3.2 Matematyczny opis interferencji

Na Ilustracji 3.7 (a) pokazane jest, w jaki sposób można określić różnicę dróg optycznych $\Delta l$ dla promieni biegnących z dwóch szczelin do wybranego punktu na ekranie. Jeśli ekran położony jest w dużej odległości od szczelin w porównaniu z odległością pomiędzy nimi, wtedy kąt $\theta$ pomiędzy normalną do płaszczyzny szczelin a kierunkiem ich drogi do punktu $P$ (patrz Ilustracja 3.7 (b)) jest prawie taki sam dla promieni biegnących z obu szczelin. Mówiąc inaczej, przy tym warunku można uznać, że promienie $r_1$ i $r_2$ biegną równolegle. Długości promieni $r_1$ i $r_2$ różnią się o $\Delta l$, co odpowiada odległości pomiędzy dwiema równoległymi przerywanymi liniami przedstawionymi na Ilustracji 3.7 (b). Znana zależność trygonometryczna prowadzi do równania

gdzie $d$ jest odległością pomiędzy szczelinami. Korzystając z Równania 3.1, możemy wyprowadzić wzór ogólny na konstruktywną interferencję promieni pochodzących od dwóch wąskich szczelin, co odpowiada sytuacji, gdy różnica dróg optycznych jest całkowitą wielokrotnością długości fali

Podobnie warunek na destruktywną interferencję promieni pochodzących od dwóch wąskich szczelin odpowiada sytuacji, gdy różnica dróg optycznych jest równa jakiejkolwiek nieparzystej wielokrotności połówek fali, co możemy zapisać w następującej postaci

gdzie $\lambda$ jest długością fali, $d$ jest odległością pomiędzy szczelinami, a $\theta$ jest kątem pomiędzy normalną do płaszczyzny szczelin a kierunkiem biegu promieni do punktu $P$. Moduł (wartość bezwzględną) liczby całkowitej $m$ będziemy nazywać rzędem prążka interferencyjnego (ang. order of interference fringe). Na przykład gdy $m=4$, otrzymamy prążek interferencyjny czwartego rzędu.

Ilustracja 3.7 (a) Promienie wychodzące ze szczelin ${\text{S}}_1$ i ${\text{S}}_2$ i spotykające się w punkcie $P$ pokonują różne drogi. (b) Różnica dróg optycznych dla tych dwóch promieni wynosi $\Delta l$.

Otrzymane równania na konstruktywną i destruktywną interferencję fal pochodzących od dwóch szczelin wskazują, że obraz interferencyjny powinien składać się z usytuowanych naprzemiennie jasnych i ciemnych prążków. W przypadku, gdy szczeliny są poziome, światło po przejściu przez te szczeliny ugina się w obie strony względem kierunku padającej wiązki i tworzy na ekranie obraz, który składa się z prążków interferencyjnych – patrz Ilustracja 3.8. Im mniejsza jest odległość pomiędzy szczelinami, tym większe wartości kątów, dla których pojawiają się prążki określonego rzędu.

Możemy się o tym przekonać, analizując równanie $dsin\theta =m\lambda$, gdzie $m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$ Dla ustalonego $\lambda$ i $m$, im mniejsze jest $d$, tym większy musi być $sin\theta$ (a co za tym idzie również kąt $\theta$), co wynika ze związku $sin\theta =m\lambda ∕d$. Jest to zgodne z naszym wcześniejszym spostrzeżeniem, iż efekty falowe łatwiej zaobserwować, gdy obiekty mają rozmiary porównywalne z długością fali (tutaj odległość pomiędzy szczelinami $d$). Czyli im mniejsze $d$, tym większy kąt $\theta$, zatem silniejszy efekt.

Popatrzmy raz jeszcze na Ilustracja 3.8: wartość kąta $\theta$ jest zazwyczaj wystarczająco mała i wtedy $sin\theta \approx tg\theta \approx y_m∕D$, gdzie $y_m$ jest odległością od centralnego maksimum (prążka zerowego rzędu) do $m$-tego jasnego prążka, natomiast $D$ jest odległością pomiędzy szczelinami a ekranem. Równanie to może być wtedy zapisane w następującej postaci

lub

Ilustracja 3.8 Jasność (natężenie) prążków w obrazie interferencyjnym pochodzącym od dwóch wąskich szczelin maleje wraz ze wzrostem wartości kąta $\theta$. Na rysunku po prawej widzimy obraz interferencyjny składający się z ciemnych i jasnych prążków, powstały po przejściu światła przez dwie szczeliny.