William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

72.

Odpowiedz na poniższe pytania.

Dla jakiej prędkości względnej $\gamma = \num{1,5}$ ?
Dla jakiej prędkości $\gamma =100$ ?

73.

Odpowiedz na poniższe pytania.

Dla jakiej prędkości względnej $\gamma =2$ ?
Dla jakiej prędkości $\gamma =10$ ?

74.

Nieracjonalne wyniki. Naukowiec w laboratorium znajdującym się na Ziemi mierzy upływ czasu pomiędzy dwoma sygnałami z sondy kosmicznej i otrzymuje wynik $\SI{23,9}{\hour}$ . Na pokładzie sondy odcinek czasu między tymi samymi dwoma sygnałami wynosi dokładnie $\SI{24}{\hour}$ .

Oblicz wartość $\gamma$ odpowiadającą tej sytuacji;
Co się nie zgadza w otrzymanym wyniku?
Które założenia są błędne?

75.

Jak długo zajmie astronaucie z Przykładu 5.5 przebycie $\num{4,3}$ roku świetlnego z prędkością $\num{0,99944} c$ (mierzoną przez obserwatora na Ziemi)?
Jaki upływ czasu zaobserwuje astronauta?
Sprawdź, czy oba te wyniki powiązane są czynnikiem czasoprzestrzennym $\gamma = 30$ , jak zostało podane w przykładzie.

76.

Jak szybko lekkoatleta musiałby przebiec $\SI{100}{\metre}$ , aby widział, że przebiegł 100 jardów ( $\SI{91,44}{\metre}$ )?
Czy odpowiedź jest zgodna z faktem, że efekty relatywistyczne są trudne do zaobserwowania w codziennych warunkach? Wytłumacz.

77.

Astronauta mierzy długość swojego statku i otrzymuje wynik $\SI{100}{\metre}$ . Naukowiec obserwujący z Ziemi ten sam statek stwierdza, że jego długość wynosi jedynie $\SI{25}{\metre}$ .

Oblicz wartość czynnika $\gamma$ dla tej sytuacji;
Jaka jest prędkość statku względem Ziemi?

78.

Zegar na statku kosmicznym tyka raz na dziesięć tyknięć tego samego zegara na powierzchni Ziemi. Jaka jest prędkość statku względem Ziemi?

79.

Podczas badania lekarskiego tętno astronauty wynosi $66$ uderzeń na minutę. Tętno jest mierzone ponownie, gdy astronauta znajduje się na pokładzie statku kosmicznego lecącego z prędkością $\num{0,5} c$ względem Ziemi. Następnie pomiary tętna przeprowadzane są przez drugiego astronautę (A) znajdującego się na statku razem z badanym i zdalnie, przez lekarza na Ziemi (B).

Zaproponuj metodę pomiarową, dzięki której lekarz (B) mógłby dokonać zdalnego pomiaru tętna astronauty;
Jakie tętna zarejestrują obserwatorzy A i B?

80.

Statek kosmiczny (A) porusza się z prędkością $c/2$ względem drugiego statku (B). Obserwatorzy na statkach A i B ustawiają swoje zegary w taki sposób, że zdarzenie – włączenie lasera, określone przez współrzędne $(x, y, z, t)$ , w przypadku obu obserwatorów będzie miało współrzędne $(\SI{0}{\metre}, \SI{0}{\metre}, \SI{0}{\metre}, \SI{0}{\second})$ . Obserwator B włącza laser dla $t = \SI{0}{\second}$ i wyłącza dla $t = \theta$ w swoim układzie. Ile będzie wynosił upływ czasu między tymi zdarzeniami zarejestrowany przez obserwatora A?

81.

Weźmy pod uwagę obserwatorów z poprzedniego zadania. W układzie obserwatora A w czasie $t = \SI{0}{\second}$ na początku układu pojawia się foton; w tym samym czasie pojawia się inny foton o współrzędnych $(\SI{1}{\metre}, \SI{0}{\metre}, \SI{0}{\metre})$ .

Oblicz współrzędne czasowe i przestrzenne tych dwóch zdarzeń w układzie odniesienia obserwatora B;
W którym układzie zdarzenia te są jednoczesne, a w którym nie?

82.

Ponownie weźmy pod uwagę obserwatorów z poprzednich zadań. Pręt o długości $\SI{1}{\metre}$ zostaje położony na osi $x$ układu odniesienia obserwatora B, zaczynając od początku, aż do $x = \SI{1}{\metre}$ . Jaka jest długość pręta widziana z układu odniesienia obserwatora B?

