William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania trudniejsze

94.

Dozownik wody pitnej o wysokości $20 cm$ i przekroju poprzecznym $25 cm$ na $10 cm$ posiada kranik o pomijalnej pojemności otwierający się na poziomie jego dna. Początkowo dozownik zawiera wodę do poziomu $3 cm$ poniżej pokrywy, a powyżej wody powietrze pod ciśnieniem otoczenia wynoszącym $1 atm$ . Po otwarciu kranika woda wypływa z dozownika aż do momentu wyrównania się ciśnień na zewnątrz i na jego dnie. Oblicz, jaka objętość wody wypłynęła z dozownika. Przyjmij, że temperatura jest stała, dozownik jest doskonale sztywny i że woda ma stałą gęstość $1000 kg ∕ m^{3}$ .

95.

Osiem samochodzików w wesołym miasteczku (ang. bumper cars), każdy o masie $322 kg$ , porusza się po tafli o długości $21 m$ i szerokości $13 m$ ograniczonej bandami. Samochodziki nie mają kierowców, poruszają się więc samodzielnie, zderzając się ze sobą przypadkowo. Średnia prędkość kwadratowa samochodzików wynosi $2,5 m ∕ s$ . Powtarzając argumenty przytoczone w podrozdziale Ciepło właściwe i zasada ekwipartycji energii, wyznacz wartość średniej siły przypadającej na jednostkę długości (wielkość analogiczna do ciśnienia), którą samochodziki wywierają na bandy tafli.

96.

Wykaż, że $v_{p} = \sqrt{2 k_{B} T ∕ m}$ .

97.

Wykaż, że spełniony jest warunek normalizacyjny $\int_{0}^{\infty} f (v) d v = 1$ . Całkę oblicza się przez podstawienie $u = v ∕ v_{p} = v \sqrt{m ∕ (2 k_{B} T)}$ . To przekształcenie prowadzi do całki niewłaściwej dającej czynnik numeryczny $\int_{0}^{\infty} x^{2} exp (- x^{2}) d x = \sqrt{π} ∕ 4$ .

98.

Wykaż, że $\overline{v} = \sqrt{8 k_{B} T ∕ (π m)}$ . Zastosuj to samo podstawienie co w poprzednim zadaniu.

99.

Wykaż, że $v_{k} = \sqrt{\overline{v^{2}}} = \sqrt{3 k_{B} T ∕ m}$ .