Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

3.2 Matematyczny opis interferencji

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 33.2 Matematyczny opis interferencji

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • określać wartości kątów, dla których powstają ciemne i jasne prążki w obrazie interferencyjnym pochodzącym od dwóch szczelin;
  • określać położenie jasnych prążków na obrazie interferencyjnym.

Na Ilustracji 3.7 (a) pokazane jest, w jaki sposób można określić różnicę dróg optycznych Δ l Δ l \prefop{\Delta}l dla promieni biegnących z dwóch szczelin do wybranego punktu na ekranie. Jeśli ekran położony jest w dużej odległości od szczelin w porównaniu z odległością pomiędzy nimi, wtedy kąt θ θ \theta pomiędzy normalną do płaszczyzny szczelin a kierunkiem ich drogi do punktu P P P (patrz Ilustracja 3.7 (b)) jest prawie taki sam dla promieni biegnących z obu szczelin. Mówiąc inaczej, przy tym warunku można uznać, że promienie r 1 r 1 r_1 i r 2 r 2 r_2 biegną równolegle. Długości promieni r 1 r 1 r_1 i r 2 r 2 r_2 różnią się o Δ l Δ l \prefop{\Delta}l , co odpowiada odległości pomiędzy dwiema równoległymi przerywanymi liniami przedstawionymi na Ilustracji 3.7 (b). Znana zależność trygonometryczna prowadzi do równania

Δ l = d sin θ , Δ l = d sin θ , \prefop{\Delta}l = d \sin \theta \text{,}
3.3

gdzie d d d jest odległością pomiędzy szczelinami. Korzystając z Równania 3.1, możemy wyprowadzić wzór ogólny na konstruktywną interferencję promieni pochodzących od dwóch wąskich szczelin, co odpowiada sytuacji, gdy różnica dróg optycznych jest całkowitą wielokrotnością długości fali

dsinθ=mλ, gdzie m=0±1±2±3 (interferencja konstruktywna).dsinθ=mλ, gdzie m=0±1±2±3 (interferencja konstruktywna). d \sin \theta = m \lambda \text{, gdzie } m = 0, \prefop{\pm} 1, \prefop{\pm} 2, \prefop{\pm} 3, \dots \text{ (interferencja konstruktywna).}
3.4

Podobnie warunek na destruktywną interferencję promieni pochodzących od dwóch wąskich szczelin odpowiada sytuacji, gdy różnica dróg optycznych jest równa jakiejkolwiek nieparzystej wielokrotności połówek fali, co możemy zapisać w następującej postaci

dsinθ=m+12λ, gdzie m=0±1±2±3 (interferencja destruktywna),dsinθ=m+12λ, gdzie m=0±1±2±3 (interferencja destruktywna), d \sin \theta = (m+\frac{1}{2}) \lambda \text{, gdzie } m = 0, \prefop{\pm} 1, \prefop{\pm} 2, \prefop{\pm} 3, \dots \text{ (interferencja destruktywna),}
3.5

gdzie λ λ \lambda jest długością fali, d d d jest odległością pomiędzy szczelinami, a θ θ \theta jest kątem pomiędzy normalną do płaszczyzny szczelin a kierunkiem biegu promieni do punktu P P P . Moduł (wartość bezwzględną) liczby całkowitej m m m będziemy nazywać rzędem prążka interferencyjnego (ang. order of interference fringe). Na przykład gdy m = 4 m = 4 m=4 , otrzymamy prążek interferencyjny czwartego rzędu.

Na lewym rysunku pokazano dwie fale r1 i r2 przechodzące przez dwie szczeliny S1 i S2. Fale spotykają się w punkcie P na ekranie. Odległość między punktami S1 i S2 wynosi d; odległość pomiędzy ekranem z dwoma szczelinami a ekranem, na którym powstaje punkt P wynosi x. Punkt P znajduje się w odległości y od punktu leżącego w połowie odległości pomiędzy szczelinami S1 i S2. Linie łączące punkt P z punktem leżącym w połowie odległości między szczelinami tworzy kąt teta z osią x. Na prawym rysunku dwie szczeliny znajdują się w odległości d. Fale przechodzą przez szczeliny i biegną do ekranu P. Kąt pomiędzy biegnącymi falami a osią x wynosi teta.
Ilustracja 3.7 (a) Promienie wychodzące ze szczelin S 1 S 1 \text{S}_1 i S 2 S 2 \text{S}_2 i spotykające się w punkcie P P P pokonują różne drogi. (b) Różnica dróg optycznych dla tych dwóch promieni wynosi Δ l Δ l \prefop{\Delta}l .

