+10b)}{10(x+10)}\hfill & & & \text{Factor por agrupación.}\hfill \\ & =b-2.\hfill & & & \end{array}$$

También tenemos

$$\begin{array}{cc}\hfill \underset{x\to \text{−}{10}^{+}}{\text{lím}}\frac{f\left(x\right)-f(\mathrm{-10})}{x+10}& =\underset{x\to \text{−}{10}^{+}}{\text{lím}}\frac{-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}-5}{x+10}\hfill \\ & =\underset{x\to \text{−}{10}^{+}}{\text{lím}}\frac{\text{−}(x+10)}{4(x+10)}\hfill \\ & =-\frac{1}{4}.\hfill \end{array}$$

Esto nos da $b-2=-\frac{1}{4}.$ Así que $b=\frac{7}{4}$ y $c=10\left(\frac{7}{4}\right)-5=\frac{25}{2}.$

Punto de control 3.8

Halle los valores de $a$ y $b$ que hacen $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}ax+b\text{si}x<3\\ x^2\text{si}x\ge 3\end{array}$ continua y diferenciable en $3.$

Derivadas de orden superior

La derivada de una función es a su vez una función, por lo que podemos encontrar la derivada de una derivada. Por ejemplo, la derivada de una función de posición es la tasa de cambio de posición, o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambio de la velocidad, que es la aceleración. La nueva función obtenida al diferenciar la derivada se llama segunda derivada. Además, podemos seguir tomando derivadas para obtener la tercera derivada, la cuarta derivada, etc. En conjunto, se denominan derivadas de orden superior. La notación para las derivadas de orden superior de $y=f(x)$ puede expresarse en cualquiera de las siguientes formas:

Es interesante observar que la notación para $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ puede verse como un intento de expresar $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ de forma más compacta. De manera similar, $\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}.$