2.4 Cienkie soczewki

Konstrukcja biegu promieni dla cienkich soczewek

Konstrukcja biegu promieni jest techniką graficznego wyznaczania drogi promieni światła. Wyznaczanie drogi charakterystycznych promieni dla cienkich soczewek jest bardzo podobne do techniki, z której korzystaliśmy przy zwierciadłach sferycznych. Podobnie jak dla zwierciadeł, bieg charakterystycznych promieni może precyzyjnie opisać działanie soczewki. Zasady konstrukcji biegu promieni dla cienkich soczewek są podobne do zasad stosowanych przy zwierciadłach sferycznych:

1. Promień równoległy do osi optycznej soczewki skupiającej po załamaniu w soczewce przechodzi przez ognisko po drugiej stronie soczewki (promień 1 w części (a) Ilustracji 2.21). Promień równoległy do osi optycznej soczewki rozpraszającej po załamaniu w soczewce wychodzi wzdłuż linii przechodzącej przez ognisko po tej samej stronie soczewki (promień 1 w części (b) Ilustracji 2.21).
2. Promień przechodzący przez środek soczewki zarówno skupiającej, jak i rozpraszającej nie zmienia swojego początkowego kierunku (promień 2 w częściach (a) i (b) Ilustracji 2.21).
3. Promień przechodzący przez ognisko soczewki skupiającej po przejściu przez soczewkę rozchodzi się równolegle do osi optycznej (promień 3 w części (a) Ilustracji 2.21). Promień rozchodzący się wzdłuż linii przechodzącej przez ognisko soczewki rozpraszającej wychodzi z soczewki równolegle do osi optycznej (promień 3 w części (b) Ilustracji 2.21).

Ilustracja 2.21 Soczewki cienkie mają takie same ogniskowe po każdej stronie. (a) Równoległe promienie światła padające na soczewkę skupiającą od prawej strony przechodzą przez ognisko po lewej stronie soczewki. (b) Równoległe promienie światła padające na soczewkę rozpraszającą od prawej strony zdają się wychodzić z ogniska po prawej stronie soczewki.

Cienkie soczewki dobrze działają w przypadku światła monochromatycznego (światło o jednej długości fali). Dla światła zawierającego wiele długości fal (np. światła białego) soczewki nie działają już tak dobrze. Jak dowiedzieliśmy się w poprzednich rozdziałach, współczynnik załamania światła dla materiału zależy od długości fali tegoż światła. Właściwość ta jest odpowiedzialna za szereg wielobarwnych zjawisk, np. tęczę. Niestety prowadzi również do niepożądanych efektów, np. aberracji w obrazach tworzonych przez soczewki. Ponieważ ogniskowa soczewek zależy od współczynnika załamania dla materiału, z którego soczewki są wykonane, będzie ona zależeć również od długości fali padającego światła. To oznacza, że światło o różnych długościach fali będzie skupiane w różnych punktach, co powoduje efekt aberracji chromatycznej (ang. chromatic aberration). W praktyce objawia się to tym, że krawędzie obrazu białego przedmiotu stają się wielobarwne i rozmazane. Specjalne soczewki nazywane dubletami są w stanie skorygować aberrację chromatyczną. Dublet tworzy się poprzez sklejenie ze sobą soczewki skupiającej i rozpraszającej. Zastosowanie tych soczewek znacząco redukuje efekt aberracji chromatycznej.

Obrazy tworzone przez cienkie soczewki

Zastosujemy opisaną powyżej technikę konstrukcji biegu promieni do zbadania właściwości obrazów tworzonych przez soczewki. W pewnych warunkach soczewki tworzą obraz rzeczywisty, jak np. obraz z projektora filmowego, który może być wyświetlony na ekranie. Obraz pozorny natomiast nie może być wyświetlony na ekranie. Zastosujemy konstrukcję biegu promieni dla cienkich soczewek, aby zilustrować, jak tworzą one obrazy, a następnie wyprowadzimy równania ilościowo określające właściwości cienkich soczewek.

Rozważmy przedmiot znajdujący się w pewnej odległości od soczewki skupiającej (Ilustracja 2.22). Aby znaleźć położenie i rozmiar obrazu, śledzimy wybrane promienie światła wychodzące z jednego punktu przedmiotu, w tym przypadku wierzchołka strzałki. Rysunek pokazuje trzy wybrane promienie, które wychodzą z tego punktu. Bieg tych trzech promieni można narysować przy zastosowaniu opisanych powyżej zasad konstrukcji biegu promieni.