Otrzymane równania na konstruktywną i destruktywną interferencję fal pochodzących od dwóch szczelin wskazują, że obraz interferencyjny powinien składać się z usytuowanych naprzemiennie jasnych i ciemnych prążków. W przypadku, gdy szczeliny są poziome, światło po przejściu przez te szczeliny ugina się w obie strony względem kierunku padającej wiązki i tworzy na ekranie obraz, który składa się z prążków interferencyjnych – patrz Ilustracja 3.8. Im mniejsza jest odległość pomiędzy szczelinami, tym większe wartości kątów, dla których pojawiają się prążki określonego rzędu.

Możemy się o tym przekonać, analizując równanie d sin θ = m λ d sin θ = m λ d\sin\theta=m\lambda , gdzie m=0±1±2±3m=0±1±2±3 m = 0, \prefop{\pm} 1, \prefop{\pm} 2, \prefop{\pm} 3, \dots Dla ustalonego λ λ \lambda i m m m , im mniejsze jest d d d , tym większy musi być sinθsinθ \sin\theta (a co za tym idzie również kąt θ θ \theta ), co wynika ze związku sin θ = m λ d sin θ = m λ d \sin\theta=m\lambda/d . Jest to zgodne z naszym wcześniejszym spostrzeżeniem, iż efekty falowe łatwiej zaobserwować, gdy obiekty mają rozmiary porównywalne z długością fali (tutaj odległość pomiędzy szczelinami d d). Czyli im mniejsze d d d , tym większy kąt θ θ \theta , zatem silniejszy efekt.

Popatrzmy raz jeszcze na Ilustracja 3.8: wartość kąta θ θ \theta jest zazwyczaj wystarczająco mała i wtedy sin θ tg θ y m D sin θ tg θ y m D \sin\theta\approx\tg\theta\approx y_m/D , gdzie y m y m y_m jest odległością od centralnego maksimum (prążka zerowego rzędu) do m m m -tego jasnego prążka, natomiast D D D jest odległością pomiędzy szczelinami a ekranem. Równanie to może być wtedy zapisane w następującej postaci

d y m D = m λ d y m D = m λ d\frac{y_m}{D} = m\lambda

lub

y m = m λ D d . y m = m λ D d . y_m = \frac{m\lambda D}{d} \text{.}
3.6
Lewy rysunek przedstawia podwójną szczelinę zlokalizowaną w odległości D od ekranu. Odległość pomiędzy szczelinami wynosi d. Prawy rysunek przedstawia prążki interferencyjne w postaci białych linii tworzących się w punktach, w których fale interferują konstruktywnie.
Ilustracja 3.8 Jasność (natężenie) prążków w obrazie interferencyjnym pochodzącym od dwóch wąskich szczelin maleje wraz ze wzrostem wartości kąta θ θ \theta . Na rysunku po prawej widzimy obraz interferencyjny składający się z ciemnych i jasnych prążków, powstały po przejściu światła przez dwie szczeliny.

Przykład 3.1

Obliczanie długości fali na podstawie obrazu interferencyjnego

Rozważmy światło, którego źródłem jest laser He-Ne, przechodzące przez dwie szczeliny oddalone od siebie o 0,01 mm 0,01 mm \SI{0,01}{\milli\metre} , tworzące obraz interferencyjny, w którym trzeci jasny prążek leży pod kątem 10,95 ° 10,95 ° \ang{10,95}\ względem kierunku padającej wiązki. Jaka jest długość fali światła laserowego?

Strategia rozwiązania

Należy tu przeanalizować zjawisko interferencji fal pochodzących z dwóch szczelin, które zostało przedstawione na Ilustracji 3.8 i zauważyć, że trzeci jasny prążek jest prążkiem interferencji konstruktywnej trzeciego rzędu, co oznacza, że m = 3 m = 3 m=3 . Znamy d = 0,01 mm d = 0,01 mm d=\SI{0,01}{\milli\metre} oraz θ = 10,95 ° θ = 10,95 ° \theta = \ang{10,95}\ . Długość fali może być zatem obliczona z równania na interferencję konstruktywną (wzmocnienie interferencyjne) d sin θ = m λ d sin θ = m λ d\sin\theta = m\lambda .

