2.8 Mikroskopy i teleskopy

Mikroskopy

Mimo że oko ludzkie ma doskonałą zdolność widzenia przedmiotów zarówno wielkich, jak i małych, to nie radzi sobie z dostrzeganiem drobnych szczegółów. Pragnienie, by zobaczyć to, co nie jest widoczne gołym okiem, doprowadziło do wynalezienia powiększających przyrządów optycznych. Wiemy już, że pojedyncza soczewka wypukła może tworzyć powiększony obraz, ale przy pomocy takiej soczewki trudno jest uzyskać duże powiększenie. Powiększenie większe niż 5-krotne otrzymane przy pomocy pojedynczej soczewki wypukłej jest najczęściej związane ze zniekształceniem obrazu. Aby uzyskać jeszcze większe powiększenie, możemy dołożyć do zwykłej lupy jedną lub większą liczbę dodatkowych soczewek. W tym podrozdziale poznamy zasady działania mikroskopów – przyrządów, które pozwalają zobaczyć szczegóły niewidoczne gołym okiem.

Pierwsze mikroskopy skonstruowali na początku XVII wieku producenci okularów z Holandii i Danii. Najprostszy mikroskop optyczny (ang. compound microscope) składa się z dwóch soczewek wypukłych (Ilustracja 2.38). Obiektyw (ang. objective) to soczewka wypukła o krótkiej ogniskowej (duża zdolność skupiająca), o typowym powiększeniu od 5 do 100 razy. Okular (ang. eyepiece) jest soczewką wypukłą o dłuższej ogniskowej.

Zadaniem mikroskopu jest utworzenie powiększonego obrazu małych przedmiotów, w czym biorą udział obie soczewki. Dodatkowo, powiększony obraz jest tworzony daleko od oka obserwatora, co jest istotne, ponieważ oko obserwatora nie może zogniskować się na przedmiotach lub obrazach znajdujących się zbyt blisko (tj. bliżej niż punkt bliży oka).

Aby zrozumieć, jak mikroskop na Ilustracji 2.38 tworzy obraz, przeanalizujmy po kolei działanie dwóch soczewek. Przedmiot znajduje się za ogniskiem obiektywu $F_{\text{ob}}$, jednak na tyle blisko, że odległość przedmiotu można przybliżyć ogniskową $f^{\text{ob}}$ obiektywu, który tworzy odwrócony obraz rzeczywisty, powiększony względem przedmiotu. Ten pierwszy obraz jest przedmiotem dla drugiej soczewki, czyli okularu. Okular jest tak ustawiony, że pierwszy obraz jest w zasięgu jego ogniskowej $f^{\text{ok}}$, co sprawia, że okular może dalej powiększyć obraz. W pewnym sensie okular działa jak lupa, która powiększa pośredniej wielkości obraz utworzony przez obiektyw. Obraz utworzony przez okular jest powiększonym obrazem pozornym. Ostateczny obraz jest odwrócony, ale znajduje się dalej od oka obserwatora niż przedmiot, co ułatwia jego obserwację.

Oko obserwatora widzi utworzony przez okular obraz pozorny, który jest przedmiotem dla soczewki oka. Obraz pozorny utworzony przez okular znajduje się w odległości dużo większej niż ogniskowa soczewki oka, a więc oko tworzy obraz rzeczywisty na siatkówce.

Powiększenie mikroskopu jest iloczynem powiększenia liniowego obiektywu $p^{\text{ob}}$ i powiększenia kątowego okularu $p_{\text{k}}^{\text{ok}}$. Powiększenia te można obliczyć z zależności

gdzie $f^{\text{ob}}$ i $f^{\text{ok}}$ to odpowiednio ogniskowe obiektywu i okularu. Zakładamy, że ostateczny obraz powstaje w punkcie bliży oka zapewniającym maksymalne powiększenie. Zauważ, że powiększenie kątowe okularu jest takie samo, jak otrzymane wcześniej powiększenie dla zwykłego szkła powiększającego. Nie powinno to być zaskakujące, ponieważ okular właściwie jest szkłem powiększającym i mają tu zastosowanie te same prawa fizyki. Powiększenie całkowite (ang. net magnification) $p_{\text{cał}}$ mikroskopu optycznego jest iloczynem powiększenia liniowego obiektywu i kątowego okularu