• Promień 1 przechodzi przez soczewkę równolegle do osi optycznej i przechodzi przez ognisko po drugiej stronie (zasada 1).
• Promień 2 przechodzi przez środek soczewki i nie ulega odchyleniu (zasada 2).
• Promień 3 przechodzi przez ognisko na drodze do soczewki i wychodzi równolegle do osi optycznej soczewki (zasada 3).

Trzy wybrane promienie przecinają się w jednym punkcie po drugiej stronie soczewki. Z tego wynika, że obraz wierzchołka strzałki znajduje się w tym punkcie. Wszystkie promienie, które wychodzą z wierzchołka strzałki i przechodzą przez soczewkę, ulegają załamaniu i przecinają się we wspomnianym punkcie.

Po znalezieniu obrazu wierzchołka strzałki niezbędny jest kolejny punkt obrazu, aby określić orientację jej obrazu. Wybieramy podstawę strzałki leżącą na osi optycznej. Jak wyjaśniliśmy w podrozdziale o zwierciadłach sferycznych, obraz podstawy przedmiotu znajduje się na osi optycznej nad obrazem wierzchołka strzałki (ze względu na pionową symetrię soczewki). Z tego wynika, że obraz rozciąga się w dół poniżej osi optycznej. Promienie z innego punktu strzałki, np. ze środka strzałki, po przejściu przez soczewkę przecinają się w innym wspólnym punkcie, dopełniając resztę obrazu.

Mimo że na rysunku pokazano konstrukcję dla trzech promieni, to aby znaleźć obraz, wystarczy wybrać dwa promienie, których zachowanie po przejściu przez soczewkę jest znane.

Ilustracja 2.22 Konstrukcja biegu promieni dla obrazu utworzonego przez soczewkę skupiającą. Trzy charakterystyczne promienie światła wychodzące z tego samego punktu przedmiotu po przejściu przez soczewkę przecinają się w miejscu, w którym powstaje obraz. W tym przypadku powstaje obraz rzeczywisty – czyli taki, który może być wyświetlony na ekranie.

Kilka ważnych danych pojawia się na tym rysunku. Podobnie jak dla zwierciadła, odległość przedmiotu $d_{\text{p}}$ definiujemy jako odległość przedmiotu od środka soczewki oraz odległość obrazu $d_{\text{o}}$ jako odległość obrazu od środka soczewki. Wysokość przedmiotu i wysokość obrazu są oznaczane jako $h_{\text{p}}$ i $h_{\text{o}}$. Wysokości obrazów, które są zorientowane tak samo jak przedmiot, mają znak dodatni, wysokości obrazów odwróconych względem przedmiotu mają znak ujemny. Używając zasad konstrukcji biegu promieni, możemy precyzyjnie opisać położenie i rozmiar obrazu, tak jak przedstawiono na Ilustracji 2.22. Prawdziwą zaletą tej metody jest jednak to, że pokazuje ona, jak tworzone są obrazy w różnych sytuacjach.

Ukośne równoległe promienie i płaszczyzna ogniskowa

Dowiedzieliśmy się, że promienie równoległe do osi optycznej soczewki skupiającej po przejściu przez nią skupiają się w jednym punkcie – ognisku soczewki. W przypadku soczewki rozpraszającej promienie równoległe do osi optycznej rozchodzą się w takim kierunku, jakby wychodziły z ogniska znajdującego się po tej samej stronie soczewki co źródło światła. Co jednak z promieniami równoległymi, które padają pod pewnym kątem do osi optycznej? W przypadku soczewek skupiających promienie takie po przejściu przez nią nie skupiają się w ognisku znajdującym się na osi optycznej, tylko na płaszczyźnie przechodzącej przez ognisko, tzw. płaszczyźnie ogniskowej (ang. focal plane). Płaszczyzna ogniskowa zawiera ognisko i jest prostopadła do osi optycznej. Jak pokazano na Ilustracji 2.23, równoległe promienie skupiają się w miejscu, w którym promień przechodzący przez środek soczewki przecina płaszczyznę ogniskową.

Ilustracja 2.23 Ukośne równoległe promienie padające na soczewkę skupiającą są skupiane w punkcie na płaszczyźnie ogniskowej.

Równanie cienkiej soczewki

Konstrukcja biegu promieni światła pozwala nam jakościowo opisać cechy obrazu przedmiotu. Aby otrzymać informacje ilościowe, wyprowadzimy teraz równania na podstawie analizy geometrycznej konstrukcji biegu promieni dla cienkich soczewek. Te równania, nazywane równaniem cienkiej soczewki oraz równaniem soczewki, pozwolą nam precyzyjnie analizować obrazy uzyskane dla cienkich soczewek.

