14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne

Cewki indukcyjne

Ilustracja 14.5 przedstawia niektóre linie pola wytwarzane przez prąd płynący w okrągłej pętli z drutu. Jeśli prąd jest stały, stały jest również strumień pola magnetycznego przechodzącego przez pętlę. Jeśli jednak natężenie prądu $i$ zmieniałoby się w czasie, na przykład po zamknięciu przełącznika $S$, to strumień magnetyczny ${\mathrm{\Phi }}_B$ również by się zmienił. Tę sytuację opisuje prawo Faradaya, które mówi, że w obwodzie powstałaby SEM $\epsilon$ według wzoru

Natężenie pola magnetycznego przewodnika, w którym płynie prąd, jest wprost proporcjonalne do jego natężenia, wobec tego taka sama zależność zachodzi dla strumienia tego pola

Ilustracja 14.5 Pętla z prądem wytwarza pole magnetyczne. Jeśli natężenie prądu $I$ zmieniałoby się w czasie, strumień pola magnetycznego również by się zmieniał i indukowana byłaby SEM.

co może być również zapisane w postaci

gdzie stałą proporcjonalności $L$ nazywamy indukcyjnością własną pętli (ang. self-inductance). Gdybyśmy pętlę zastąpili cewką z $N$ zwojami, równanie to przyjęłoby postać

Według umownej konwencji, wynikającej z reguły prawej dłoni, ${\mathrm{\Phi }}_B$ jest dodatni. W takim razie $L$ zawsze przyjmuje dodatnie wartości.

Dla cewki o $N$ zwojach, $\epsilon =-Nd{\mathrm{\Phi }}_B∕dt$. Możemy więc napisać wyrażenie na SEM w odniesieniu do indukcyjności własnej

Korzystając z tego równania do wyznaczenia $L$, najłatwiej jest opuścić znaki $\epsilon$ i $di∕dt$. Wtedy $L$ zapiszemy jako

Samoindukcja jest związana z polem magnetycznym wytwarzanym przez prąd, więc każdy przewodnik będzie posiadał indukcyjność własną. Oprócz pętli drutu może to być na przykład długi, prosty drut albo kabel koncentryczny. Ten ostatni jest powszechnie wykorzystywany w przesyłaniu cyfrowych sygnałów, na przykład sygnału telewizji kablowej, gdzie minimalizuje on zakłócenia. Zbudowany jest z dwóch długich cylindrycznych przewodników, przez które płynie prąd i których indukcyjność własna może mieć niepożądane skutki.

Element obwodu wykazujący samoindukcję nazywany jest cewką indukcyjną (ang. inductor). Na Ilustracji 14.6 przedstawione jest jego schematyczne oznaczenie, a na Ilustracji 14.7 poniżej widocznych jest kilka rodzajów cewek indukcyjnych stosowanych w obwodach.

Ilustracja 14.6 Schematyczne oznaczenie cewki indukcyjnej w obwodzie elektrycznym

Ilustracja 14.7 Kilka różnych cewek indukcyjnych. Każda z nich jest zwojem drutu, niezależnie od tego, czy jest obudowana, czy nie. Źródło: Windell Oskay

Zgodnie z regułą Lenza znak minus w Równaniu 14.10 oznacza, że SEM samoindukcji zawsze przeciwdziała zmianom prądu. Gdy natężenie prądu płynącego z punktu $A$ do punktu $B$ w układzie na Ilustracji 14.8 wzrasta, to indukowana SEM ma kierunek przeciwny do kierunku prądu. Natomiast jeśli natężenie prądu maleje, to SEM indukowana jest w kierunku zgodnym z kierunkiem prądu. W trzecim przypadku, gdy prąd płynący przez cewkę jest stały, nie indukuje się żadna SEM. Kierunek SEM samoindukcji reprezentowany jest na Ilustracji 14.8 (a) i (b) przez wyimaginowaną baterię, która byłaby jej źródłem.

Ilustracja 14.8 SEM indukowana w cewce indukcyjnej zawsze przeciwdziała zmianom natężenia prądu. Można to sobie wyobrazić jako wyimaginowaną baterię wpiętą w obwód tak by raz zmniejszała, raz zwiększała płynący prąd.

