William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

10.2 Energia wiązania jądra

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

obliczać defekt masy i energię wiązania dla różnych jąder;
używać wykresu zależności energii wiązania na nukleon (EWN) od liczby masowej ( $A$ ) w celu określenia względnej stabilności jądra;
porównywać energię wiązania nukleonu w jądrze z energią jonizacji atomu.

Siły wiążące nukleony w jądrze atomowym są znacznie większe niż te, które wiążą elektron w atomie przez przyciąganie elektrostatyczne. Jest to oczywiste, jeśli wziąć pod uwagę względne rozmiary jądra atomowego i całego atomu (odpowiednio $10^{-15}\si{\metre}$ i $10^{-10}\si{\metre}$ ). Energia konieczna do odłączenia nukleonu od jądra jest zatem znacznie większa niż energia wymagana do usunięcia elektronu z atomu (czyli do jonizacji). Ogólnie rzecz biorąc, każda zmiana stanu jądra wiąże się ze znaczną zmianą energii przypadającą na każdą cząstkę biorącą udział w procesie. Ma to wiele praktycznych konsekwencji.

Defekt masy

Wyniki eksperymentów dotyczących cząstek tworzących jądro wskazują, że całkowita masa jądra ( $m_{\text{j}}$ ) jest mniejsza niż suma mas składających się na nie nukleonów (protonów i neutronów), $m_{\text{j}} < Z m_{\text{p}} + (A-Z)m_{\text{n}}$ . Różnica mas, czyli defekt masy (ang. mass defect), jest dana przez

\prefop{\Delta} m = Zm_{\text{p}} + (A-Z)m_{\text{n}} - m_{\text{j}} \text{,}

10.4

gdzie $Zm_{\text{p}}$ jest całkowitą masą protonów, $(A-Z)m_{\text{n}}$ całkowitą masą neutronów, a $m_{\text{j}}$ to masa jądra. Według szczególnej teorii względności Einsteina masa jest miarą całkowitej energii układu ( $E=m_{\text{j}}c^2$ ). Oznacza to, że całkowita energia jądra jest mniejsza niż suma energii tworzących je nukleonów. Utworzenie jądra z pewnej liczby swobodnych protonów i neutronów jest wobec tego reakcją egzotermiczną, co oznacza, że uwalniana jest energia. Energia wyemitowana (wypromieniowana) w tym procesie wynosi $\prefop{\Delta} m c^2$ .

Teraz wyobraźmy sobie, że proces przebiega w odwrotnym kierunku. Zamiast tworzyć jądro, dostarczamy do układu energię, by je rozbić na poszczególne nukleony (Ilustracja 10.6). Ilość niezbędnej do tego energii nazywa się całkowitą energią wiązania (ang. binding energy), $E_{\text{w}}$ .

Energia wiązania

Energia wiązania jest równa ilości energii uwalnianej w procesie tworzenia jądra i wyraża się równaniem

E_{\text{w}} = \prefop{\Delta} m c^2 \text{.}

10.5

Wyniki doświadczalne wskazują, że energia wiązania dla jądra o liczbie masowej $A > 8$ jest w przybliżeniu proporcjonalna do całkowitej liczby nukleonów znajdujących się w jądrze ( $A$ ). Na przykład energia wiązania jądra magnezu (²⁴Mg) jest blisko dwa razy większa niż jądra węgla (¹²C).

Rysunek przedstawia reakcję. Lewa strona przedstawia jądro i energię wiązania. Jądro to ma postać ciasno upakowanych protonów i neutronów i jest opisane jako: mniejsza masa. Po prawej stronie przedstawiono jądro z luźno ułożonymi protonami i neutronami, opisane jako: rozdzielone nukleony, większa masa. — Ilustracja 10.6 Energia wiązania to energia niezbędna do rozłożenia jądra na tworzące je protony i neutrony. Układ odseparowanych nukleonów ma większą masę niż układ nukleonów związanych.

