16.1 Fale biegnące

Rodzaje fal

Pojęcie fala (ang. wave) oznacza zaburzenie, które rozchodzi się od miejsca, w którym powstało. Wyróżnia się trzy podstawowe typy fal: mechaniczne, elektromagnetyczne i fale materii.

Fale mechaniczne (ang. mechanical waves) podlegają zasadom dynamiki Newtona i wymagają obecności ośrodka materialnego, czyli substancji, w której mogą się rozchodzić. Gdy ośrodek ulega odkształceniu, wówczas pojawiają się w nim siły sprężystości. Fale mechaniczne przenoszą energię i pęd, nie przenosząc przy tym masy. Przykładami fal mechanicznych są fale na wodzie, fale dźwiękowe i fale sejsmiczne. Ośrodkiem dla fal na wodzie jest woda, natomiast dla fal dźwiękowych zwykle jest to powietrze, ale mogą się one rozchodzić również w innych ośrodkach. Zagadnienie to dokładniej omówimy w rozdziale Dźwięk. W przypadku fal na powierzchni wody zaburzenie może powstać na przykład na skutek wrzucenia do niej kamienia lub pod wpływem ruchów ciała pływaka. Natomiast dla fal dźwiękowych wspomniane zaburzenia to zmiany ciśnienia powietrza, które mogą być skutkiem drgań membrany głośnika lub wibracji kamertonu (w obu przypadkach przez zaburzenia rozumiemy drgania cząstek ośrodka). Dla fal mechanicznych energia i pęd są przenoszone wraz z przemieszczaniem się fali, tymczasem ich masa drga wokół położenia równowagi (to zagadnienie omówimy w podrozdziale Energia i moc fali). Trzęsienia Ziemi generują fale sejsmiczne, z którymi wiąże się kilka typów zaburzeń, w tym zniekształcenia powierzchni Ziemi i zaburzenia ciśnień pod jej powierzchnią. Fale sejsmiczne przemieszczają się w ośrodkach stałych i ciekłych tworzących Ziemię. W tym rozdziale skupimy się jednak na falach mechanicznych.

Fale elektromagnetyczne (ang. electromagnetic waves) są związane z drganiami pól elektrycznych i magnetycznych i nie wymagają obecności ośrodka. Popularne przykłady tego rodzaju fal to: promieniowanie $\gamma$, promieniowanie rentgenowskie, promieniowanie ultrafioletowe, światło widzialne, promieniowanie podczerwone, mikrofale i fale radiowe. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z prędkością światła $v=c=\mathrm{2,99792458}\cdot {10}^8\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$, tak jak światło docierające do powierzchni Ziemi z przestrzeni kosmicznej. Wykazują równiez pewne podobieństwa do fal mechanicznych. Zagadnienie to zostanie omówione szczegółowo w rozdziale Fale elektromagnetyczne.

Fale materii (ang. matter waves) są kluczowym zagadnieniem działu fizyki znanego jako mechanika kwantowa. Są one związane z takimi cząstkami jak protony, elektrony, neutrony i inne występujące w przyrodzie cząstki elementarne. Teoria, według której każda cząstka materialna ma właściwości falowe, została po raz pierwszy sformułowana przez Louisa de Broglie’a w 1924 roku. Fale materii zostaną omówione w rozdziale Fotony i fale materii.

Fale mechaniczne

W oparciu o przykład fal mechanicznych można okreslić wielkości wspólne dla wszystkich rodzajów fal, takie jak amplituda, długość, okres, częstotliwość i energia. Pełną charakterystykę fal możemy podać przy zastosowaniu zaledwie kilku zasad.

Najprostsze fale mechaniczne są powtarzalne i charakteryzują się prostym ruchem harmonicznym. Te proste fale harmoniczne możemy opisać korzystając z funkcji sinus i cosinus. Dla przykładu rozważmy uproszczoną falę na powierzchni wody pokazaną na Ilustracji 16.3. W odróżnieniu od skomplikowanych fal oceanicznych, w przypadku fal na powierzchni wody cząsteczki wody wykonują ruch w płaszczyźnie pionowej, natomiast zaburzenie rozchodzi się w płaszczyźnie poziomej. Pokazana na Ilustracji 16.3 mewa, siedząca na powierzchni wody jest wprawiana w proste drgania harmoniczne w górę i w dół. Fala rozchodząca się po powierzchni wody charakteryzuje się obecnością grzbietów (najwyższy punkt fali) i dolin (najniższy punkt fali). Czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego ruchu drgającego w górę i w dół nazywa się okresem fali $T$. Częstotliwość fali to liczba fal przebiegających przez dowolny punkt w jednostce czasu i wynosi $f=1\text{/}T.$ Okres może być wyrażony w dowolnej jednostce czasu, zwykle jednak jest to sekunda; natomiast częstotliwość zwykle podaje się w hercach (Hz), gdzie $1{\text{Hz}=1\text{s}}^{\mathrm{-1}}.$

Długość fali (ang. wavelength) oznacza się grecką literą lambda $\left(\lambda \right)$ i można ją podawać w metrach, centymetrach i innych jednostkach długości. Długość fali mierzy się pomiędzy dwoma podobnymi punktami ośrodka o tej samej wysokości i wychyleniu. Na Ilustracji 16.3 zmierzono odległość między dwoma najbliższymi grzbietami fali (czyli zmierzono długość fali). Zgodnie z tym, co wspomnieliśmy wcześniej, okres to czas jednego pełnego drgania. Okres to także czas, w którym fala pokona odcinek drogi o długości równej jednej długości fali.

