Repaso del capítulo

En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ, de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s, como estimación de σ. La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ, pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula:

$t= \frac{\bar{x}–\mu }{\raisebox{1ex}{$s$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{n}$}\right.}$

La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con $\bar{x}\pm \left(t_{\frac{\alpha }{2}}\right)\frac{s}{\sqrt{n}}$ donde $t_{\frac{\alpha }{2}}$ es la puntuación t con un área a la derecha igual a $\frac{\alpha }{2}$, s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar $t_{\frac{\alpha }{2}}$ para una α determinada.

Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.

Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n, donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′. Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:

$\mathrm{p\text{'}}–Z_{\alpha }\sqrt{\frac{\mathrm{p\text{'}q\text{'}}}{n}}\le p\le \mathrm{p\text{'}}+Z_{\alpha }\sqrt{\frac{\mathrm{p\text{'}q\text{'}}}{n}}$

A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula del intervalo de confianza correspondiente para n a fin de descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo:

$n= \frac{Z_{\alpha }^2{\sigma }^2}{(\bar{x}–\mu {)}^2}$

Si la variable aleatoria es binaria, la fórmula para el tamaño de muestra adecuado a fin de que se mantenga un nivel de confianza determinado con un nivel de tolerancia específico viene dada por

$n=\frac{Z_{\alpha }^2\mathrm{pq}}{e^2}$