Rozważmy grubą, dwuwypukłą soczewkę przedstawioną na Ilustracji 2.24. Współczynnik załamania otaczającego ją ośrodka oznaczamy jako $n_1$ (jeżeli soczewka jest w powietrzu, to $n_1=1$), natomiast współczynnik załamania soczewki oznaczamy jako $n_2$. $R_1$ i $R_2$ oznaczają promienie krzywizny obu powierzchni soczewki. Chcemy znaleźć zależność pomiędzy odległością przedmiotu $d_{\text{p}}$ i odległością obrazu $d_{\text{o}}$ a parametrami soczewki.

Ilustracja 2.24 Rysunek do wyprowadzenia równania soczewki. Przyjmujemy, że $t$ jest grubością soczewki, $n_1$ współczynnikiem załamania zewnętrznego ośrodka, a $n_2$ współczynnikiem załamania soczewki. W przybliżeniu stosowanym dla cienkiej soczewki przyjmujemy, że $t⟶0$.

Aby wyprowadzić równanie cienkiej soczewki, analizujemy obraz utworzony przez pierwszą powierzchnię załamującą (tj. lewą powierzchnię), a następnie traktujemy ten obraz jako przedmiot dla drugiej powierzchni załamującej. Na Ilustracji 2.24 obraz punktu $P$ tworzony przez pierwszą powierzchnię załamującą powstaje w punkcie $Q^{\prime }$ (punkt przecięcia znajduje się na przedłużeniu promieni biegnących wewnątrz soczewki; przedłużenia promieni zaznaczono przerywanymi liniami). Zauważ, że obraz $Q^{\prime }$ jest obrazem pozornym, ponieważ żadne rzeczywiste promienie nie przechodzą przez punkt $Q^{\prime }$. Aby obliczyć odległość obrazu $d_{\text{o}}^{\prime }$ dla $Q^{\prime }$, korzystamy z Równania 2.11. W tym przypadku $d_{\text{p}}$ jest odległością przedmiotu, a $R_1$ jest promieniem krzywizny pierwszej powierzchni załamującej. Podstawiwszy te zmienne do Równania 2.3, otrzymujemy

Obraz tworzony przez pierwszą powierzchnię załamującą jest pozorny i znajduje się po tej samej stronie co przedmiot, a więc $d_{\text{o}}^{\prime }<0$, a $d_{\text{p}}>0$. Ponadto powierzchnia ta jest wypukła w kierunku przedmiotu, a więc $R_1>0$.

Aby obliczyć odległość przedmiotu dla przedmiotu $Q$ tworzonego przez załamanie promieni na drugiej powierzchni, należy wziąć pod uwagę zamianę współczynników załamania $n_1$ i $n_2$ w Równaniu 2.11. Na Ilustracji 2.24 promienie wychodzą z ośrodka o współczynniku $n_2$, podczas gdy na Ilustracji 2.15 promienie wychodzą z ośrodka o współczynniku $n_1$. Wynika z tego, że musimy zamienić $n_1$ i $n_2$ w równaniu. Dodatkowo, jak wynika z Ilustracji 2.24, $d_{\text{p}}^{\prime }$ jest odległością przedmiotu, $d_{\text{o}}$ jest odległością obrazu, a $R_2$ jest promieniem krzywizny. Po podstawieniu tych wielkości do równania otrzymujemy

Otrzymany obraz jest rzeczywisty i znajduje się po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot, a więc $d_{\text{o}}>0$ i $d_{\text{p}}^{\prime }>0$. Druga powierzchnia jest wklęsła w kierunku przeciwnym względem przedmiotu, a więc $R_2<0$. Równanie 2.15 może być uproszczone, gdy uwzględnimy, że $d_{\text{p}}^{\prime }=\left|d_{\text{o}}^{\prime }\right|+t$, gdzie zastosowano wartość bezwzględną, ponieważ $d_{\text{o}}^{\prime }$ ma znak ujemny, a $d_{\text{p}}^{\prime }$ oraz $t$ są dodatnie. Możemy nie stosować wartości bezwzględnej, jeżeli przyjmiemy znak ujemny dla $d_{\text{o}}^{\prime }$, wówczas $d_{\text{p}}^{\prime }=-d_{\text{o}}^{\prime }+t$. Po podstawieniu tej zależności do Równania 2.15 otrzymujemy

Po połączeniu Równania 2.14 i Równania 2.16 otrzymujemy

W przybliżeniu cienkiej soczewki (ang. thin-lens approximation) przyjmujemy, że soczewka jest bardzo cienka w porównaniu z odległością pierwszego obrazu, czyli $t\ll d_{\text{o}}^{\prime }$ (lub równoważnie, że $t\ll R_1\text{, }{R}_2$). W tym przypadku wartości trzeciego i czwartego wyrażenia po lewej stronie Równania 2.17 eliminują się i otrzymujemy