Amplituda fali (ang. wave amplitude) oznaczana $A$ jest maksymalnym wychyleniem ośrodka z położenia równowagi. Na Ilustracji 16.3 położenie równowagi oznaczono linią przerywaną. Odpowiada ono poziomowi, na jakim utrzymywałaby się powierzchnia wody, gdyby ruch falowy nie występował. Ponieważ nasza fala jest symetryczna, $\text{+}A$ jest odległością grzbietu od położenia równowagi, a $\text{−}A$ – odległością doliny od położenia równowagi. Amplitudę można wyrażać w metrach, centymetrach lub innych jednostkach długości.

Ilustracja 16.3 Fale rozchodzące się na powierzchni wody wprawiają siedzącą na powierzchni wody mewę w ruch harmoniczny prosty w górę i w dół. Długość fali wynosi $\lambda$ i odpowiada odległości pomiędzy sąsiadującymi identycznymi punktami fali. Amplituda fali $A$ jest maksymalnym wychyleniem fali z położenia równowagi (położenie równowagi oznaczono linią przerywaną). W tym przykładzie cząsteczki ośrodka poruszają się w górę i w dół, podczas gdy zaburzenie rozchodzi się równolegle do powierzchni z prędkością $v$.

Na rysunku fala na wodzie rozchodzi się w ośrodku z prędkością $\overrightarrow{v}$. Prędkość fali (ang. wave velocity) to iloraz odległości, jaką fala pokonuje i czasu trwania ruchu. Z kolei szybkość fali (ang. wave speed) jest wartością prędkości rozchodzenia się fali, przy czym w polskiej literaturze zwykle prędkości i szybkości fali nie rozróżnia się. Można to zapisać w postaci równania:

Ta fundamentalna zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. Dla fal na wodzie $v$ jest prędkością rozchodzenia się fali powierzchniowej, dla dźwięku $v$ – jest prędkością dźwięku, a dla światła widzialnego – prędkością światła.

Fale poprzeczne i podłużne

Wiemy już, że prosta fala mechaniczna składa się z okresowych zaburzeń, które rozchodzą się od jednego punktu ośrodka do drugiego. Na Ilustracji 16.4 (a) fala rozchodzi się w płaszczyźnie poziomej, natomiast zaburzenie ośrodka zachodzi w płaszczyźnie pionowej. Taką falę nazywamy falą poprzeczną (ang. transverse wave). Fala poprzeczna może się rozchodzić w dowolnym kierunku, ale zaburzenie ośrodka zachodzi w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Z kolei dla fali podłużnej (ang. longitudinal wave) zaburzenie zachodzi w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Ilustracja 16.4 (b) pokazuje przykładową falę podłużną. Wielkość zaburzenia odpowiada amplitudzie fali $A$, która jest całkowicie niezależna od szybkości rozchodzenia się fali $v$.

Ilustracja 16.4 (a) W przypadku fal poprzecznych ośrodek drga w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. W pokazanym przykładzie sprężyna poruszana jest w płaszczyźnie pionowej, natomiast fala biegnie w prawo w płaszczyźnie poziomej.
(b) W przypadku fali podłużnej ośrodek drga w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Powoduje to drganie sprężyny tam i z powrotem, podczas gdy fala biegnie w prawo.

Prosta graficzna reprezentacja fal przedstawionych na Ilustracji 16.4 (b) jest pokazana na Ilustracji 16.5. Ilustracja 16.5 (a) przedstawia początkowy kształt sprężyny, zanim jeszcze wzdłuż niej powstała fala. Punkt, który będzie nas interesował, oznaczono granatową kropką Ilustracja 16.5 (b)-(g) przedstawia odwzorowanie ruchu sprężyny w odstępach czasu, co 1/4 okresu, w których sprężyna porusza się tam i z powrotem wzdłuż osi $x$ ze stałą częstotliwością. Zaburzenia ośrodka są widoczne jako naprzemienne wydłużenia i skrócenia odległości między zwojami sprężyny. Należy zauważyć, że punkt zaznaczony granatową kropką wykonuje drgania wokół położenia równowagi w zakresie odległości odpowiadających $A$, gdy fala podłużna przemieszcza się ze stałą prędkością wzdłuż osi $x$. Odległość $A$ jest amplitudą fali. Współrzędna $y$ położenia kropki nie zmienia się w trakcie rozchodzenia się fali wzdłuż sprężyny. Długość fali została zmierzona na Ilustracji 16.5 (d). Zależy ona od jej prędkości i częstotliwości siły wymuszającej.

