Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

10.3 Rozpad promieniotwórczy

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 310.3 Rozpad promieniotwórczy

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać rozpad pierwiastka promieniotwórczego z użyciem pojęć stałej rozpadu i okresu połowicznego rozpadu;
  • szacować wiek substancji za pomocą prawa rozpadu promieniotwórczego;
  • wyjaśniać naturalne procesy, które umożliwiają datowanie materii organicznej z wykorzystaniem izotopu 14C.

W roku 1896 Antoine Becquerel (1852–1908) odkrył, że bogata w uran skała emituje niewidzialne promienie, które powodują zaciemnienie kliszy fotograficznej w zamkniętym pojemniku. Obecnie naukowcy podają trzy argumenty przemawiające za jądrowym pochodzeniem tych promieni. Po pierwsze, własności promieniowania nie zależą od stanu chemicznego, tzn. od tego, czy emitujący materiał jest w postaci pierwiastkowej, czy też tworzy związek chemiczny. Po drugie, promieniowanie nie zależy od zmian temperatury lub ciśnienia – a więc czynników, które w znacznym stopniu mogą wpływać na elektrony w atomie. Po trzecie, bardzo duża wartość energii tego niewidocznego gołym okiem promieniowania (nawet miliony elektronowoltów) nie zgadza się z typowymi energiami przejść elektronowych w atomie (tylko kilka elektronowoltów). Współcześnie promieniowanie wyjaśnia się procesami zachodzącymi w jądrze atomu, w których masa zamieniana jest w energię. Spontaniczną emisję promieniowania z jądra nazywamy promieniotwórczością jądrową (lub radioaktywnością, ang. radioactivity) – Ilustracja 10.8. Procesy jądrowe prowadzące do emisji promieniowania nazywamy procesami rozpadu promieniotwórczego, a izotopy, które im podlegają, radioizotopami. O samych przemianach jądrowych i procesach rozpadu dowiesz się więcej z kolejnych rozdziałów. Tu zajmiemy się ogólnym opisem procesów rozpadu jądrowego.

Rysunek przedstawia żółty trójkąt z czarną obwódką, zawierający znak graficzny w kształcie wiatraka. “Wiatrak” jest czarny i ma trzy łopaty.
Ilustracja 10.8 Międzynarodowy symbol promieniowania jonizującego jest powszechnie używany jako ostrzeżenie przed szkodliwym dla zdrowia promieniowaniem jądrowym.

Prawo rozpadu promieniotwórczego

Gdy pojedyncze jądro przekształca się w inne, emitując promieniowanie, mówimy, że ulega ono rozpadowi promieniotwórczemu (ang. radioactive decay). Rozpadowi temu ulegają wszystkie jądra o Z>82Z>82 Z > 82, a także niektóre niestabilne izotopy o Z<83Z<83 Z < 83. Szybkość rozpadu jest proporcjonalna do liczby NN N początkowych jąder (które nie uległy jeszcze rozpadowi) w substancji. Liczba jąder dNdN - \d N, które ulegają rozpadowi w przedziale czasu dtdt \d t, jest równa

dNdt=λN,dNdt=λN, - \frac{\d N}{\d t} = \lambda N \text{,}
10.7

gdzie parametr λλ \lambda określa się stałą rozpadu (ang. decay constant). (Znak minus wskazuje, że liczba jąder radioizotopu maleje z upływem czasu, więc dNdN - \d N jest dodatnią liczbą). Innymi słowy, im więcej jest jąder, które mogą ulec rozpadowi, tym więcej się rozpadnie (w czasie dtdt \d t). To równanie można inaczej zapisać w postaci

dNN=λdt.dNN=λdt. \frac{\d N}{N} = - \lambda \d t \text{.}
10.8

Całkując obie strony równania i oznaczając przez N0N0 N_0 liczbę jąder w chwili t=0st=0s t = \SI{0}{\second} konieczną do obliczenia całki oznaczonej, otrzymujemy

N0NdNN=0tλdt.N0NdNN=0tλdt. \int_{N_0}^N \frac{\d N'}{N'} = - \int_0^t \lambda \d t' \text{.}
10.9

To z kolei prowadzi do

lnNN0=λt,lnNN0=λt, \ln \frac{N}{N_0} = - \lambda t \text{,}
10.10

Po podniesieniu podstawy logarytmu naturalnego (liczbę ee e) do potęgi równej lewej i prawej stronie równania, otrzymujemy prawo rozpadu promieniotwórczego (ang. radioactive decay law).

