William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

10.3 Rozpad promieniotwórczy

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać rozpad pierwiastka promieniotwórczego z użyciem pojęć stałej rozpadu i okresu połowicznego rozpadu;
szacować wiek substancji za pomocą prawa rozpadu promieniotwórczego;
wyjaśniać naturalne procesy, które umożliwiają datowanie materii organicznej z wykorzystaniem izotopu ¹⁴C.

W roku 1896 Antoine Becquerel (1852–1908) odkrył, że bogata w uran skała emituje niewidzialne promienie, które powodują zaciemnienie kliszy fotograficznej w zamkniętym pojemniku. Obecnie naukowcy podają trzy argumenty przemawiające za jądrowym pochodzeniem tych promieni. Po pierwsze, własności promieniowania nie zależą od stanu chemicznego, tzn. od tego, czy emitujący materiał jest w postaci pierwiastkowej, czy też tworzy związek chemiczny. Po drugie, promieniowanie nie zależy od zmian temperatury lub ciśnienia – a więc czynników, które w znacznym stopniu mogą wpływać na elektrony w atomie. Po trzecie, bardzo duża wartość energii tego niewidocznego gołym okiem promieniowania (nawet miliony elektronowoltów) nie zgadza się z typowymi energiami przejść elektronowych w atomie (tylko kilka elektronowoltów). Współcześnie promieniowanie wyjaśnia się procesami zachodzącymi w jądrze atomu, w których masa zamieniana jest w energię. Spontaniczną emisję promieniowania z jądra nazywamy promieniotwórczością jądrową (lub radioaktywnością, ang. radioactivity) – Ilustracja 10.8. Procesy jądrowe prowadzące do emisji promieniowania nazywamy procesami rozpadu promieniotwórczego, a izotopy, które im podlegają, radioizotopami. O samych przemianach jądrowych i procesach rozpadu dowiesz się więcej z kolejnych rozdziałów. Tu zajmiemy się ogólnym opisem procesów rozpadu jądrowego.

Rysunek przedstawia żółty trójkąt z czarną obwódką, zawierający znak graficzny w kształcie wiatraka. “Wiatrak” jest czarny i ma trzy łopaty. — Ilustracja 10.8 Międzynarodowy symbol promieniowania jonizującego jest powszechnie używany jako ostrzeżenie przed szkodliwym dla zdrowia promieniowaniem jądrowym.

Prawo rozpadu promieniotwórczego

Gdy pojedyncze jądro przekształca się w inne, emitując promieniowanie, mówimy, że ulega ono rozpadowi promieniotwórczemu (ang. radioactive decay). Rozpadowi temu ulegają wszystkie jądra o $Z > 82$ , a także niektóre niestabilne izotopy o $Z < 83$ . Szybkość rozpadu jest proporcjonalna do liczby $N$ początkowych jąder (które nie uległy jeszcze rozpadowi) w substancji. Liczba jąder $- \d N$ , które ulegają rozpadowi w przedziale czasu $\d t$ , jest równa

- \frac{\d N}{\d t} = \lambda N \text{,}

10.7

gdzie parametr $\lambda$ określa się stałą rozpadu (ang. decay constant). (Znak minus wskazuje, że liczba jąder radioizotopu maleje z upływem czasu, więc $- \d N$ jest dodatnią liczbą). Innymi słowy, im więcej jest jąder, które mogą ulec rozpadowi, tym więcej się rozpadnie (w czasie $\d t$ ). To równanie można inaczej zapisać w postaci

\frac{\d N}{N} = - \lambda \d t \text{.}

10.8

Całkując obie strony równania i oznaczając przez $N_0$ liczbę jąder w chwili $t = \SI{0}{\second}$ konieczną do obliczenia całki oznaczonej, otrzymujemy

\int_{N_0}^N \frac{\d N'}{N'} = - \int_0^t \lambda \d t' \text{.}

10.9

To z kolei prowadzi do

\ln \frac{N}{N_0} = - \lambda t \text{,}

10.10

Po podniesieniu podstawy logarytmu naturalnego (liczbę $e$ ) do potęgi równej lewej i prawej stronie równania, otrzymujemy prawo rozpadu promieniotwórczego (ang. radioactive decay law).

