15.3 Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego

Obwód prądu zmiennego przedstawiony na Ilustracji 15.11 nazywany jest szeregowym obwodem RLC (ang. RLC series circuit). Obwód ten złożony jest z opornika, cewki i kondensatora podłączonych szeregowo do generatora napięcia zmiennego. Źródło dostarcza siły elektromotorycznej o wartości

Ilustracja 15.11 (a) Schemat szeregowego obwodu RLC. (b) Porównanie napięcia wyjściowego na generatorze z natężeniem prądu w obwodzie. Wartość przesunięcia fazowego $\varphi$ zależy od wartości $R$, $L$ i $C$.

Ponieważ elementy połączone są ze sobą szeregowo, w każdej chwili przez każdy z nich przepływa prąd elektryczny o takim samym natężeniu. Podobna sytuacja zachodzi w przypadku szeregowo połączonych oporników, gdzie przez każdy element przepływa prąd o tym samym natężeniu i wytworzone napięcie jest sumą napięć odkładanych na poszczególnych elementach elektrycznych tak, że jest ono równe sile elektromotorycznej działającej na dany obwód. W obwodzie RLC napięcie jest funkcją czasu sinusoidalnie zmienną i tak jak w przypadku układu szeregowo połączonych oporników może być wyrażone przez dwuwymiarowy obracający się ze stałą prędkością kątową wektor czyli wskaz. Rzut tego wskazu na oś rzeczywistą wyraża mierzone napięcie. Suma wskazów napięciowych (wektorów reprezentowanych przez liczby zespolone) na wszystkich szeregowych elementach obwodu jest równa sile elektromotorycznej reprezentowanej także przez wskaz. Warto zdać sobie sprawę, że dodawanie liczb zespolonych to w istocie dodawanie wektorów dwuwymiarowych (np. wskazów). Ważne jest, że w szeregowym układzie RLC wskaz reprezentujący natężenie prądu jest jednakowy dla wszystkich elementów obwodu, analogicznie do sytuacji szeregowo połączonych oporników. Istotnie, fakt ten odwołuje się do zasady zachowania prądu elektrycznego powiązanej z zasadą zachowania ładunku elektrycznego. Przystąpmy zatem do systematycznej analizy obwodu RLC. Wcześniej założyliśmy, że przykładane napięcie (SEM) jest sinusoidalnie zmienne. Względna różnica faz w obwodzie RLC pomiędzy natężeniem prądu a siłą elektromotoryczną nie jest wartością oczywistą, gdy wszystkie trzy elementy mają wkład do różnicy faz. W konsekwencji opiszemy natężenie prądu wyrażeniem ogólnym

gdzie $I_0$ jest amplitudą natężenia prądu, a $\varphi$ kątem fazowym (ang. phase angle) pomiędzy natężeniem a napięciem prądu. Kąt fazowy jest zatem miarą tego, jak bardzo napięcie i natężenie prądu w obwodzie są ze sobą niezgodne w fazie co jest reprezentowane przez wskazy napięcia i natężenia prądu elektrycznego obrócone względem siebie przez ten kąt. Naszym zadaniem jest ustalenie wartości $I_0$ i $\varphi$.

Wykres wskazowy przedstawiający $i\left(t\right)$, $u_R\left(t\right)$, $u_C\left(t\right)$ i $u_L\left(t\right)$ będzie niezwykle pomocny w analizie tego obwodu. Jak przedstawiono to na Ilustracji 15.12, wskaz reprezentujący $u_R\left(t\right)$ ma ten sam kierunek i zwrot co wskaz reprezentujący $i\left(t\right)$, a jego amplituda wynosi $U_R=I_{0}R$. Wskaz $u_C\left(t\right)$ jest opóźniony względem wskazu $i\left(t\right)$ o $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$, a jego amplituda wynosi $U_C=I_0{X}_C$. Wskaz dla $u_L\left(t\right)$ wyprzedza wskaz $i\left(t\right)$ o $\left(\pi ∕2\right)\mathrm{rad}$ i jego amplituda jest równa $U_L=I_0{X}_L$.

Ilustracja 15.12 Wykres wskazowy dla szeregowego obwodu RLC z Ilustracji 15.11.