Prawo rozpadu promieniotwórczego

Całkowita liczba NN N jąder promieniotwórczych pozostałych po czasie tt t wynosi

N=N0eλt,N=N0eλt, N = N_0 e^{-\lambda t} \text{,}
10.11

gdzie parametr λλ \lambda jest stałą rozpadu danego jądra.

Całkowita liczba jąder początkowo maleje szybciej, a następnie wolniej (Ilustracja 10.9).

Wykres wykładniczej zależności N od t. Krzywa na wykresie opisana jest wzorem N równa się N z indeksem 0 razy exp(-lambda t). Wartość N jest największa, równa N z indeksem 0, dla t = 0, a następnie zmniejsza się, dążąc asymptotycznie do 0. W chwili t = T z indeksem 1/2 zachodzi N = N z indeksem 0 przez dwa, a w t = 2T indeks 1/2 N = N indeks 0 przez 4.
Ilustracja 10.9 Wykres prawa rozpadu promieniotwórczego pokazuje, że liczba pozostałych w próbce jąder maleje bardo szybko podczas pierwszych chwil rozpadu.

Okres połowicznego rozpadu (ang. half-life) T12T12 T_{1/2} substancji promieniotwórczej jest zdefiniowany jako czas, w którym połowa pierwotnej liczby jąder ulegnie rozpadowi. Okresy połowicznego rozpadu niestabilnych izotopów pokazane są w tabeli nuklidów na Ilustracji 10.4. Liczba jąder promieniotwórczych pozostałych po całkowitej (nn n) wielokrotności okresu połowicznego rozpadu wynosi zatem

N=N02n.N=N02n. N = \frac{N_0}{2^n} \text{.}
10.12

Jeśli stała rozpadu λλ \lambda jest duża, to okres połowicznego rozpadu jest krótki (i na odwrót). Aby ustalić związek między tymi wielkościami, należy zauważyć, że gdy t=T12t=T12 t = T_{1/2}, to N=N02N=N02 N = N_0/2. W związku z tym Równanie 10.10 można zapisać jako

N02=N0eλT12.N02=N0eλT12. \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \text{.}
10.13

Dzieląc obie strony przez N0N0 N_0 i stosując logarytm naturalny, otrzymujemy

ln12=lneλT12,ln12=lneλT12, \ln \frac{1}{2} = \ln e^{-\lambda T_{1/2}} \text{,}
10.14

co – po podstawieniu przybliżonej wartości ln20,693ln20,693 \ln 2 \approx \num{0,693} – sprowadza się do

λ=0,693T12.λ=0,693T12. \lambda = \frac{\num{0,693}}{T_{1/2}} \text{.}
10.15

W ten sposób, jeśli znamy okres połowicznego rozpadu T12T12 T_{1/2} substancji promieniotwórczej, możemy obliczyć jej stałą rozpadu. Średni czas życia (ang. lifetime) TT \overline{T} substancji promieniotwórczej jest definiowany jako średni czas istnienia jądra do chwili rozpadu. Czas życia nietrwałego jądra jest po prostu odwrotnością jego stałej rozpadu, co zapisujemy jako

T=1λ.T=1λ. \overline{T} = \frac{1}{\lambda} \text{.}
10.16

Aktywność (ang. activity) AA A jest zdefiniowana jako wartość bezwzględna szybkości rozpadu, a więc

