William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

2.7 Proste przyrządy powiększające

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

rozumieć optykę prostych przyrządów powiększających;
charakteryzować obrazy tworzone przez proste przyrządy powiększające.

Wielkość przedmiotu oglądanego ludzkim okiem zależy od jego wielkości kątowej. Jak pokazano na Ilustracji 2.36, wielkość kątowa przedmiotu jest większa w położeniu $A$ niż w położeniu $B$ . Z tego wynika, że przedmiot znajdujący się w punkcie $A$ tworzy większy obraz na siatkówce oka ( $O A^{'}$ ), niż gdy jest w punkcie $B$ ( $O B^{'}$ ). Oznacza to, że przedmioty o większych rozmiarach kątowych widzimy jako większe, ponieważ tworzą one większe obrazy na siatkówce oka.

Dwa przedmioty o takich samych rozmiarach znajdują się przed okiem. Przedmiot A znajduje się bliżej oka i tworzy kąt teta 2 z osią optyczną. Przedmiot B znajduje się dalej i tworzy kąt teta 1 z osią optyczną. W oku, promienie padają na siatkówkę. Promień B prim biegnie bliżej osi optycznej niż promień A prim. — Ilustracja 2.36 Postrzegany rozmiar przedmiotu zależy od jego wielkości kątowej. Gdy przedmiot znajduje się w punkcie $A$ , na siatkówce oka powstaje większy obraz niż wówczas, gdy ten sam przedmiot znajduje się w punkcie $B$ (porównaj wysokości obrazów $O A^{'}$ i $O B^{'}$ ).

Wiemy, że gdy odległość przedmiotu od soczewki wypukłej jest mniejsza niż ogniskowa, jego obraz jest pozorny, prosty i powiększony (patrz część (b) Ilustracji 2.26). Z tego wynika, że gdy obraz utworzony przez soczewkę wypukłą służy jako przedmiot dla oka, jak pokazano na Ilustracji 2.37, to obraz powstający na siatkówce jest większy niż przedmiot wyjściowy. Soczewkę wypukłą używaną w takiej sytuacji nazywa się szkłem powiększającym (ang. magnifying glass) lub lupą (ang. simple magnifier).

Figura a przedstawia przedmiot o wysokości h 0 położony przed okiem, w punkcie bliży wzrokowej. Pomniejszony w stosunku do przedmiotu obraz powstaje na siatkówce oka. Figura b przedstawia soczewkę dwuwypukłą położoną między okiem a przedmiotem. Promienie wychodzące z przedmiotu przechodzą przez soczewkę i wchodzą do oka, tworząc powiększony obraz na siatkówce. Przedłużenia promieni zostają odchylone przez soczewkę i skupiają się za przedmiotem, tworząc obraz, który jest większy niż przedmiot. Odległość obrazu od soczewki wynosi d subscript i, a odległość przedmiotu od soczewki wynosi d subscript o. Odległość soczewki od oka wynosi l. Odległość obrazu od oka wynosi L. Wysokość obrazu wynosi h subscript i. — Ilustracja 2.37 Lupa jest soczewką wypukłą używaną do tworzenia powiększonego obrazu przedmiotu na siatkówce oka. (a) Wielkość kątowa przedmiotu wynosi $θ_{p}$ . (b) Przy zastosowaniu soczewki wypukłej obraz utworzony przez nią ma wielkość kątową $θ_{o}$ , przy czym $θ_{o} > θ_{p}$ . Oznacza to, że obraz powstający na siatkówce oka jest większy dzięki zastosowaniu soczewki wypukłej.

Aby obliczyć powiększenie lupy, porównamy wielkość kątową obrazu tworzonego przez soczewkę z wielkością kątową przedmiotu obserwowanego bez soczewki, jak pokazano na Ilustracji 2.37. Przyjmujemy, że przedmiot znajduje się w punkcie bliży oka, ponieważ jest to odległość przedmiotu, dla której nieuzbrojone oko może utworzyć największy obraz danego przedmiotu na siatkówce. Porównamy powiększony obraz utworzony przez soczewkę z maksymalnym rozmiarem obrazu dla nieuzbrojonego oka. Powiększenie obrazu obserwowanego przez oko nazywa się powiększeniem kątowym $p_{k}$ (ang. angular magnification), definiuje się je jako stosunek wielkości kątowej $θ_{o}$ obrazu utworzonego przez soczewkę do wielkości kątowej $θ_{p}$ przedmiotu widzianego przez nieuzbrojone oko

p_{k} = \frac{θ_{o}}{θ_{p}} .

2.26

Rozważmy sytuację pokazaną na Ilustracji 2.37. Szkło powiększające znajduje się w odległości $l$ od oka, a obraz utworzony przez szkło powiększające powstaje w odległości $L$ od oka. Chcemy obliczyć powiększenie kątowe dla każdego możliwego $l$ i $L$ . W przybliżeniu małych kątów możemy przyjąć, że $θ_{o} = h_{o} ∕ L$ . Z kolei w punkcie bliży $θ_{p} = h_{p} ∕ 25 cm$ . Powiększenie kątowe wynosi więc

p_{k} = \frac{θ_{o}}{θ_{p}} = \frac{h_{o} \cdot 25 cm}{L h_{p}} .