W każdej chwili napięcie przykładane na szeregowo połączone elementy wynosi $u_R\left(t\right)+u_L\left(t\right)+u_C\left(t\right)=u\left(t\right)$ odpowiada SEM produkowanej przez generator. Ponieważ składowa sumy wektorów jest równa sumie składowych tych wektorów (np. ${\left(A+B\right)}_y=A_y+B_y$; zmiana nie występuje gdy akceptujemy antyintuicyjne oznaczenia z Ilustracji 15.12 i Ilustracji 15.13), oznacza to, że rzut sumy wskazów na oś pionową jest równy sumie rzutów wszystkich wskazów składowych na oś pionową. Wynika z tego, że jeśli dodamy wektorowo wskazy przedstawiające $u_R\left(t\right)$,$u_C\left(t\right)$ i $u_L\left(t\right)$ (zmiana nie występuje gdy akceptujemy antyintuicyjne oznaczenia z Ilustracji 15.12 i Ilustracji 15.13), a następnie zrzutujemy wynik na oś pionową, otrzymamy

Suma wektorowa wskazów zaprezentowana została na Ilustracji 15.13. Wskaz będący wynikiem tej operacji posiada amplitudę równą $U_0$ i jest skierowany pod kątem $\varphi$ względem wskazu $u_R\left(t\right)$ (lub $i\left(t\right)$). Rzut wskazu wypadkowego na oś pionową jest równy $u\left(t\right)=U_{0}sin\left(\omega t\right)$. Z układu geometrycznego wskazów możliwe jest ustalenie nieznanych wartości $I_0$ oraz $\varphi$. Dla kąta fazowego

co po uproszczeniu czynnika $I_0$ przyjmuje postać

Co więcej, z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

Ilustracja 15.13 Wskaz wypadkowy, będący wynikiem dodawania wskazów $u_R\left(t\right)$, $u_C\left(t\right)$ i $u_L\left(t\right)$, jest równy wskazowi dla $u\left(t\right)=U_{0}sin\left(\omega t\right)$. Wskaz dla $i\left(t\right)$ (nieprzedstawiony na rysunku) jest ustawiony zgodnie ze wskazem dla $u_R\left(t\right)$.

Wyrażenie na amplitudę natężenia prądu wyraża się zmiennoprądową wersją prawa Ohma

gdzie

jest znane jako impedancja (ang. impedance) lub zawada obwodu. Jej jednostką jest om i jest to zmiennoprądowy odpowiednik oporu elektrycznego w obwodzie stałoprądowym. Jest to wielkość opisująca sumaryczne efekty rezystancji, kapacytancji i induktancji (Ilustracja 15.14), będąca uogólnieniem oporu elektrycznego dla obwodów AC.

Ilustracja 15.14 Kondensatory mocy (ang. power capacitors) używane są do wyrównania impedancji dla wypadkowej induktancji linii przesyłowych.

Obwód RLC można porównać do samochodu jadącego po pofalowanej drodze (Ilustracja 15.15). Równoodległe wybrzuszenia powodują ruch koła w górę i w dół. Podobnie napięcie prądu w obwodzie RLC rośnie i maleje. Amortyzator zachowuje się jak impedancja obwodu, ograniczając amplitudę drgań. Energia w układzie jezdnym zmienia się nieustannie z energii kinetycznej na energię potencjalną zgromadzoną w sprężynie, podobnie do zmiany pomiędzy maksymalną amplitudą pola magnetycznego odpowiadającą maksymalnemu natężeniu prądu elektrycznego (kiedy energia elektromagnetyczna jest zgromadzoną w cewce w postaci pola magnetycznego), a natężeniem zerowym prądu elektrycznego (kiedy energia pola elektromagnetycznego jest zgromadzoną w kondensatorze w postaci pola elektrycznego). Amplituda ruchu koła osiąga maksimum, gdy wybrzuszenia drogi są najeżdżane z częstotliwością rezonansową, którą opisujemy dokładniej w podrozdziale Rezonans w obwodzie prądu zmiennego.

Ilustracja 15.15 W układzie jezdnym samochodu amortyzator tłumi ruch i rozprasza energię. Jest to bardzo podobne do rezystancji w obwodzie RLC. Masa i stała sprężystości sprężyny determinują częstotliwość rezonansową.