Ilustracja 16.5 (a) Prosta graficzna prezentacja odcinka naprężonej sprężyny pokazanego na Ilustracji 16.4 (b) w chwili początkowej. Punkt, który będziemy śledzić, został oznaczony granatową kropką. (b)-(g). Fala podłużna generowana jest przez drgania końca sprężyny tam i z powrotem wzdłuż osi $x$. Fala podłużna o długości $\lambda$ przemieszcza się wzdłuż sprężyny w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ z prędkością $v$. W celach poglądowych sposób odmierzania długości fali przedstawiono na (d). Należy zauważyć, że interesujący nas punkt porusza się tam i z powrotem w zakresie odległości odpowiadających $A$.

Fale mogą być poprzeczne, podłużne lub stanowić kombinację obu tych typów. Przykładami fal poprzecznych są fale powstające na strunach instrumentów muzycznych lub na powierzchni wody. Fale dźwiękowe rozchodzące się w powietrzu lub wodzie są falami podłużnymi. W ich przypadku zaburzenia ośrodka to okresowe zmiany ciśnienia, które rozchodzą się w płynie. Płyny nie mają wytrzymałości na ścinanie, dlatego też rozchodzące się w nich fale dźwiękowe są falami podłużnymi. Dźwięki rozchodzące się w ciałach stałych mogą mieć zarówno składową podłużną, jak i poprzeczną. Trzęsienia Ziemi generują fale sejsmiczne, które również mają te dwie składowe. Są one nazywane odpowiednio falą typu P (lub składową dylatacyjną) oraz falą typu S (lub składową torsyjną). Składowe te posiadają ważne cechy indywidualne, np. rozchodzą się z różnymi prędkościami. Za trzęsienia Ziemi mogą również odpowiadać fale powierzchniowe, podobne do fal powstających na powierzchni wody. Również fale oceaniczne mają składowe podłużne i poprzeczne.

Przykład 16.2

Cechy charakterystyczne fal

Mechaniczna fala poprzeczna rozchodzi się ze stałą prędkością w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ (jak pokazano na Ilustracji 16.4) (a). Ośrodek wykonuje drgania w zakresie od $\text{+}A$ do $\text{−}A$ wokół położenia równowagi. Wykres na Ilustracji 16.6 (a) przedstawia zależność wychylenia sprężyny ($y$) w funkcji położenia ($x$), przy czym zwrot osi $x$ jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali. Linią przerywaną pokazano wychylenie sprężyny w funkcji położenia $x$ w chwili $t=\mathrm{0,00}\text{s}$. Linia ciągła pokazuje zależność $y$ od $x$ dla $t=\mathrm{3,00}\text{s}$. (a) Oblicz długość i amplitudę fali. (b) Znajdź prędkość rozchodzenia się fali. (c) Oblicz okres i częstotliwość fali.

Ilustracja 16.6 Fala poprzeczna w dwóch różnych chwilach $t$.

Strategia rozwiązania

1. Amplitudę i długość fali można odczytać z wykresu.
2. Ponieważ prędkość jest stała, prędkość fali można obliczyć dzieląc odległość jaką fala przebyła przez czas potrzebny na przebycie tej odległości.
3. Okres można obliczyć z $v=\frac{\lambda }{T}$, a częstotliwość z $f=\frac{1}{T}.$

Rozwiązanie

1. Długość fali (fioletowa strzałka) i amplitudę (zielona strzałka) odczytujemy z wykresu na Ilustracji 16.7 (b). Długość fali wynosi $\lambda =\mathrm{8,00}\text{cm}$, natomiast amplituda równa się $A=\mathrm{6,00}\text{cm}.$
   

   Ilustracja 16.7 Cechy charakterystyczne omawianych fal.
2. Odległość, jaką fala przebyła w czasie od chwili $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ do chwili $t=\mathrm{3,00}\text{s}$ można odczytać z wykresu. Zwróćmy uwagę na czerwoną strzałkę, która pokazuje odległość jaką przebył grzbiet w ciągu 3 s. Wynosi ona $\mathrm{8,00}\text{cm}-\mathrm{2,00}\text{cm}=\mathrm{6,00}\text{cm}.$ Prędkość wynosi:
   
   $$v=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{8,00}\mathrm{c}\mathrm{m}-\mathrm{2,00}\mathrm{c}\mathrm{m}}{\mathrm{3,00}\mathrm{c}\mathrm{m}-\mathrm{0,00}\mathrm{c}\mathrm{m}}=\mathrm{2,00}\frac{\mathrm{c}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$
3. Okres obliczamy z zależności $T=\frac{\lambda }{v}=\frac{\mathrm{8,00}\text{cm}}{\mathrm{2,00}\text{cm/s}}=\mathrm{4,00}\text{s}$, natomiast częstotliwość $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\mathrm{4,00}\text{s}}=\mathrm{0,25}\text{Hz}.$

Znaczenie

Zauważmy, że długość fali można obliczyć na podstawie położenia na wykresie dwóch kolejnych punktów o tym samym nachyleniu. Należy wybrać takie punkty, które są najwygodniejsze do dalszych obliczeń.