Przykład 10.2

Defekt masy i energia wiązania jądra deuteru (deuteronu)

Obliczmy defekt masy i energię wiązania deuteronu. Masa deuteronu wynosi

m_{\text{D}}=\SI{3,34358e-27}{\kilo\gram}

, czyli

\SI{1876,12}{\mega\electronvolt} / c^2

.

Rozwiązanie

Na mocy Równania 10.4 defekt masy deuteronu wynosi

\begin{multiline} \prefop{\Delta} m &= m_{\text{p}} + m_{\text{n}} - m_{\text{D}} = \SI{938,27}{\mega\electronvolt} / c^2 + \SI{938,57}{\mega\electronvolt} / c^2 - \SI{1875,6}{\mega\electronvolt} / c^2 \\ &= \SI{2,23}{\mega\electronvolt} / c^2 \text{.} \end{multiline}

Energia wiązania deuteronu wynosi więc

E_{\text{w}} = \prefop{\Delta} m c^2 = \SI{2,23}{\mega\electronvolt} / c^2 \cdot c^2 = \SI{2,23}{\mega\electronvolt} \text{.}

Aby rozbić deuteron na proton i neutron, potrzeba ponad $\SI{2}{\mega\electronvolt}$ (czyli $\SI{2}{\mln}$ elektronowoltów). Ta wartość daje pojęcie o tym, jak silne są oddziaływania jądrowe. Dla porównania największa ilość energii potrzebna do uwolnienia elektronu związanego z atomem wodoru oddziaływaniem Coulomba (siłą elektromagnetyczną) wynosi około $\SI{10}{\electronvolt}$ .

Wykres energii wiązania na nukleon

W fizyce jądrowej jedną z najważniejszych wielkości eksperymentalnych jest energia wiązania na nukleon (EWN) (ang. binding energy per nucleon), zdefiniowana jako

\text{EWN} = \frac{E_{\text{w}}}{A} \text{.}

10.6

Gdybyśmy odrywali nukleony po jednym, aż do całkowitego rozerwania jądra na protony i neutrony, byłaby to średnia energia zużyta na oderwanie nukleonu. Dla ciężkich jąder jest ona w przybliżeniu równa energii potrzebnej do usunięcia pojedynczego nukleonu z jądra – analogicznie do energii jonizacji elektronu w atomie. Jeśli $\text{EWN}$ jest stosunkowo duża, jądro jest względnie stabilne. Dla takich jąder wartości $\text{EWN}$ są określane na podstawie eksperymentów rozpraszania na jądrach.

Wykres energii wiązania na nukleon jako funkcji liczby masowej $A$ pokazano na Ilustracji 10.7. Wykres ten jest uważany przez wielu fizyków za jeden z najważniejszych w fizyce, ponieważ tłumaczy częstość występowania pierwiastków we Wszechświecie. Warto tu zauważyć dwie rzeczy. Po pierwsze, typowe wartości $\text{EWN}$ leżą w przedziale od $\SI{6}{\mega\electronvolt}$ do $\SI{10}{\mega\electronvolt}$ , ze średnią wartością około $\SI{8}{\mega\electronvolt}$ . Innymi słowy oderwanie nukleonu od typowego jądra wymaga kilku milionów elektronowoltów; dla porównania zaledwie $\SI{13,6}{\electronvolt}$ jest konieczne, aby zjonizować atom wodoru w stanie podstawowym (tj. oderwać od niego elektron). Dlatego siły utrzymujące jądro w całości określa się jako silne oddziaływania jądrowe.

Po drugie, wykres wznosi się w obszarze małych $A$ , osiąga maksimum w pobliżu żelaza (Fe, $A=56$ ), a następnie opada w obszarze dużych wartości $A$ . Położenie maksimum sugeruje, że jądro żelaza jest najbardziej stabilnym jądrem w przyrodzie (tłumaczy to również, dlaczego synteza jądrowa w rdzeniach gwiazd kończy się na żelazie). Wzrost i opadanie wykresu wiążą się z konkurencją sił występujących w jądrze. Dla małych wartości $A$ przyciągające siły jądrowe pomiędzy nukleonami dominują nad siłami elektrostatycznego odpychania między protonami. Natomiast dla dużych wartości $A$ siły odpychania elektrostatycznego pomiędzy nukleonami zaczynają dominować, dążąc do rozbicia jądra na części.