A=dNdt=λN=λN0eλt.A=dNdt=λN=λN0eλt. A = -\frac{\d N}{\d t} = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t} \text{.}
10.17

Ponieważ liczba cząstek, które jeszcze nie uległy rozpadowi maleje, to zmiana dNdN \d N w przedziale czasu dtdt \d t jest ujemna, aktywność AA A jest więc dodatnia. Definując początkową aktywność jako A0=λN0A0=λN0 A_0 = \lambda N_0, uzyskamy

A=A0eλt.A=A0eλt. A = A_0 e^{-\lambda t} \text{.}
10.18

W związku z tym aktywność AA A substancji radioaktywnej zmniejsza się wykładniczo z czasem (Ilustracja 10.10).

Rysunek a pokazuje wykres wykładniczej zależności A od t. Rozpoczyna się w punkcie A z indeksem 0 i maleje z upływem czasu. Szybkość spadku stopniowo maleje, podczas gdy A staje się bardzo bliskie 0, tworząc zakrzywiony wykres. Wykres jest opisany jako A = A z indeksem 0 razy e do potęgi minus lambda t. Rysunek b przedstawia wykres ln A od t. Rozpoczyna się od wartości ln A z indeksem 0 i maleje liniowo, tzn. przyjmując postać linii prostej. Nachylenie linii oznaczono jako minus lambda t.
Ilustracja 10.10 (a) Wykres aktywności w zależności od czasu. (b) Jeżeli zmierzymy aktywność w różnych chwilach czasu, to możemy wykreślić ln A ln A \ln A w zależności od t t t i uzyskać linię prostą.

Przykład 10.4

Stała rozpadu i aktywność strontu-90

Okres połowicznego rozpadu strontu-90, Sr3890Sr3890 \tensor*[_38^90]{\mathrm{Sr}}{}, wynosi 28,8roku28,8roku \SI{28,8}{\roku}. Obliczmy
  1. stałą rozpadu tego nuklidu;
  2. początkową aktywność 1g1g \SI{1}{\gram} materiału.

Strategia rozwiązania

Możemy obliczyć stałą rozpadu bezpośrednio z Równania 10.15. Aby określić aktywność, musimy najpierw określić liczbę jąder.

Rozwiązanie

  1. Stała rozpadu wynosi
    λ=0,693T12=0,69328,8roku1rok3,16107s=7,6110-10s-1.λ=0,693T12=0,69328,8roku1rok3,16107s=7,6110-10s-1. \lambda = \frac{\num{0,693}}{T_{1/2}} = \frac{\num{0,693}}{\SI{28,8}{\roku}} \cdot \frac{\SI{1}{\rok}}{\SI{3,16e7}{\second}} = \SI[per-mode=reciprocal]{7,61e-10}{\per\second} \text{.}
  2. Masa molowa Sr3890Sr3890 \tensor*[_38^90]{\mathrm{Sr}}{} wynosi 89,91gmol89,91gmol \SI{89,91}{\gram\per\mole}. Używając liczby Avogadra NA=6,0221023mol-1NA=6,0221023mol-1 N_{\text{A}} = \SI[per-mode=reciprocal]{6,022e23}{\per\mole}, wyznaczamy początkową liczbę jąder w 1g1g \SI{1}{\gram} materiału
    N0=1g89,91gmol6,0221023mol-1=6,71021.N0=1g89,91gmol6,0221023mol-1=6,71021. N_0 = \frac{\SI{1}{\gram}}{\SI{89,91}{\gram\per\mole}} \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{6,022e23}{\per\mole} = \num{6,7e21} \text{.}
    Z tego wynika, że aktywność (czyli liczba rozpadów promieniotwórczych na sekundę) A0A0 A_0 w t=0st=0s t = \SI{0}{\second} dla 1g1g \SI{1}{\gram} strontu-90 jest równa
    A0=λN0=7,6110-10s-16,71021=5,11012s-1.A0=λN0=7,6110-10s-16,71021=5,11012s-1. A_0 = \lambda N_0 = \SI[per-mode=reciprocal]{7,61e-10}{\per\second} \cdot \num{6,7e21} = \SI[per-mode=reciprocal]{5,1e12}{\per\second} \text{.}