Prawo rozpadu promieniotwórczego

Całkowita liczba $N$ jąder promieniotwórczych pozostałych po czasie $t$ wynosi

N = N_0 e^{-\lambda t} \text{,}

10.11

gdzie parametr $\lambda$ jest stałą rozpadu danego jądra.

Całkowita liczba jąder początkowo maleje szybciej, a następnie wolniej (Ilustracja 10.9).

Wykres wykładniczej zależności N od t. Krzywa na wykresie opisana jest wzorem N równa się N z indeksem 0 razy exp(-lambda t). Wartość N jest największa, równa N z indeksem 0, dla t = 0, a następnie zmniejsza się, dążąc asymptotycznie do 0. W chwili t = T z indeksem 1/2 zachodzi N = N z indeksem 0 przez dwa, a w t = 2T indeks 1/2 N = N indeks 0 przez 4. — Ilustracja 10.9 Wykres prawa rozpadu promieniotwórczego pokazuje, że liczba pozostałych w próbce jąder maleje bardo szybko podczas pierwszych chwil rozpadu.

Okres połowicznego rozpadu (ang. half-life) $T_{1/2}$ substancji promieniotwórczej jest zdefiniowany jako czas, w którym połowa pierwotnej liczby jąder ulegnie rozpadowi. Okresy połowicznego rozpadu niestabilnych izotopów pokazane są w tabeli nuklidów na Ilustracji 10.4. Liczba jąder promieniotwórczych pozostałych po całkowitej ( $n$ ) wielokrotności okresu połowicznego rozpadu wynosi zatem

N = \frac{N_0}{2^n} \text{.}

10.12

Jeśli stała rozpadu $\lambda$ jest duża, to okres połowicznego rozpadu jest krótki (i na odwrót). Aby ustalić związek między tymi wielkościami, należy zauważyć, że gdy $t = T_{1/2}$ , to $N = N_0/2$ . W związku z tym Równanie 10.10 można zapisać jako

\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \text{.}

10.13

Dzieląc obie strony przez $N_0$ i stosując logarytm naturalny, otrzymujemy

\ln \frac{1}{2} = \ln e^{-\lambda T_{1/2}} \text{,}

10.14

co – po podstawieniu przybliżonej wartości $\ln 2 \approx \num{0,693}$ – sprowadza się do

\lambda = \frac{\num{0,693}}{T_{1/2}} \text{.}

10.15

W ten sposób, jeśli znamy okres połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ substancji promieniotwórczej, możemy obliczyć jej stałą rozpadu. Średni czas życia (ang. lifetime) $\overline{T}$ substancji promieniotwórczej jest definiowany jako średni czas istnienia jądra do chwili rozpadu. Czas życia nietrwałego jądra jest po prostu odwrotnością jego stałej rozpadu, co zapisujemy jako

\overline{T} = \frac{1}{\lambda} \text{.}

10.16

Aktywność (ang. activity) $A$ jest zdefiniowana jako wartość bezwzględna szybkości rozpadu, a więc

A = -\frac{\d N}{\d t} = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t} \text{.}

10.17

Ponieważ liczba cząstek, które jeszcze nie uległy rozpadowi maleje, to zmiana $\d N$ w przedziale czasu $\d t$ jest ujemna, aktywność $A$ jest więc dodatnia. Definując początkową aktywność jako $A_0 = \lambda N_0$ , uzyskamy

A = A_0 e^{-\lambda t} \text{.}

10.18

W związku z tym aktywność $A$ substancji radioaktywnej zmniejsza się wykładniczo z czasem (Ilustracja 10.10).

Rysunek a pokazuje wykres wykładniczej zależności A od t. Rozpoczyna się w punkcie A z indeksem 0 i maleje z upływem czasu. Szybkość spadku stopniowo maleje, podczas gdy A staje się bardzo bliskie 0, tworząc zakrzywiony wykres. Wykres jest opisany jako A = A z indeksem 0 razy e do potęgi minus lambda t. Rysunek b przedstawia wykres ln A od t. Rozpoczyna się od wartości ln A z indeksem 0 i maleje liniowo, tzn. przyjmując postać linii prostej. Nachylenie linii oznaczono jako minus lambda t. — Ilustracja 10.10 (a) Wykres aktywności w zależności od czasu. (b) Jeżeli zmierzymy aktywność w różnych chwilach czasu, to możemy wykreślić $\ln A$ w zależności od $t$ i uzyskać linię prostą.