83.

Obserwator znajdujący się na początku inercjalnego układu odniesienia $S$ widzi błysk światła o współrzędnych $x = \SI{150}{\kilo\metre}$ , $y = \SI{15}{\kilo\metre}$ i $z = \SI{1}{\kilo\metre}$ w momencie $t = \SI{4,5e-4}{\second}$ . Jakie są współrzędne czasowe i przestrzenne tego zdarzenia w układzie $S'$ , jeżeli $S'$ porusza się wzdłuż osi $x$ (wspólnej dla układu $S$ ) z prędkością $v = \num{0,6}c$ ?

84.

Obserwator widzi dwa zdarzenia oddalone od siebie o $\SI{1,5e-8}{\second}$ w czasie i $\SI{800}{\metre}$ w przestrzeni. Jak szybko musi się poruszać drugi obserwator względem pierwszego, aby te dwa zdarzenia zachodziły dla niego jednocześnie?

85.

Obserwator stojący przy torach widzi dwa pioruny uderzające jednocześnie w końce $\SI{500}{\metre}$ pociągu w momencie, gdy środek pociągu mija go z prędkością $\SI{50}{\metre\per\second}$ . Wykorzystaj transformację Lorentza do obliczenia czasu pomiędzy uderzeniami piorunów, mierzonego przez pasażera siedzącego pośrodku pociągu.

86.

Dwa zdarzenia astronomiczne obserwowane z Ziemi zachodzą w odstępie $\SI{1}{\second}$ i są oddalone od siebie o $\SI{1,5e9}{\metre}$ .

Ustal, czy separacja zdarzeń jest czasowa, czy przestrzenna;
Określ, jaki ma to wpływ na zgodność ze szczególną teorią względności.

87.

Dwa zdarzenia astronomiczne obserwowane z Ziemi zachodzą w odstępie $\SI{0,3}{\second}$ i są oddalone od siebie o $\SI{2e9}{\metre}$ . Jak szybko musi przemieszczać się statek kosmiczny od jednego zdarzenia w stronę drugiego, aby zachodziły one dla niego jednocześnie?

88.

Oglądany z Ziemi statek kosmiczny będący w spoczynku zaczyna przemieszczać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem równym $g$ do momentu osiągnięcia prędkości $c / 2$ .

Udowodnij, że zmiana czasu własnego jest związana ze zmianą czasu na Ziemi następującą zależnością: $\d \tau = \sqrt{1-v^2/c^2} \d t$ ;
Znajdź wzór na czas potrzebny statkowi na osiągnięcie prędkości $c / 2$ mierzony z powierzchni Ziemi.

89.

Praktycznie wszystkie galaktyki oddalają się od naszej Drogi Mlecznej. Jeżeli galaktyka znajdująca się $\num{12e9}$ lat świetlnych od naszej oddala się z prędkością $\num{0,9} c$ , to z jaką prędkością musimy wysłać sondę, aby poruszała się w kierunku tej galaktyki z prędkością $\num{0,99} c$ względem niej?
Ile czasie zajmie sondzie dotarcie do tej galaktyki? Możesz założyć, że prędkość naszej galaktyki jest stała;
Ile czasu zajmie przesłanie sygnału z powrotem do naszej galaktyki?

90.

Załóżmy, że statek kosmiczny wracający na Ziemię z prędkością $\num{0,75} c$ może wystrzelić kanister z prędkością $\num{0,5} c$ względem statku.

Jaka jest prędkość kanistra względem Ziemi, jeżeli został on wystrzelony w jej kierunku?
Jaka będzie ta prędkość, jeżeli kanister zostanie wystrzelony w przeciwnym kierunku?

91.

Jakie będą prędkości z podpunktów (a) i (b) poprzedniego zadania, jeżeli statek będzie się oddalał od Ziemi?

92.

Jeżeli statek porusza się w kierunku Ziemi z prędkością $\num{0,1} c$ i wysyła kapsułę w stronę Ziemi z prędkością $\num{0,1} c$ względem Ziemi, to jaka jest prędkość kapsuły względem statku?

93.