Podstawiwszy pod λλ \lambda okres połowicznego rozpadu nuklidu, otrzymujemy

A=A0e0,693T12T12=A0e0,693=A02.A=A0e0,693T12T12=A0e0,693=A02. A = A_0 e^{(-\num{0,693} / T_{1/2}) T_{1/2}} = A_0 e^{-\num{0,693}} = A_0 / 2 \text{.}
10.19

Stąd widzimy, że aktywność spada o połowę po czasie równym okresowi połowicznego rozpadu. Możemy określić stałą rozpadu λλ \lambda przez pomiar aktywności jako funkcji czasu. Jeśli zastosujemy logarytm naturalny dla lewej i prawej strony Równania 10.17, uzyskamy

lnA=λt+lnA0.lnA=λt+lnA0. \ln A = - \lambda t + \ln A_0 \text{.}
10.20

Powyższe równanie logarytmiczne ma postać liniową y=mx+by=mx+b y = mx + b. Jeśli wykreślimy lnAlnA \ln A w funkcji tt t, to możemy spodziewać się linii prostej o nachyleniu λλ -\lambda, przecinającej oś yy y w punkcie o współrzędnej lnA0lnA0 \ln A_0Ilustracja 10.10 (b). Aktywność AA A jest wyrażana w bekerelach (BqBq \si{\becquerel}), (ang. becquerel), przy czym 1Bq=1rozpad na sekundę1Bq=1rozpad na sekundę \SI{1}{\becquerel} = \SI{1}{\rns}. Wielkość ta może również być wyrażona w rozpadach na minutę lub rozpadach na rok. Choć bekerel jest jedyną legalną jednostką aktywności promieniotwórczej, to używa się też starej jednostki kiur (CiCi \si{\curie}), (ang. curie), zdefiniowanej pierwotnie jako aktywność 1g1g \SI{1}{\gram} 226Ra. Obecnie związek między BqBq \si{\becquerel} i CiCi \si{\curie} określa równanie

1Ci=3,71010Bq.1Ci=3,71010Bq. \SI{1}{\curie} = \SI{3,7e10}{\becquerel} \text{.}

Przykład 10.5

Jaka jest aktywność 14C w żywej tkance?

Około 20%20% \SI{20}{\percent} masy ciała ludzkiego stanowi węgiel. Obliczmy aktywność izotopu 14C w 1kg1kg \SI{1}{\kilo\gram} węgla w żywym organizmie. Wyraźmy aktywność w bekerelach i kiurach.

Strategia rozwiązania

Aktywność 14C można określić za pomocą równania A0=λN0A0=λN0 A_0 = \lambda N_0, gdzie λλ \lambda jest stałą rozpadu, a N0N0 N_0 to liczba jąder promieniotwórczych. Liczbę jąder 14C w 1kg1kg \SI{1}{\kilo\gram} próbki obliczamy w dwóch etapach. Po pierwsze, wyznaczamy liczbę jąder 12C, wykorzystując definicję mola. Po drugie, mnożymy tę wartość przez 1,310-121,310-12 \num{1,3e-12} (zawartość 14C w próbce węgla z żywego organizmu). Stałą rozpadu można określić na podstawie znanego okresu połowicznego rozpadu 14C (Ilustracja 10.4).