Obliczmy teraz powiększenie mikroskopu dla przypadku, gdy obraz znajduje się w nieskończoności (Ilustracja 2.39), w której to sytuacji oko najmniej się męczy. Powiększenie mikroskopu jest iloczynem powiększenia liniowego $p^{\text{ob}}$ obiektywu i powiększenia kątowego $p_{\text{k}}^{\text{ok}}$ okularu. Wiemy, że $p^{\text{ob}}=-d_{\text{o}}^{\text{ob}}∕d_{\text{p}}^{\text{ob}}$, a z równania soczewki otrzymujemy

Jeżeli obraz końcowy położony jest w nieskończoności, to – jak już wiemy – obraz utworzony przez obiektyw musi być położony w ognisku okularu. Można do tego dojść, podstawiając $d_{\text{o}}=\infty$ do równania cienkiej soczewki lub przypominając sobie, że promienie wpadające do soczewki przez ognisko wychodzą z niej jako promienie równoległe, a zatem przecinające się w nieskończoności. Dla wielu mikroskopów odległość pomiędzy ogniskiem obiektywu po stronie obrazu a ogniskiem okularu po stronie przedmiotu ustala się standardowo na $L=16\mathrm{cm}$. Odległość ta nazywana jest długością tubusu (ang. tube length) mikroskopu. Z Ilustracji 2.39 wynika, że $L=f^{\text{ob}}-d_{\text{o}}^{\text{ob}}$. Podstawiając $L$ do Równania 2.35, otrzymujemy

Teraz musimy obliczyć powiększenie kątowe okularu z obrazem w nieskończoności. Żeby to zrobić, bierzemy stosunek wielkości kątowej obrazu ${\theta }_{\text{o}}$ do wielkości kątowej przedmiotu ${\theta }_{\text{p}}$ wyznaczony w punkcie bliży oka (to najmniejsza odległość, z jakiej nieuzbrojone oko może oglądać przedmiot, zatem jego obraz na siatkówce jest w tym położeniu największy). Jeśli skorzystamy z Ilustracji 2.39 i uwzględnimy przybliżenie małych kątów, otrzymujemy: ${\theta }_{\text{o}}\approx h_{\text{o}}^{\text{ob}}∕f^{\text{ok}}$ oraz ${\theta }_{\text{p}}\approx h_{\text{o}}^{\text{ob}}∕25\mathrm{cm}$, gdzie $h_{\text{o}}^{\text{ob}}$ jest wysokością obrazu utworzonego przez obiektyw, będącego przedmiotem dla okularu. Z tego wynika, że powiększenie kątowe okularu wynosi

Powiększenie mikroskopu optycznego z obrazem w nieskończoności wynosi zatem

Wartości ogniskowych muszą być podane w centymetrach. Znak minus oznacza, że obraz końcowy jest odwrócony. Zauważ, że jedynymi zmiennymi w równaniu są ogniskowe okularu i obiektywu, co sprawia, że równanie to jest szczególnie użyteczne.

Teleskopy

Teleskopy służą do obserwacji odległych przedmiotów i tworzą obraz, który jest większy niż obraz utworzony przez nieuzbrojone oko. Teleskopy zbierają dużo więcej światła niż oko, dzięki czemu umożliwiają obserwację ciemnych przedmiotów w większym powiększeniu i z lepszą rozdzielczością. Zostały one wynalezione około 1600 roku, a Galileusz (1564–1642) pierwszy zastosował je do badania nieba, co miało duże znaczenie dla rozwoju nauki. Za jego pomocą Galileusz obserwował księżyce Jowisza, kratery i góry na Księżycu czy szczegółową budowę plam słonecznych. Dzięki temu stwierdził, na przykład, że Droga Mleczna składa się z ogromnej liczby pojedynczych gwiazd.

Na Ilustracji 2.40 (a) widzimy schemat teleskopu refrakcyjnego (ang. refracting telescope), potocznie nazywanego refraktorem (ang. refractor), zbudowanego z dwóch soczewek. Pierwsza z nich (obiektyw) tworzy obraz rzeczywisty w zasięgu ogniskowej drugiej soczewki (okular). Obraz utworzony przez soczewkę obiektywu służy jako przedmiot dla okularu, który tworzy powiększony, pozorny obraz widziany przez oko obserwatora. Galileusz do obserwowania nieba używał właśnie takiego teleskopu.

Mimo że ustawienie soczewek w teleskopie refrakcyjnym wygląda podobnie jak w mikroskopie, występują pomiędzy nimi istotne różnice. W teleskopie przedmiot rzeczywisty znajduje się daleko i środkowy obraz jest mniejszy niż przedmiot. W mikroskopie rzeczywisty przedmiot znajduje się bardzo blisko i środkowy obraz jest większy niż przedmiot. Zarówno w teleskopie, jak i w mikroskopie okular powiększa środkowy obraz, jednakże w teleskopie jest to jedyne powiększenie.