2.27

Korzystając z Równania 2.9 dla powiększenia liniowego

p = - \frac{d_{o}}{d_{p}} = \frac{h_{o}}{h_{p}}

oraz równania cienkiej soczewki

\frac{1}{d_{p}} + \frac{1}{d_{o}} = \frac{1}{f},

otrzymujemy następujące wyrażenie opisujące powiększenie kątowe soczewki powiększającej

p_{k} = - \frac{d_{o}}{d_{p}} \cdot \frac{25 cm}{L} = - d_{o} (\frac{1}{f} - \frac{1}{d_{o}}) \cdot \frac{25 cm}{L} = (1 - \frac{d_{o}}{f}) \cdot \frac{25 cm}{L} .

2.28

Na części (b) Ilustracji 2.37 widzimy, że wartość bezwzględna odległości obrazu wynosi $|d_{o}| = L - l$ . Zauważ, że $d_{o} < 0$ , ponieważ obraz jest pozorny, a więc, pominąwszy wartość bezwzględną, otrzymujemy: $- d_{o} = L - l$ . Podstawiwszy to wyrażenie do Równania 2.28, otrzymujemy ostateczną postać równania na powiększenie kątowe soczewki powiększającej

p_{k} = \frac{25 cm}{L} \cdot (1 + \frac{L - l}{f}) .

2.29

Zwróć uwagę, że wszystkie wartości liczbowe w tym równaniu muszą być podawane w centymetrach. Często chcemy, aby obraz znajdował się w punkcie bliży oka ( $L = 25 cm$ ) gwarantującym maksymalne powiększenie, i trzymamy soczewkę powiększającą blisko oka ( $l = 0 cm$ ). W takim przypadku powyższe równanie upraszcza się do postaci

p_{k} = 1 + \frac{25 cm}{f},

2.30

co oznacza, że największe powiększenie występuje dla soczewki z najkrótszą ogniskową. Dodatkowo, gdy obraz jest w punkcie bliży oka, a soczewka jest trzymana blisko oka ( $l = 0 cm$ ), to $L = d_{o} = 25 cm$ , to wtedy Równanie 2.27 przekształca się do postaci

p_{k} = \frac{h_{o}}{h_{p}} = p,

2.31

gdzie $p$ to powiększenie liniowe wyprowadzone dla zwierciadeł sferycznych i cienkich soczewek. Natomiast gdy obraz znajduje się w nieskończoności ( $L\to\infty$ ), Równanie 2.29 przyjmuje postać

p_{k_{L ⟶ \infty}} = \frac{25 cm}{f} .

2.32

Otrzymane powiększenie jest wyrażone przez stosunek odległości bliży oka do ogniskowej soczewki powiększającej. Z tego wynika, że soczewka o krótszej ogniskowej daje większe powiększenie. Mimo że to powiększenie jest mniejsze o 1 od powiększenia otrzymywanego przez obraz w punkcie bliży oka, to określa ono najbardziej komfortowe warunki widzenia, ponieważ mięśnie oka są rozluźnione, gdy patrzymy na odległe przedmioty.

Porównując ze sobą Równanie 2.29 oraz Równanie 2.32, widzimy, że zakres powiększenia kątowego danej soczewki skupiającej wynosi

\frac{25 cm}{f} \leq p_{k} \leq 1 + \frac{25 cm}{f} .

2.33

Przykład 2.10

Powiększanie diamentu

Jubiler chce obejrzeć diament o średnicy

3 mm

za pomocą szkła powiększającego. Trzyma go w punkcie bliży oka (

25 cm

), a soczewkę powiększającą blisko oka.

Jaka powinna być ogniskowa szkła powiększającego, aby jubiler mógł widzieć obraz diamentu o średnicy $15 mm$ ?
Jaka powinna być ogniskowa szkła powiększającego, aby otrzymać 10-krotne powiększenie?

Strategia rozwiązania

Musimy określić wymagane powiększenie szkła powiększającego. Ponieważ jubiler trzyma soczewkę powiększającą blisko oka, możemy użyć Równania 2.30, aby ustalić ogniskową.

Rozwiązanie

Wymagane powiększenie liniowe to stosunek oczekiwanej średnicy obrazu do prawdziwej średnicy diamentu (Równanie 2.32). Ponieważ jubiler trzyma szkło powiększające blisko oka, a obraz tworzy się w punkcie bliży oka, powiększenie liniowe jest takie samo jak kątowe, a więc
$p_{k} = p = \frac{h_{o}}{h_{p}} = \frac{15 mm}{3 mm} = 5 .$
Ogniskowa $f$ soczewki powiększającej może zostać obliczona przez rozwiązanie Równania 2.30 dla $f$
$\begin{aligned} p_{k} & = 1 + \frac{25 cm}{f}, \\ f & = \frac{25 cm}{p_{k} - 1} = \frac{25 cm}{5 - 1} = 6,3 cm . \end{aligned}$
Aby otrzymać obraz powiększony 10-krotnie, ponownie rozwiązujemy Równanie 2.30 dla $f$ , ale tym razem podstawiamy $p_{k} = 10$ . Otrzymujemy wówczas wynik
$f = \frac{25 cm}{p_{k} - 1} = \frac{25 cm}{10 - 1} = 2,8 cm .$

Znaczenie

Zwróć uwagę, że większe powiększenie daje soczewka o krótszej ogniskowej. Musimy więc używać soczewki o promieniu krzywizny mniejszym niż kilka centymetrów i trzymać ją bardzo blisko oka. Nie jest to zbyt wygodne. Mikroskopy optyczne, o których będzie mowa w następnym podrozdziale, okazały się dobrym rozwiązaniem w takich sytuacjach.