Przykład 10.4

Stała rozpadu i aktywność strontu-90

Okres połowicznego rozpadu strontu-90,

\tensor*[_38^90]{\mathrm{Sr}}{}

, wynosi

\SI{28,8}{\roku}

. Obliczmy

stałą rozpadu tego nuklidu;
początkową aktywność $\SI{1}{\gram}$ materiału.

Strategia rozwiązania

Możemy obliczyć stałą rozpadu bezpośrednio z Równania 10.15. Aby określić aktywność, musimy najpierw określić liczbę jąder.

Rozwiązanie

Stała rozpadu wynosi
$\lambda = \frac{\num{0,693}}{T_{1/2}} = \frac{\num{0,693}}{\SI{28,8}{\roku}} \cdot \frac{\SI{1}{\rok}}{\SI{3,16e7}{\second}} = \SI[per-mode=reciprocal]{7,61e-10}{\per\second} \text{.}$
Masa molowa $\tensor*[_38^90]{\mathrm{Sr}}{}$ wynosi $\SI{89,91}{\gram\per\mole}$ . Używając liczby Avogadra $N_{\text{A}} = \SI[per-mode=reciprocal]{6,022e23}{\per\mole}$ , wyznaczamy początkową liczbę jąder w $\SI{1}{\gram}$ materiału
$N_0 = \frac{\SI{1}{\gram}}{\SI{89,91}{\gram\per\mole}} \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{6,022e23}{\per\mole} = \num{6,7e21} \text{.}$
Z tego wynika, że aktywność (czyli liczba rozpadów promieniotwórczych na sekundę) $A_0$ w $t = \SI{0}{\second}$ dla $\SI{1}{\gram}$ strontu-90 jest równa
$A_0 = \lambda N_0 = \SI[per-mode=reciprocal]{7,61e-10}{\per\second} \cdot \num{6,7e21} = \SI[per-mode=reciprocal]{5,1e12}{\per\second} \text{.}$

Podstawiwszy pod $\lambda$ okres połowicznego rozpadu nuklidu, otrzymujemy

A = A_0 e^{(-\num{0,693} / T_{1/2}) T_{1/2}} = A_0 e^{-\num{0,693}} = A_0 / 2 \text{.}

10.19

Stąd widzimy, że aktywność spada o połowę po czasie równym okresowi połowicznego rozpadu. Możemy określić stałą rozpadu $\lambda$ przez pomiar aktywności jako funkcji czasu. Jeśli zastosujemy logarytm naturalny dla lewej i prawej strony Równania 10.17, uzyskamy

\ln A = - \lambda t + \ln A_0 \text{.}

10.20

Powyższe równanie logarytmiczne ma postać liniową $y = mx + b$ . Jeśli wykreślimy $\ln A$ w funkcji $t$ , to możemy spodziewać się linii prostej o nachyleniu $-\lambda$ , przecinającej oś $y$ w punkcie o współrzędnej $\ln A_0$ – Ilustracja 10.10 (b). Aktywność $A$ jest wyrażana w bekerelach ( $\si{\becquerel}$ ), (ang. becquerel), przy czym $\SI{1}{\becquerel} = \SI{1}{\rns}$ . Wielkość ta może również być wyrażona w rozpadach na minutę lub rozpadach na rok. Choć bekerel jest jedyną legalną jednostką aktywności promieniotwórczej, to używa się też starej jednostki kiur ( $\si{\curie}$ ), (ang. curie), zdefiniowanej pierwotnie jako aktywność $\SI{1}{\gram}$ ²²⁶Ra. Obecnie związek między $\si{\becquerel}$ i $\si{\curie}$ określa równanie

\SI{1}{\curie} = \SI{3,7e10}{\becquerel} \text{.}

Przykład 10.5

Jaka jest aktywność ¹⁴C w żywej tkance?