Najbardziej rozpowszechniony rodzaj teleskopu dwusoczewkowego pokazano w części (b) Ilustracji 2.40. Przedmiot jest daleko od teleskopu, praktycznie w nieskończoności w porównaniu z ogniskowymi soczewek ($d_{\text{p}}^{\text{ob}}\approx \infty$). Sprawia to, że padające promienie są praktycznie równoległe i skupiają się w płaszczyźnie ogniskowej. Z tego wynika, że pierwszy obraz powstaje w położeniu $d_{\text{o}}^{\text{ob}}=f^{\text{ob}}$, jak pokazano na rysunku, i nie jest duży w porównaniu z tym, co widzimy, patrząc bezpośrednio na przedmiot. Jednakże okular teleskopu (podobnie jak okular mikroskopu) pozwala nam zbliżyć się bardziej niż punkt bliży do obrazu pierwszego i w ten sposób go powiększa. Podobnie jak dla zwykłej lupy, powiększenie kątowe teleskopu jest stosunkiem wielkości kątowej obrazu (${\theta }_{\text{o}}$ w części (b) rysunku) do wielkości kątowej przedmiotu (${\theta }_{\text{p}}$ w części (b) rysunku)

Aby otrzymać zależność na powiększenie zawierającą tylko parametry soczewek, musimy przyjąć, że płaszczyzna ogniskowa obiektywu leży bardzo blisko płaszczyzny ogniskowej okularu. Jeżeli założymy, że te płaszczyzny się na siebie nakładają, to mamy sytuację taką jak na Ilustracji 2.41.

W dalszym ciągu będziemy zakładać, że kąty ${\theta }_{\text{p}}$ i ${\theta }_{\text{o}}$ są małe, a więc możemy skorzystać z przybliżenia małych kątów ($tg\theta \approx \theta$). W takim razie, jeżeli obraz powstający na płaszczyźnie ogniskowej ma wysokość $h$, to

gdzie wprowadzono znak minus, ponieważ wysokość $h$ jest ujemna, jeżeli mierzymy obydwa kąty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Po podstawieniu tych zależności do Równania 2.39 otrzymujemy

Z tego wynika, że aby otrzymać największe powiększenie kątowe, najlepiej jest stosować obiektyw o długiej ogniskowej i okular o krótkiej ogniskowej. Im większe powiększenie kątowe $p_{\text{k}}$, tym większy jest przedmiot widzimy przez teleskop – i, co za tym idzie, widzimy więcej szczegółów. Ograniczenia w widzeniu szczegółów mogą wynikać z wielu przyczyn, między innymi z jakości wykonania soczewek czy też zakłóceń atmosferycznych. Typowy okular ma ogniskową o długości $\mathrm{2,5}\mathrm{cm}$ lub $\mathrm{1,25}\mathrm{cm}$. Jeżeli obiektyw teleskopu ma ogniskową równą $1\mathrm{m}$, to te okulary dają przybliżenie odpowiednio 40-krotne i 80-krotne. Innymi słowy, powiększenie kątowe sprawia, że obraz jest 40 lub 80 razy bliżej niż rzeczywisty przedmiot.

Ujemny znak powiększenia oznacza, że obraz jest odwrócony. Nie jest to istotne przy obserwacji gwiazd, ale stanowi istotny problem w innych zastosowaniach teleskopu, takich jak lunety na statkach czy celowniki optyczne. Jeżeli potrzebny jest obraz prosty, wtedy można zastosować konstrukcję Galileusza (ang. Galileo’s design) przedstawioną w części (a) Ilustracji 2.40. Częściej jednak dodaje się do układu trzecią soczewkę wypukłą jako okular, co wymaga zwiększenia odległości między dwiema poprzednimi soczewkami, ale odwraca ponownie obraz, jak pokazano na Ilustracji 2.42.

Teleskop Yerkesa widoczny na Ilustracji 2.43 to największy teleskop refrakcyjny na świecie. Ma średnicę 40 cali ($\mathrm{101,6}\mathrm{cm}$) i znajduje się nad jeziorem Geneva w stanie Wisconsin (USA).