Przykładem codziennego zastosowania samoindukcji są czujniki montowane w jezdni, których zadaniem jest wykrycie obecności samochodu. Kiedy samochód najeżdża na pętlę indukcyjną (ang. induction loop), chwilowo zwiększa się jej indukcyjność. Generuje to sygnał przekazywany do innego urządzenia, na przykład sygnalizacji świetlnej (ang. traffic lights) lub stacji odcinkowego pomiaru prędkości. To samo zjawisko wykorzystane jest w detektorach metalu (ang. metal detector) stosowanych przy kontroli bezpieczeństwa (Ilustracja 14.9). Cewki znajdujące się w bramce detektora działają jednocześnie jako nadajniki i odbiorniki pulsacyjnego sygnału. Obecność metalowego przedmiotu zmienia indukcyjność własną nadajnika i wpływa przez to na emitowany sygnał. Czułość detektora może być wykalibrowana w taki sposób, by wykryć metalowe przedmioty przenoszone przez osoby.

Ilustracja 14.9 Bramka bezpieczeństwa na lotnisku może nie tylko wykryć metal przenoszony przez osobę, ale także wskazać jego przybliżoną wysokość nad podłogą. Źródło: „Alexbuirds”/Wikimedia Commons

Wysokie indukowane napięcia stosowane są w lampach błyskowych (ang. flash lamp). Wewnątrz aparatu znajduje się bateria, kondensator, transformator zbudowany z dwóch cewek indukcyjnych i generator drgań elektrycznych. Oscylacje pola magnetycznego, pojawiające się ze względu na zmienny prąd, podbijają napięcie z baterii do wartości powyżej $1000$ woltów. Kondensator zatrzymuje napięcie, które zostaje użyte do zasilenia lampy w chwili wyzwolenia migawki.

Na skuteczne podejście do obliczania indukcyjności własnej cewki indukcyjnej składają się następujące kroki:

Aby zademonstrować tę metodę, wyznaczymy teraz indukcyjność własną dwóch cewek indukcyjnych o różnej geometrii.

Cylindryczny solenoid

Rozważmy długi, cylindryczny solenoid o długości $l$, polu przekroju poprzecznego $S$ i $N$ zwojach. Założymy, iż jego długość jest tak duża w porównaniu ze średnicą, że pole wewnątrz jest jednorodne i wynosi $B={\mu }_{0}ni$. Jeśli przez uzwojenie płynie prąd o natężeniu $i$, to pole magnetyczne wytworzone w solenoidzie zapiszemy jako

Zatem strumień pola magnetycznego przenikającego przez jeden zwój wynosi

Z Równania 14.9, wyliczamy indukcyjność własną solenoidu

Jeśli $n=N∕l$ jest liczbą zwojów na jednostkę długości, Równanie 14.13 możemy zapisać w następujący sposób

gdzie $V=Sl$ jest objętością solenoidu. Zauważmy, że indukcyjność własna solenoidu zależy jedynie od jego fizycznej budowy – liczby zwojów na jednostkę długości i objętości – a nie od natężenia pola magnetycznego albo natężenia prądu. Obserwacja ta jest prawdziwa dla wszystkich cewek indukcyjnych.

Cewka nawinięta na prostokątny toroid

Ilustracja 14.10 przedstawia toroidalną cewkę o przekroju prostokątnym. Wewnętrzny i zewnętrzny promień cewki wynoszą odpowiednio $R_1$ i $R_2$, a jej wysokość wynosi $h$. Wykorzystując prawo Ampère’a, podobnie jak zrobiliśmy to w Przykładzie 13.8 obliczamy pole magnetyczne wewnątrz toroidu, którego przekrój jest kołem

gdzie $r$ oznacza odległość od centralnej osi toroidu. Ponieważ pole magnetyczne wewnątrz jest niejednorodne, strumień pola znajdziemy, całkując po polu przekroju bryły. Całkujemy po infinitezymalnych elementach powierzchni $da=hdr$ (Ilustracja 14.10). Otrzymujemy zależność

Ilustracja 14.10 Obliczanie indukcyjności własnej toroidu o przekroju prostokątnym

Tak policzony strumień możemy wstawić do Równania 14.16, by otrzymać indukcyjność własną naszej cewki

Tak jak się spodziewaliśmy, również tym razem indukcyjność własna zależy tylko od fizycznych właściwości cewki.