Załóżmy, że prędkość światła wynosi jedynie $\SI{3000}{\metre\per\second}$ . Myśliwiec poruszający się w stronę celu na Ziemi z prędkością $\SI{800}{\metre\per\second}$ wystrzeliwuje pociski, z których każdy ma prędkość wylotową $\SI{1000}{\metre\per\second}$ . Jaka jest prędkość pocisku względem celu?
Jeżeli prędkość światła byłaby tak mała, to czy efekty relatywistyczne byłyby widoczne na co dzień? Omów zagadnienie.

94.

Załóżmy, że galaktyka oddala się od Ziemi z prędkością $\SI{1000}{\kilo\metre\per\second}$ i wysyła sygnał świetlny o długości fali równej $\SI{656}{\nano\metre}$ , charakterystycznej dla wodoru (najczęściej występujący pierwiastek we Wszechświecie).

Jaką długość fali zaobserwujemy na Ziemi?
Do jakiej grupy fal elektromagnetycznych możemy zaliczyć fale o takich długościach?
Dlaczego możemy pominąć prędkość orbitowania Ziemi wokół Słońca?

95.

Sonda kosmiczna porusza się w stronę najbliższej gwiazdy z prędkością $\num{0,25} c$ . W trakcie lotu wysyła sygnał o częstotliwości $\SI{1}{\giga\hertz}$ . Jaką częstotliwość zaobserwujemy, gdy sygnał dotrze na Ziemię?

96.

W pobliżu centrum naszej galaktyki wodór w formie gazowej oddala się od nas, orbitując wokół czarnej dziury. Otrzymujemy sygnał elektromagnetyczny o długości fali $\SI{1900}{\nano\metre}$ . Jeżeli wiemy, że początkowo sygnał miał długość $\SI{1875}{\nano\metre}$ , to jaka jest prędkość gazu?

97.

Oblicz prędkość pyłku o masie $\SI{1}{\micro\gram}$ , który ma taki sam pęd jak proton poruszający się z prędkością $\num{0,999} c$ ;
Co otrzymany wynik mówi nam o masie protonu w porównaniu z nawet najmniejszą ilością makroskopowej materii?

98.

Oblicz czynnik $\gamma$ protonu, którego pęd wynosi $\SI{1}{\kilo\gram\metre\per\second}$ ;
Jaka jest jego prędkość? Takie protony wchodzą w skład promieniowania kosmicznego o nieznanym pochodzeniu.

99.

Wykaż, że relatywistyczne ujęcie drugiej zasady dynamiki Newtona wyraża się wzorem $F = m/(1-u^2/c^2)^{3/2}\cdot \d u / \d t$ ;
Oblicz siłę potrzebną do przyspieszenia masy $\SI{1}{\kilo\gram}$ o $\SI{1}{\metre\per\second\squared}$ , gdy porusza się ona z prędkością $c / 2$ .

100.

Pozyton jest antycząstką elektronu, posiadającą taką samą masę. Gdy pozyton i elektron się spotykają, ulegają anihilacji, a ich masy zostają przekształcone w energię.

Oblicz energię uwolnioną w trakcie takiego zdarzenia, zakładając, że możemy pominąć wpływ energii kinetycznej;
Jeżeli energię tę skierować do pozytonu w formie energii kinetycznej, to jaką prędkość osiągnie pozyton?
Jaką prędkość osiągnie elektron, jeżeli otrzyma on uwolnioną energię w formie energii kinetycznej?

101.

Ile wynosi energia kinetyczna w $\si{\mega\electronvolt}$ pionu, którego czas życia wynosi $\SI{1,4e-16}{\second}$ , gdy mierzymy go w laboratorium, i $\SI{0,84e-16}{\second}$ , gdy pomiaru dokonujemy w układzie spoczynkowym pionu? Jego energia spoczynkowa wynosi $\SI{135}{\mega\electronvolt}$ .

102.

Oblicz energię kinetyczną neutronu o zmierzonym czasie życia równym $\SI{2065}{\second}$ , wiedząc, że jego energia spoczynkowa wynosi $\SI{939,6}{\mega\electronvolt}$ , a czas życia mierzony w układzie spoczynkowym wynosi $\SI{900}{\second}$ . Wynik podaj w $\si{\mega\electronvolt}$ .

103.

Udowodnij, że $(pc)^2/(mc^2)^2 = \gamma^2 - 1$ . Co oznacza, że dla dużych prędkości $pc \gg mc^2$ ?
Czy $E \approx pc$ dla $\gamma = 30$ , jak w przypadku astronautki z paradoksu bliźniąt?