Dzieląc przez $n_1$, otrzymujemy ostatecznie równanie

Podobnie jak dla zwierciadeł sferycznych, możemy zastosować zależność wynikającą z konstrukcji biegu promieni, aby pokazać, że dla cienkich soczewek spełnione jest równanie

gdzie $f$ jest ogniskową cienkiej soczewki (wyprowadzenie tego wzoru zostało pozostawione jako zadanie). Powyższe równanie jest równaniem cienkiej soczewki (ang. thin-lens equation). Ogniskowa cienkiej soczewki jest taka sama po lewej i po prawej stronie soczewki. Po połączeniu Równania 2.18 i Równania 2.19 otrzymujemy

Jest to postać równania cienkiej soczewki nazywana równaniem producentów soczewek (ang. lens maker’s equation) lub po prostu równaniem soczewki. Wynika z niego, że ogniskowa cienkiej soczewki zależy od promieni krzywizny soczewki oraz współczynnika załamania światła dla materiału soczewki i otaczającego ją ośrodka. Dla soczewki w powietrzu $n_1=1$, a $n_2\equiv n$, zatem równanie soczewki upraszcza się do postaci

Stosowanie równania cienkiej soczewki

Równanie cienkiej soczewki ma szerokie zastosowanie w zagadnieniach związanych z soczewkami. W kolejnych przykładach omówimy wiele aspektów tworzenia obrazu przez soczewki.

Rozważmy cienkie soczewki skupiające. Gdzie powstaje obraz i jakie ma cechy, gdy przedmiot zbliża się do soczewki z nieskończoności? To zagadnienie można zilustrować, stosując równanie cienkiej soczewki dla danej ogniskowej i rysując wykres położenia obrazu jako funkcję odległości przedmiotu od soczewki. Innymi słowy, chodzi o wykres zależności

dla danej wartości $f$. Wykres dla $f=1\mathrm{cm}$ jest pokazany w części (a) Ilustracji 2.25.

Ilustracja 2.25 (a) Odległość obrazu od cienkiej, skupiającej soczewki o ogniskowej $f=1\mathrm{cm}$ jako funkcja odległości obrazu. (b) Odległość obrazu od cienkiej, tym razem rozpraszającej, soczewki o ogniskowej $f=-1\mathrm{cm}$ jako funkcja odległości obrazu.

Dla przedmiotu znajdującego się w dużej odległości od soczewki w porównaniu z ogniskową $f$ obraz powstaje w pobliżu płaszczyzny ogniskowej. W tym przypadku drugie wyrażenie po prawej stronie powyższego równania jest pomijalne w porównaniu z pierwszym wyrażeniem, a więc $d_{\text{o}}\approx f$.

Powyższy opis przedstawiono na wykresie w części (a) Ilustracji 2.25. Jak widać na nim, odległość obrazu zbliża się asymptotycznie do ogniskowej $f$ równej $1\mathrm{cm}$ dla większych odległości przedmiotu. Gdy przedmiot zbliża się do płaszczyzny ogniskowej, odległość obrazu rośnie do nieskończoności. Jest tak, jak oczekiwaliśmy, ponieważ przedmiot na płaszczyźnie ogniskowej tworzy równoległe promienie, dla których powstaje obraz w nieskończoności (tj. bardzo daleko od soczewki). Kiedy przedmiot znajduje się w odległości większej niż ogniskowa, odległość obrazu jest dodatnia, a więc obraz jest rzeczywisty (znajduje się po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot) i jest odwrócony (ponieważ $p=-d_{\text{o}}∕d_{\text{p}}$). Gdy przedmiot znajduje się w odległości mniejszej niż ogniskowa, odległość obrazu jest ujemna, co oznacza, że obraz jest pozorny (znajduje się po tej samej stronie soczewki co przedmiot) i jest prosty.

Podobna zależność odległości obrazu od odległości przedmiotu dla cienkiej soczewki rozpraszającej o ogniskowej $f=-1\mathrm{cm}$ jest pokazana na wykresie w części (b) Ilustracji 2.25. W tym przypadku odległość jest ujemna dla wszystkich dodatnich wartości odległości przedmiotu, co znaczy, że obraz jest pozorny (znajduje się po tej samej stronie soczewki co przedmiot) i prosty. Te cechy można również analizować, stosując konstrukcję biegu promieni (Ilustracja 2.26).

