3.3 Interferencja na wielu szczelinach

Analizując interferencję światła zachodzącą po jego przejściu przez dwie szczeliny, pokazaliśmy matematyczny opis interferencji oraz kontekst historyczny doświadczenia Thomasa Younga. Większość współczesnych zastosowań zjawiska interferencji na szczelinach wykorzystuje jednak nie dwie szczeliny, a dużo większą ich liczbę, z powodów praktycznych sięgającą nawet kilkunastu tysięcy. Optyczny element z tak dużą liczbą szczelin, nazywany siatką dyfrakcyjną, jest bardzo ważnym przyrządem stosowanym w analizie widmowej i zostanie szczegółowo omówiony w kolejnym rozdziale – Dyfrakcja. Analizę interferencji na wielu szczelinach oprzemy na naszej wiedzy uzyskanej dla przypadku dwóch szczelin ($N=2$), zwiększając ich liczbę kolejno do trzech, czterech itd.

Na Ilustracji 3.9 pokazany jest najprostszy przypadek interferencji na wielu szczelinach, czyli dla trzech szczelin ($N=3$). Odległości pomiędzy kolejnymi szczelinami są równe i wynoszą $d$, a różnica długości dróg optycznych dla sąsiadujących promieni wynosi $dsin\theta$ – tyle samo co w przypadku dwóch szczelin. Nową okolicznością jest tutaj różnica długości dróg optycznych dla promieni pochodzących z pierwszej i trzeciej szczeliny, która wynosi $2dsin\theta$. Zauważmy, że warunek na konstruktywną interferencję pozostaje taki sam jak w przypadku dwóch szczelin

Gdy ten warunek jest spełniony, $2dsin\theta$ jest automatycznie wielokrotnością $\lambda$, zatem wszystkie promienie interferują konstruktywnie. Jasne prążki, które pojawią się dla wartości kąta $\theta$, nazywamy maksimum podstawowym (ang. principal maximum). Ale co się stanie, gdy różnica długości dróg optycznych dla sąsiadujących promieni wyniesie $\lambda ∕2$? Wtedy promienie wychodzące z pierwszej i drugiej szczeliny (pod kątem $\theta$) interferują destruktywnie, równocześnie warunek na interferencję konstruktywną nadal pozostaje spełniony dla promienia pierwszego i trzeciego. Zatem, zamiast otrzymać interferencyjne minimum, jak byłoby w przypadku interferencji na dwóch szczelinach, otrzymujemy tzw. maksimum poboczne (ang. secondary maximum) o natężeniu mniejszym niż maksimum podstawowe.

W przypadku ogólnym, dla $N$ szczelin, maksima poboczne pojawią się nawet wtedy, gdy obecny będzie niesparowany promień, który nie zniknie w wyniku interferencji destruktywnej. Tak będzie dla $N-2$ równomiernie rozłożonych maksimów pobocznych, usytuowanych pomiędzy maksimami podstawowymi. Amplituda fali elektromagnetycznej w maksimach pobocznych zmniejsza się proporcjonalnie do $1∕N$ w porównaniu do amplitudy fali w maksimum podstawowym. Natomiast natężenie światła, które jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali, zmniejsza się proporcjonalnie do $1∕N^2$ w porównaniu do natężenia maksimum podstawowego. Jak jest pokazane na Ilustracji 3.10, ciemny prążek pojawia pomiędzy każdą parą maksimów (podstawowym lub pobocznym). Gdy zwiększa się liczba szczelin, rośnie też liczba pojawiających się jasnych i ciemnych prążków pobocznych; równocześnie szerokość jasnych prążków otoczonych sąsiadującymi ciemnymi prążkami zmniejsza się. Wraz ze zwiększającą się liczbą szczelin zwiększa się natężenie prążków interferencyjnych (maksimów podstawowych) i jest ono proporcjonalne do $N^2$.