104.

Pewien neutron wchodzący w skład promieniowania kosmicznego osiąga prędkość $\num{0,25} c$ względem Ziemi.

Jaka jest energia całkowita elektronu? Wynik podaj w $\si{\mega\electronvolt}$ ;
Oblicz pęd neutronu;
Czy $E \approx pc$ w tej sytuacji? Omów to zagadnienie w odniesieniu do podpunktu (a) poprzedniego zadania.

105.

Jaki jest czynnik $\gamma$ protonu o energii $\SI{938,3}{\mega\electronvolt}$ przyspieszonego za pomocą potencjału $\SI{1}{\tera\volt}$ (terawolt)?

106.

Jaka jest wartość napięcia przyspieszającego dla elektronów w akceleratorze SLAC, jeśli $\gamma = 10^5$ ?
Jaka jest całkowita energia elektronów (praktycznie taka sama jak energia kinetyczna) wyrażona w $\si{\giga\electronvolt}$ ?

107.

Wykorzystując dane z Tabeli 8.1, oblicz ubytek masy w beczce ropy naftowej po uwolnieniu energii;
Wiedząc, że beczki te mieszczą $\SI{200}{\liter}$ ropy naftowej o gęstości $\SI{750}{\kilo\gram\per\cubed\metre}$ , określ, jaki jest stosunek ubytku masy do masy początkowej ( $\prefop{\Delta} m /m$ ).

108.

Oblicz energię uwolnioną podczas zniszczenia $\SI{1}{\kilo\gram}$ masy;
Jak dużo kilogramów musiałoby zostać podniesionych na wysokość $\SI{10}{\kilo\metre}$ , aby uzyskać taką samą ilość energii?

109.

Akcelerator Van de Graffa wykorzystuje różnicę potencjałów $\SI{50}{\mega\volt}$ do przyspieszania naładowanych cząstek (np. protonów).

Jaka jest prędkość protonu przyspieszonego przez takie napięcie?
Jaka zaś w przypadku elektronu?

110.

Załóżmy, że średnio w swoim mieszkaniu zużywasz $\SI{500}{\kilo\watt\hour}$ energii elektrycznej miesięcznie.

Na jak długo starczyłoby energii elektrycznej pozyskanej z rozpadu $\SI{1}{\gram}$ masy ze sprawnością $\SI{38}{\percent}$ na zasilanie twojego mieszkania?
Jak wiele domów miałoby zapewnioną elektryczność na rok, z wykorzystania tego samego źródła energii?

111.

Elektrownia jądrowa przekształca energię z rozszczepienia jądrowego w elektryczność ze sprawnością $\SI{35}{\percent}$ . Jaka masa ulega rozszczepieniu w ciągu jednego roku do produkcji ciągłej mocy $\SI{1000}{\mega\watt}$ ?
Czy uważasz, że możliwe byłoby zaobserwowanie ubytku masy przy początkowej masie paliwa $10^4 \si{\kilo\gram}$ ?

112.

Przez pewien czas rozważano projekt rakiet z napędem jądrowym, ale został on porzucony ze względu na kwestie bezpieczeństwa.

Jaki ułamek masy rakiety musiałby zostać zniszczony, aby wynieść ją na niską orbitę Ziemi? Pomiń zmniejszenie przyspieszenia grawitacyjnego oraz przyjmij $\SI{250}{\kilo\metre}$ za wysokość orbity;
Oblicz energię kinetyczną (klasyczną) i energię potencjalną w polu grawitacyjnym.

113.

Poprzez syntezę wodoru Słońce produkuje energię z mocą $\SI{3,85e26}{\watt}$ . Około $\SI{0,7}{\percent}$ każdego kilograma wodoru jest przekształcane w energię produkowaną przez Słońce.

Ile kilogramów wodoru poddawane jest syntezie w każdej sekundzie?
Jeżeli Słońce składa się w $\SI{90}{\percent}$ z wodoru i bez zmiany obecnego stadium ewolucji może spalić połowę swojej masy, to jak długo jest w stanie produkować energię w aktualnym tempie?
Ile kilogramów masy traci Słońce w każdej sekundzie?
Jaką część swojej masy straci Słońce w czasie obliczonym w podpunkcie (b)?

114.

Wykaż, że $E^2 - p^2 c^2$ dla cząstki jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.