Rozwiązanie

Przekształcając wzór d sin θ = m λ d sin θ = m λ d\sin\theta = m\lambda ze względu na λ λ \lambda , otrzymujemy
λ = d sin θ m . λ = d sin θ m . \lambda = \frac{d\sin\theta}{m} \text{.}

Wstawiając teraz znane wielkości, otrzymamy

λ = 0,01 mm sin 10,95 ° 3 = 6,33 10 4 mm = 633 nm . λ = 0,01 mm sin 10,95 ° 3 = 6,33 10 4 mm = 633 nm . \lambda = \frac{ \SI{0,01}{\milli\metre} \cdot \sin\ang{10,95} }{3} = \SI{6,33e-4}{\milli\metre} = \SI{633}{\nano\metre} \text{.}

Znaczenie

Otrzymany wynik (do trzech cyfr znaczących) odpowiada długości fali świetlnej emitowanej przez typowy laser He-Ne. Nie przez przypadek barwa światła lasera He-Ne jest podobna do barwy lampy neonowej, w której światło emitują wzbudzone atomy neonu. Bardziej istotny jest tutaj fakt, że obrazy interferencyjne mogą być wykorzystywane do wyznaczania wartości długości fali nieznanego źródła światła. Ta technika analityczna jest do dzisiaj wykorzystywana do badania spektrów fal elektromagnetycznych pochodzących z różnych źródeł. Dla prążka interferencyjnego danego rzędu wartość kąta wzmocnienia interferencyjnego rośnie wraz z długością fali λ λ \lambda , zgodnie z Równaniem 3.4, dlatego też na podstawie obrazów interferencyjnych można wyznaczać wartość długości badanej fali (dla różnych długości fal maksima interferencyjne będą występowały w innych miejscach).

Przykład 3.2

Określanie interferencji najwyższego rzędu

Obrazy interferencyjne nie posiadają nieskończonej liczby prążków, gdyż istnieje pewne ograniczenie maksymalnego rzędu prążka, który określony jest przez największą wartość modułu (wartości bezwzględnej) liczby m m m . Jaki jest najwyższy rząd interferencji konstruktywnej w układzie przedstawionym w poprzednim przykładzie?

Strategia rozwiązania

Równanie d sin θ = m λ d sin θ = m λ d\sin\theta=m\lambda (gdzie m=0±1±2±3m=0±1±2±3 m = 0, \prefop{\pm} 1, \prefop{\pm} 2, \prefop{\pm} 3, \dots) opisuje konstruktywną interferencję dla fal pochodzących z dwóch szczelin. Dla ustalonych wartości d d d i λ λ \lambda im większe m m m , tym większy jest sin θ sin θ \sin\theta . Jednocześnie maksymalna wartość, jaką może osiągnąć sin θ sin θ \sin\theta to 1 1 1 , czyli dla kąta 90 ° 90 ° \ang{90}\ (wartości kątów większe od 90 ° 90 ° \ang{90}\ oznaczają, że światło rozprzestrzenia się do tyłu i nie może tym samym dotrzeć do ekranu). Wyznaczymy teraz wartość m m m , dla której otrzymamy prążki najwyższego rzędu.

Rozwiązanie

Przekształcając zależność d sin θ = m λ d sin θ = m λ d\sin\theta=m\lambda ze względu na m m m , otrzymujemy
m = d sin θ λ . m = d sin θ λ . m = \frac{d\sin\theta}{\lambda} \text{.}

Wstawiając sin θ = 1 sin θ = 1 \sin\theta=1 i podstawiając wartości dla d d d i λ λ \lambda z poprzedniego przykładu, otrzymujemy

m = 0,01 mm 1 633 nm 15,8 . m = 0,01 mm 1 633 nm 15,8 . m = \frac{\SI{0,01}{\milli\metre} \cdot \num{1}}{\SI{633}{\nano\metre}} \approx \num{15,8} \text{.}

Zatem największa liczba całkowita m m m to 15 15 \num{15} , czyli m = 15 m = 15 m=\num{15} .

Znaczenie

Liczba widocznych jasnych prążków zależy od wartości długości fali oraz odległości pomiędzy szczelinami. Liczba prążków jest bardzo duża dla dużej odległości pomiędzy szczelinami. Jednak pamiętamy (patrz Rozchodzenie się światła), że efekty interferencyjne pojawiają się, gdy fala pada na obiekty, których rozmiar nie jest dużo większy od długości fali. Dlatego też, gdy odległość pomiędzy szczelinami i szerokość samej szczeliny będą znacznie większe od długości fali, obraz interferencyjny na ekranie zmieni się i otrzymamy po prostu dwa jasne, szerokie prążki, będące obrazem szczelin, czyli to, co byśmy otrzymali korzystając z optyki geometrycznej. Musimy również zaznaczyć, że im większa odległość kolejnych prążków od prążka centralnego, tym ich jasność (natężenie) jest mniejsza. W rezultacie nie wszystkie prążki z wyliczonych 15 15 \num{15} rzędów mogą być zaobserwowane.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.1

Pod jakimi kątami pojawią się jasne prążki pierwszego i drugiego rzędu w omawianym poprzednio przykładzie?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.