Wykres zależności energii wiązania na nukleon, w MeV, od liczby masowej. Wykres zaczyna się w pobliżu punktu (2,1) i wznosi się do maksimum w okolicy pierwiastka 56 - Fe, który ma wartość energii wiązania pomiędzy 8 a 9 MeV. Następnie wykres opada do wartości ok. 7 MeV. 56 Fe jest najbardziej stabilnym jądrem. Pionowy pas wokół wartości A = 60 jest opisany jako obszar bardzo stabilnych jąder. Po obu stronach tego pasa znajdują się skierowane w jego kierunku strzałki. Lewa podpisana jest: fuzja, a prawa: rozszczepienie. — Ilustracja 10.7 Na tym wykresie energii wiązania na nukleon dla stabilnych jąder $\text{EWM}$ jest największa dla jąder o masie zbliżonej do masy ⁵⁶Fe. W związku z tym dla jąder o masie mniejszej od masy jądra żelaza procesem egzotermicznym jest synteza (fuzja) jądrowa, czyli łączenie jąder, a dla jąder o masie od niego większej – rozszczepienie (podział) jądra.

Jak zobaczymy, z takiej zależności $\text{EWM}$ od $A$ wynika fakt, że przy podziale lub łączeniu jąder wyzwala się ogromna ilość energii. Skutkiem tego jest zarówno możliwość produkcji energii elektrycznej w elektrowni jądrowej, jak i trwająca nieprzerwanie od kilku miliardów lat emisja promieniowania elektromagnetycznego przez Słońce.

Przykład 10.3

Silnie związane nuklidy alfa

Obliczmy energię wiązania na nukleon dla jądra ⁴He (cząstki α).

Strategia rozwiązania

Ustalimy całkowitą energię wiązania (

E_{\text{w}}

) za pomocą równania

E_{\text{w}} = \prefop{\Delta} m c^2

, gdzie

\prefop{\Delta} m

jest defektem masy. Energia wiązania na nukleon (

\text{EWN}

) równa jest

E_{\text{w}}

podzielonej przez

A

.

Rozwiązanie

Dla ⁴He mamy

Z = N = 2

. Całkowita energia wiązania wynosi

E_{\text{w}} = (2m_{\text{p}} + 2m_{\text{n}} - m_{\text{He}}) c^2 \text{.}

Te masy wynoszą $m_{\text{He}} = \SI{4,002602}{\atomicmassunit}$ , $m_{\text{p}} = \SI{1,007825}{\atomicmassunit}$ i $m_{\text{n}} = \SI{1,008665}{\atomicmassunit}$ . Mamy więc

E_{\text{w}} = \SI{0,030378}{\atomicmassunit} \cdot c^2 \text{.}

Zauważywszy, że $\SI{1}{\atomicmassunit} = \SI{931,5}{\mega\electronvolt} / c^2$ , otrzymujemy

E_{\text{w}} = \SI{0,030378}{\atomicmassunit} \cdot c^2 \cdot \frac{\SI{931,5}{\mega\electronvolt}}{\SI{1}{\atomicmassunit} \cdot c^2} = \SI{28,3}{\mega\electronvolt} \text{.}

Ponieważ $A=4$ , to

\text{EWN} = \SI{7,07}{\mega\electronvolt\per\nukleon} \text{.}

Znaczenie

Zauważmy, że energia wiązania na nukleon dla jądra ⁴He jest znacznie większa niż dla izotopów wodoru (około

\SI{3}{\mega\electronvolt\per\nukleon}

). W związku z tym jądra helu nie da się rozbić na izotopy wodoru bez dostarczenia energii do układu.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.2

Jeśli energia wiązania na nukleon jest duża, to odłączenie nukleonu od jądra staje się łatwiejsze czy trudniejsze w sensie energetycznym?