Budowanie dużych teleskopów refrakcyjnych jest bardzo trudne i kosztowne. Potrzebne są do tego duże, bardzo wysokiej jakości soczewki, których wykonanie jest technicznie skomplikowanym zadaniem. Teleskop refrakcyjny wygląda jak wielka luneta umieszczona na podstawie umożliwiającej obracanie jej w różnych kierunkach. Teleskop refrakcyjny ma kilka wad. Aberracja soczewek sprawia, że powstający obraz jest rozmazany. Dodatkowo soczewki, ze względu na swoją dużą grubość, pochłaniają więcej światła, co często sprawia, że trudno obserwować gwiazdy wysyłające słabe światło. Ponadto duże soczewki są bardzo ciężkie i deformują się pod własnym ciężarem. Wiele z tych wad teleskopów refrakcyjnych udało się wyeliminować przez wykorzystanie do zbierania światła zakrzywionego zwierciadła zamiast soczewki. Po raz pierwszy takie rozwiązanie zaproponował Izaak Newton (1643–1727). Takie teleskopy nazywają się teleskopami odbijającymi (ang. reflecting telescopes), teleskopami zwierciadlanymi lub po prostu reflektorami.

Teleskopy zwierciadlane

Izaak Newton zaprojektował pierwszy teleskop zwierciadlany około 1670 roku, aby rozwiązać problem aberracji chromatycznej teleskopów refrakcyjnych. Aberracja chromatyczna powoduje, że światło o różnych barwach załamuje się w soczewce pod nieco różnymi kątami. W efekcie dookoła obrazu powstaje tęcza, a obraz jest rozmazany. W teleskopie zwierciadlanym promienie światła z odległego źródła padają na powierzchnię wklęsłego zwierciadła umieszczonego w dolnym końcu rury teleskopu. Zastosowanie zwierciadła zamiast soczewki eliminuje aberrację chromatyczną. Zwierciadło wklęsłe skupia promienie w swojej płaszczyźnie ogniskowej. Aby móc obserwować taki obraz, Newton zaproponował układ, w którym zogniskowane światło z wklęsłego zwierciadła zostaje odbite przez kolejne zwierciadło do okularu znajdującego się z boku rury teleskopu (część (a) Ilustracji 2.44). To rozwiązanie jest popularne w wielu amatorskich teleskopach i nazywa się konstrukcją Newtona (ang. Newtonian design).

Niektóre teleskopy zwierciadlane odbijają skupione światło z powrotem w stronę środka zwierciadła głównego przy zastosowaniu dodatkowego zwierciadła wypukłego. W tej konfiguracji zbierające światło zwierciadło główne ma w środku otwór (część (b) Ilustracji 2.44); światło następnie pada na okular. Ta konfiguracja obiektywu i okularu nazywa się konstrukcją Cassegraina (ang. Cassegrain design). Większość dużych teleskopów, w tym teleskop Hubble’a, jest zbudowana w ten właśnie sposób. Możliwe są również inne konfiguracje. W niektórych teleskopach detektor światła znajduje się dokładnie w punkcie, w którym promienie są skupiane przez zakrzywione zwierciadło główne.

Większość stosowanych obecnie teleskopów to teleskopy zwierciadlane. Jednym z najstarszych tego typu jest teleskop Hale’a zbudowany na górze Palomar w południowej Kalifornii. Ma on zwierciadło główne o średnicy 200 cali ($508\mathrm{cm}$). Jednym z największych teleskopów na świecie jest 10-metrowy teleskop Kecka w Obserwatorium Kecka na szczycie wygasłego wulkanu Mauna Kea na Hawajach. Właściwie pod tą nazwą kryją się dwa 10-metrowe teleskopy. Zwierciadło każdego z nich nie jest jednym wielkim elementem, lecz układem 36 sześciokątnych zwierciadeł. Co więcej, te dwa teleskopy mogą pracować razem, co w praktyce czyni z nich ekwiwalent 85-metrowego teleskopu. Teleskop Hubble’a (ang. Hubble telescope; Ilustracja 2.45) to kolejny duży teleskop zwierciadlany, o średnicy zwierciadła głównego wynoszącej $\mathrm{2,4}\mathrm{m}$. Został on umieszczony na orbicie Ziemi w 1990 roku.

Powiększenie kątowe $p_{\text{k}}$ teleskopu zwierciadlanego określa się przy użyciu Równania 2.36. Dla zwierciadła sferycznego ogniskowa jest połową promienia krzywizny, a więc wykonanie dużego lustrzanego obiektywu nie tylko pozwala zbierać więcej światła, ale także zwiększa powiększenie obrazu.