Około

\SI{20}{\percent}

masy ciała ludzkiego stanowi węgiel. Obliczmy aktywność izotopu ¹⁴C w

\SI{1}{\kilo\gram}

węgla w żywym organizmie. Wyraźmy aktywność w bekerelach i kiurach.

Strategia rozwiązania

Aktywność ¹⁴C można określić za pomocą równania

A_0 = \lambda N_0

, gdzie

\lambda

jest stałą rozpadu, a

N_0

to liczba jąder promieniotwórczych. Liczbę jąder ¹⁴C w

\SI{1}{\kilo\gram}

próbki obliczamy w dwóch etapach. Po pierwsze, wyznaczamy liczbę jąder ¹²C, wykorzystując definicję mola. Po drugie, mnożymy tę wartość przez

\num{1,3e-12}

(zawartość ¹⁴C w próbce węgla z żywego organizmu). Stałą rozpadu można określić na podstawie znanego okresu połowicznego rozpadu ¹⁴C (Ilustracja 10.4).

Rozwiązanie

Jeden mol węgla ma masę

\SI{12}{\gram}

, ponieważ jest to prawie czysty izotop ¹²C. W związku z tym liczba jąder węgla w

\SI{1}{\kilo\gram}

wynosi

N \apply (\tensor*[^12]{\mathrm{C}}{} ) = \frac{\SI[per-mode=reciprocal]{6,02e23}{\per\mole}}{\SI{12}{\gram\per\mole}} \cdot \SI{1000}{\gram} = \num{5,02e25} \text{.}

Liczba jąder ¹⁴C w $\SI{1}{\kilo\gram}$ węgla jest zatem równa

N \apply (\tensor*[^14]{\mathrm{C}}{} ) = \num{5,02e25} \cdot \num{1,3e-12} = \num{6,52e13} \text{.}

Teraz możemy wyznaczyć aktywność $A$ za pomocą równania $A = \num{0,693}N / T_{1/2}$ . Podstawienie znanych wartości daje

A = \frac{\num{0,693} \cdot \num{6,52e13}}{\SI{5730}{\lat}} = \SI[per-mode=reciprocal]{7,89e9}{\per\lat} \text{,}

czyli $\num{7,89e9}$ rozpadów rocznie. Aby wyrazić ten wynik w bekerelach, wystarczy przeliczyć lata na sekundy. W związku z tym

A = \SI[per-mode=reciprocal]{7,89e9}{\per\lat} \cdot \frac{\SI{1}{\lat}}{\SI{3,16e7}{\second}} = \SI{250}{\becquerel} \text{,}

czyli 250 rozpadów na sekundę. Aby wyrazić $A$ w kiurach, korzystamy z definicji tej jednostki

A = \frac{\SI{250}{\becquerel}}{\SI{3,7e10}{\becquerel\per\curie}} = \SI{6,76e-9}{\curie} \text{.}

Stąd

A = \SI{6,76}{\nano\curie} \text{.}

Znaczenie

Około

\SI{20}{\percent}

masy ciała ludzkiego stanowi węgiel. Setki rozpadów ¹⁴C mają miejsce w organizmie człowieka co sekundę. Węgiel-14 i inne naturalnie występujące w organizmie substancje radioaktywne przyczyniają się do ekspozycji (narażenia) danej osoby na promieniowanie naturalne (ang. background radiation). Jak zobaczymy w dalszej części tego rozdziału, taka aktywność jest znacznie niższa od maksymalnych dozwolonych dawek.

Datowanie radiowęglowe

Datowanie izotopowe (ang. radioactive dating) jest techniką, która wykorzystuje naturalnie występującą promieniotwórczość do określania wieku materiałów, takich jak skały lub wykopaliska archeologiczne. Podstawowe podejście polega na szacowaniu aktualnej liczby jąder w materiale (po rozpadzie), a następnie użyciu znanej wartości stałej rozpadu $\lambda$ oraz Równania 10.10 do obliczenia całkowitego czasu rozpadu $t$ .