Ilustracja 2.26 Schemat konstrukcji obrazu dla soczewki skupiającej (a), (b) oraz rozpraszającej (c). Czerwoną kropka oznaczono położenie ognisk soczewek. (a) Obraz rzeczywisty i odwrócony przedmiotu znajdującego się w odległości większej niż ogniskowa soczewki skupiającej. (b) Obraz pozorny i prosty przedmiotu znajdującego się w odległości mniejszej niż ogniskowa soczewki skupiającej. (c) Obraz pozorny i prosty przedmiotu znajdującego się w odległości większej niż ogniskowa soczewki rozpraszającej.

Aby zobaczyć konkretne przykłady prostych i odwróconych obrazów, spójrz na Ilustrację 2.27, który pokazuje obrazy utworzone przez soczewki skupiające, gdy przedmiot (w tym przypadku twarz człowieka) jest położony w różnych odległościach od soczewki. Na zdjęciu (a) twarz człowieka jest dalej niż ogniskowa soczewki, więc powstaje obraz odwrócony. Na zdjęciu (b) twarz człowieka jest bliżej niż ogniskowa soczewki, a więc obraz jest prosty.

Ilustracja 2.27 (a) Gdy soczewka skupiająca znajduje się w odległości większej od twarzy człowieka niż ogniskowa, powstaje obraz odwrócony. Zauważ, że obraz znajduje się w ognisku, a twarz nie, ponieważ obraz jest znacznie bliżej aparatu, za pomocą którego wykonano to zdjęcie, niż twarz. (b) Prosty obraz powstaje, gdy soczewka skupiająca znajduje się w odległości mniejszej niż ogniskowa od twarzy człowieka. Źródła: (a) modyfikacja pracy „DaMongMana”/Flickr; (b) modyfikacja pracy Caseya Flesera

Poniższe przykłady pozwolą ci lepiej zrozumieć, jak działają soczewki.

Podczas rozwiązywania zadań z optyki geometrycznej często trzeba połączyć konstrukcję biegu promieni z równaniami soczewek. Ilustruje to rozwiązanie kolejnego przykładu.

Przykład 2.5

Wybór ogniskowej i rodzaju soczewki

Masz za zadanie wyświetlić obraz żarówki na ekranie znajdującym się w odległości $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$. Musisz wybrać odpowiednią soczewkę – skupiającą lub rozpraszającą, o odpowiedniej ogniskowej (Ilustracja 2.28). Odległość pomiędzy soczewką a żarówką wynosi $\mathrm{0,75}\mathrm{m}$ i nie można jej zmienić. Dodatkowo należy określić powiększenie i orientację obrazu.

Strategia rozwiązania

Obraz jest rzeczywisty, zatem wybierz soczewkę skupiającą. Ogniskową soczewki można obliczyć, korzystając z równania cienkiej soczewki. Odległości przedmiotu i obrazu wynoszą odpowiednio $d_{\text{p}}=\mathrm{0,75}\mathrm{m}$ i $d_{\text{o}}=\mathrm{1,5}\mathrm{m}$.

Rozwiązanie

Wyprowadź ogniskową z równania cienkiej soczewki i podstaw podane wartości odległości obrazu i przedmiotu

$$\begin{array}{c}\frac{1}{d_{\text{p}}}+\frac{1}{d_{\text{o}}}=\frac{1}{f}\Rightarrow f={\left(\frac{1}{d_{\text{p}}}+\frac{1}{d_{\text{o}}}\right)}^{-1}\text{,}\\ f={\left(\frac{1}{\mathrm{0,75}\mathrm{m}}+\frac{1}{\mathrm{1,5}\mathrm{m}}\right)}^{-1}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}\text{.}\end{array}$$

Powiększenie wynosi

$$p=-\frac{d_{\text{o}}}{d_{\text{p}}}=-\frac{\mathrm{1,5}\mathrm{m}}{\mathrm{0,75}\mathrm{m}}=-2\text{.}$$

Znaczenie

Ujemny znak powiększenia oznacza, że obraz jest odwrócony. Jak należało się spodziewać dla soczewki skupiającej, ogniskowa jest dodatnia. Do sprawdzenia obliczeń warto wykorzystać konstrukcję biegu promieni (zob. Ilustracja 2.28). Zgodnie z oczekiwaniem obraz jest odwrócony, rzeczywisty i większy niż przedmiot.

Ilustracja 2.28 Żarówka znajduje się w odległości $\mathrm{0,75}\mathrm{m}$ od soczewki o ogniskowej równej $\mathrm{0,5}\mathrm{m}$ i tworzy obraz rzeczywisty na ekranie. Konstrukcja biegu promieni pozwala przewidzieć położenie i rozmiar obrazu.