Rozwiązanie

Jeden mol węgla ma masę 12g12g \SI{12}{\gram}, ponieważ jest to prawie czysty izotop 12C. W związku z tym liczba jąder węgla w 1kg1kg \SI{1}{\kilo\gram} wynosi
NC12=6,021023mol-112gmol1000g=5,021025.NC12=6,021023mol-112gmol1000g=5,021025. N \apply (\tensor*[^12]{\mathrm{C}}{} ) = \frac{\SI[per-mode=reciprocal]{6,02e23}{\per\mole}}{\SI{12}{\gram\per\mole}} \cdot \SI{1000}{\gram} = \num{5,02e25} \text{.}

Liczba jąder 14C w 1kg1kg \SI{1}{\kilo\gram} węgla jest zatem równa

NC14=5,0210251,310-12=6,521013.NC14=5,0210251,310-12=6,521013. N \apply (\tensor*[^14]{\mathrm{C}}{} ) = \num{5,02e25} \cdot \num{1,3e-12} = \num{6,52e13} \text{.}

Teraz możemy wyznaczyć aktywność AA A za pomocą równania A=0,693NT12A=0,693NT12 A = \num{0,693}N / T_{1/2}. Podstawienie znanych wartości daje

A=0,6936,5210135730lat=7,89109lat-1,A=0,6936,5210135730lat=7,89109lat-1, A = \frac{\num{0,693} \cdot \num{6,52e13}}{\SI{5730}{\lat}} = \SI[per-mode=reciprocal]{7,89e9}{\per\lat} \text{,}

czyli 7,891097,89109 \num{7,89e9} rozpadów rocznie. Aby wyrazić ten wynik w bekerelach, wystarczy przeliczyć lata na sekundy. W związku z tym

A=7,89109lat-11lat3,16107s=250Bq,A=7,89109lat-11lat3,16107s=250Bq, A = \SI[per-mode=reciprocal]{7,89e9}{\per\lat} \cdot \frac{\SI{1}{\lat}}{\SI{3,16e7}{\second}} = \SI{250}{\becquerel} \text{,}

czyli 250 rozpadów na sekundę. Aby wyrazić AA A w kiurach, korzystamy z definicji tej jednostki

A=250Bq3,71010BqCi=6,7610-9Ci.A=250Bq3,71010BqCi=6,7610-9Ci. A = \frac{\SI{250}{\becquerel}}{\SI{3,7e10}{\becquerel\per\curie}} = \SI{6,76e-9}{\curie} \text{.}

Stąd

A=6,76nCi.A=6,76nCi. A = \SI{6,76}{\nano\curie} \text{.}

Znaczenie

Około 20%20% \SI{20}{\percent} masy ciała ludzkiego stanowi węgiel. Setki rozpadów 14C mają miejsce w organizmie człowieka co sekundę. Węgiel-14 i inne naturalnie występujące w organizmie substancje radioaktywne przyczyniają się do ekspozycji (narażenia) danej osoby na promieniowanie naturalne (ang. background radiation). Jak zobaczymy w dalszej części tego rozdziału, taka aktywność jest znacznie niższa od maksymalnych dozwolonych dawek.

Datowanie radiowęglowe

Datowanie izotopowe (ang. radioactive dating) jest techniką, która wykorzystuje naturalnie występującą promieniotwórczość do określania wieku materiałów, takich jak skały lub wykopaliska archeologiczne. Podstawowe podejście polega na szacowaniu aktualnej liczby jąder w materiale (po rozpadzie), a następnie użyciu znanej wartości stałej rozpadu λλ \lambda oraz Równania 10.10 do obliczenia całkowitego czasu rozpadu tt t.

Ważną metodą datowania izotopowego jest metoda datowania węglem-14 (ang. carbon-14 dating). Jądra węgla-14 powstają, gdy promieniowanie słoneczne o wysokiej energii uderza w jądro 14N w górnych warstwach atmosfery. Następnie jądra 14C ulegają rozpadowi z okresem połowicznego rozpadu wynoszącym 5730 lat. Radioaktywny węgiel ma te same własności chemiczne co stabilny izotop pierwiastka, więc włącza się w ekosferę i ostatecznie staje się częścią każdego żywego organizmu. Węgiel-14 ma zawartość 1,31,3 \num{1,3} części na bilion atomów węgla 12C. W związku z tym, jeśli znamy liczbę jąder węgla w obiekcie, musimy pomnożyć ją przez 1,310-121,310-12 \num{1,3e-12}, aby określić liczbę jąder 14C. Kiedy organizm umiera, wymiana dwutlenku węgla ze środowiskiem ustaje, a ubytek 14C związany z rozpadem nie jest uzupełniany.