Ważną metodą datowania izotopowego jest metoda datowania węglem-14 (ang. carbon-14 dating). Jądra węgla-14 powstają, gdy promieniowanie słoneczne o wysokiej energii uderza w jądro ¹⁴N w górnych warstwach atmosfery. Następnie jądra ¹⁴C ulegają rozpadowi z okresem połowicznego rozpadu wynoszącym 5730 lat. Radioaktywny węgiel ma te same własności chemiczne co stabilny izotop pierwiastka, więc włącza się w ekosferę i ostatecznie staje się częścią każdego żywego organizmu. Węgiel-14 ma zawartość $\num{1,3}$ części na bilion atomów węgla ¹²C. W związku z tym, jeśli znamy liczbę jąder węgla w obiekcie, musimy pomnożyć ją przez $\num{1,3e-12}$ , aby określić liczbę jąder ¹⁴C. Kiedy organizm umiera, wymiana dwutlenku węgla ze środowiskiem ustaje, a ubytek ¹⁴C związany z rozpadem nie jest uzupełniany.

Porównując zawartość ¹⁴C w obiektach takich jak mumia z normalną zawartością w żywych tkankach, można określić wiek tejże mumii (czyli czas, który upłynął od śmierci zmarłej osoby). Metody datowania radiowęglowego można używać do tkanek biologicznych mających nie więcej niż $\SI{50000}{\lat}$ , ale jest ona dokładniejsza dla młodszych próbek ze względu na większą zawartość izotopu ¹⁴C. Bardzo stare materiały biologiczne w ogóle nie zawierają ¹⁴C.

Poprawność datowania można sprawdzić za pomocą innych metod, takich jak porównanie z wiedzą historyczną lub zliczanie słojów drzew.

Przykład 10.6

Pradawna jaskinia grobowa

W pradawnej jaskini grobowej zespół archeologów odkrywa starożytne meble z drewna. W drewnie pozostało tylko

\SI{80}{\percent}

pierwotnego ¹⁴C. Ile lat mają meble?

Strategia rozwiązania

Treść zadania wskazuje, że

N / N_0 = \num{0,8}

. W związku z tym z równania

N = N_0 e^{-\lambda t}

można obliczyć iloczyn

\lambda t

. Znamy okres połowicznego rozpadu ¹⁴C wynoszący

\SI{5730}{\lat}

, więc znamy również stałą rozpadu, a w związku z tym całkowity czas rozpadu

t

.

Rozwiązanie

Rozwiązując równanie

N = N_0 e^{-\lambda t}

względem

N/N_0

, otrzymujemy

\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} \text{.}

W związku z tym

\num{0,8} = e^{-\lambda t} \text{.}

Stosując logarytm naturalny do obu stron, otrzymujemy

\ln (\num{0,8}) = - \lambda t \text{,}

stąd

-\num{0,223} = -\lambda t \text{.}

Przekształcamy to równanie w celu wyznaczenia $t$ i otrzymujemy

t = \frac{\num{0,223}}{\lambda} \text{,}

gdzie stała rozpadu ma wartość

\lambda = \frac{\num{0,693}}{T_{1/2}}} = \frac{\num{0,693}}{\SI{5730}{\lat}} \text{.}

Połączenie tych informacji daje

t = \frac{\num{0,223}}{\num{0,693} / \SI{5730}{\lat}} = \SI{1844}{\lata} \text{.}

Znaczenie

Meble mają prawie 2000 lat – imponujące znalezisko. Typowa niepewność datowania ¹⁴C wynosi około

\SI{5}{\percent}

, więc wiek mebli mieści się w przedziale od 1750 lat do 1950 lat. Ten zakres dat, o ile to możliwe, musi zostać jeszcze potwierdzony, np. zapisami historycznymi.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.3

Nuklid promieniotwórczy ma dużą szybkość rozpadu. Co to oznacza dla jego okresu połowicznego rozpadu i aktywności?

Materiały pomocnicze

Odwiedź grę w datowanie izotopowe, aby poznać rodzaje datowania izotopowego i spróbować swoich sił w datowaniu starych przedmiotów.

10.3 Rozpad promieniotwórczy