Porównując zawartość 14C w obiektach takich jak mumia z normalną zawartością w żywych tkankach, można określić wiek tejże mumii (czyli czas, który upłynął od śmierci zmarłej osoby). Metody datowania radiowęglowego można używać do tkanek biologicznych mających nie więcej niż 50 000lat50 000lat \SI{50000}{\lat}, ale jest ona dokładniejsza dla młodszych próbek ze względu na większą zawartość izotopu 14C. Bardzo stare materiały biologiczne w ogóle nie zawierają 14C.

Poprawność datowania można sprawdzić za pomocą innych metod, takich jak porównanie z wiedzą historyczną lub zliczanie słojów drzew.

Przykład 10.6

Pradawna jaskinia grobowa

W pradawnej jaskini grobowej zespół archeologów odkrywa starożytne meble z drewna. W drewnie pozostało tylko 80%80% \SI{80}{\percent} pierwotnego 14C. Ile lat mają meble?

Strategia rozwiązania

Treść zadania wskazuje, że NN0=0,8NN0=0,8 N / N_0 = \num{0,8}. W związku z tym z równania N=N0eλtN=N0eλt N = N_0 e^{-\lambda t} można obliczyć iloczyn λtλt \lambda t. Znamy okres połowicznego rozpadu 14C wynoszący 5730lat5730lat \SI{5730}{\lat}, więc znamy również stałą rozpadu, a w związku z tym całkowity czas rozpadu tt t.

Rozwiązanie

Rozwiązując równanie N=N0eλtN=N0eλt N = N_0 e^{-\lambda t} względem NN0NN0 N/N_0, otrzymujemy
NN0=eλt.NN0=eλt. \frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} \text{.}

W związku z tym

0,8=eλt.0,8=eλt. \num{0,8} = e^{-\lambda t} \text{.}

Stosując logarytm naturalny do obu stron, otrzymujemy

ln0,8=λt,ln0,8=λt, \ln (\num{0,8}) = - \lambda t \text{,}

stąd

0,223=λt.0,223=λt. -\num{0,223} = -\lambda t \text{.}

Przekształcamy to równanie w celu wyznaczenia tt t i otrzymujemy

t=0,223λ,t=0,223λ, t = \frac{\num{0,223}}{\lambda} \text{,}

gdzie stała rozpadu ma wartość

λ=0,693T12=0,6935730lat.λ=0,693T12=0,6935730lat. \lambda = \frac{\num{0,693}}{T_{1/2}}} = \frac{\num{0,693}}{\SI{5730}{\lat}} \text{.}

Połączenie tych informacji daje

t=0,2230,6935730lat=1844lata.t=0,2230,6935730lat=1844lata. t = \frac{\num{0,223}}{\num{0,693} / \SI{5730}{\lat}} = \SI{1844}{\lata} \text{.}

Znaczenie

Meble mają prawie 2000 lat – imponujące znalezisko. Typowa niepewność datowania 14C wynosi około 5%5% \SI{5}{\percent}, więc wiek mebli mieści się w przedziale od 1750 lat do 1950 lat. Ten zakres dat, o ile to możliwe, musi zostać jeszcze potwierdzony, np. zapisami historycznymi.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.3

Nuklid promieniotwórczy ma dużą szybkość rozpadu. Co to oznacza dla jego okresu połowicznego rozpadu i aktywności?

Materiały pomocnicze

Odwiedź grę w datowanie izotopowe, aby poznać rodzaje datowania izotopowego i spróbować swoich sił w datowaniu starych przedmiotów.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.