3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyprowadzać równania ruchu na podstawie stałego przyspieszenia z użyciem rachunku całkowego;
używać całkowych równań ruchu w analizie ruchu ciał w jednym wymiarze;
obliczać zależność prędkości od czasu na podstawie funkcji przyspieszenia od czasu;
obliczać zależność położenia od czasu na podstawie funkcji prędkości od czasu.

Materiał zawarty w tej sekcji wymaga od ciebie znajomości podstaw rachunku całkowego. Przed przystąpieniem do lektury powinieneś nadrobić ewentualne braki. W rozdziałach Prędkość chwilowa i szybkość średnia oraz Przyspieszenie średnie i chwilowe wprowadziliśmy definicje prędkości i przyspieszenia, używając rachunku różniczkowego. Różniczkując funkcję położenia od czasu, otrzymaliśmy zależność prędkości od czasu. Podobnie, obliczając pochodną prędkości po czasie, dostaliśmy funkcję przyspieszenia od czasu. W tej sekcji, dzięki całkowaniu, przejdziemy drogę odwrotną. Znając przyspieszenie, obliczymy prędkość, a całkując po czasie jeszcze raz – położenie w funkcji czasu.

Obliczanie prędkości i położenia na podstawie przyspieszenia

Załóżmy, że znamy funkcję przyspieszenia od czasu $a (t)$ . Wiemy, że przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie

\frac{d}{d t} v (t) = a (t) .

Tę równość scałkujmy obustronnie po czasie. Otrzymujemy

\int \frac{d}{d t} v (t) d t = \int a (t) d t + C_{1},

gdzie $C_{1}$ jest stałą całkowania (obliczamy całkę nieoznaczoną!). Ponieważ $\int \frac{d}{d t} v (t) d t = v (t)$ , na podstawie definicji całki, to prędkość jako funkcja czasu może być zdefiniowana przez

v (t) = \int a (t) d t + C_{1} .

3.18

Podobnie prędkość jest pochodną położenia po czasie

\frac{d}{d t} x (t) = v (t) .

Zatem, całkując to równanie, znajdziemy położenie w funkcji czasu

x (t) = \int v (t) d t + C_{2},

3.19

gdzie $C_{2}$ jest kolejną stałą całkowania.

Wykorzystamy teraz dwie powyższe całki do otrzymania kinematycznych równań ruchu ze stałym przyspieszeniem, które poznaliśmy w poprzednich sekcjach. Przyjmując, że $a (t) = a$ ma stałą w czasie wartość i obliczając całkę z Równania 3.18, otrzymujemy

v (t) = \int a d t + C_{1} = a t + C_{1} .

Wartość stałej całkowania znajdziemy z tzw. warunków początkowych. Przyjmijmy, że prędkość początkowa $v (0) = v_{0}$ . Wówczas

v_{0} = 0 + C_{1} .

Zatem $C_{1} = v_{0}$ , a równanie prędkości jest następujące

v (t) = v_{0} + a t,

co odpowiada Równaniu 3.12. Podstawiając to wyrażenie do całki z Równania 3.19, otrzymujemy

x (t) = \int (v_{0} + a t) d t + C_{2} .

Całka ta jest łatwa do obliczenia. Po obliczeniu całki otrzymujemy:

x (t) = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} + C_{2} .

Stałą całkowania znów znajdziemy dzięki warunkowi początkowemu $x (0) = x_{0}$ :

x_{0} = 0 + 0 + C_{2},

a więc $C_{2} = x_{0}$ . Podsumowując, kinematyczne równanie położenia $x (t)$ ma następującą postać

x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2},

co jest z kolei zgodne z Równaniem 3.13.

Przykład 3.17

Ruch motorówki

Motorówka płynie ze stałą prędkością 5,0 m/s, kiedy zaczyna hamować, doznając przyspieszenia zależnego od czasu

a \apply (t) = - \frac14 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t

Jaką funkcją czasu jest prędkość motorówki?
W jakim momencie prędkość motorówki spada do zera?
Jaką funkcją czasu jest położenie motorówki?
O ile przemieszcza się motorówka od momentu rozpoczęcia hamowania (chwila początkowa równa 0) do chwili, w której prędkość motorówki spada do zera?
Narysuj zależności prędkości i położenia motorówki od czasu.

Strategia rozwiązania

Aby dostać funkcję prędkości, musimy scałkować przyspieszenie i wykorzystać warunki początkowe do znalezienia stałej.
Podstawimy prędkość końcową równą zero i obliczymy czas.
Podobnie do (a), scałkujemy prędkość po czasie i ustalimy stałą całkowania.
Ponieważ położenie początkowe przyjmujemy jako równe zero, wystarczy znaleźć położenie po czasie, po którym prędkość spada do zera.

Rozwiązanie

Przyjmujemy czas

t = 0

jako chwilę początkową, w której motorówka zaczyna hamować.

Znaną zależność przyspieszenia od czasu wstawiamy do całki w Równaniu 3.18 i otrzymujemy $v (t)$ :

$v \apply (t) = \int a \apply (t) \d t = \int -\frac14 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t \d t = -\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + C_1 \text{.}$

Dla $t = 0$ mamy $v (0) = 5 m / s = 0 + C_{1}$ , więc $C_{1} = 5 m / s$ oraz $v \apply (t) = -\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second}$ .
$v \apply (t) = - \frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second} = 0 \implies t= \SI{6,3}{\second}$ .
Rozwiązujemy Równanie 3.19:

$\begin{multiline} x \apply (t) &= \int v \apply (t) \d t \\ &= \int (-\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second}) \d t \\ &= -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot t + C_2 \text{.} \end{multiline}$

Dla $t = 0$ możemy przyjąć $x (0) = x_{0} = 0$ , bo interesuje nas tylko przemieszczenie od miejsca, gdzie łódka zaczyna zwalniać. Mamy

$x (0) = 0 = C_{2} .$

Dlatego równanie położenia jest następujące
$x \apply (t) = -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot t \text{.}$
Ponieważ położenie początkowe jest zero, musimy tylko obliczyć wartość $x (t)$ dla czasu, gdy prędkość motorówki spada do zera. Ten czas wynosi $t = 6,3 s$ . Zatem całkowite przemieszczenie motorówki do zatrzymania wynosi

$x \apply (\SI{6,3}{\second}) = -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot (\SI{6,3}{\second})^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot \SI{6,3}{\second} = \SI{21,1}{\metre} \text{.}$

Rysunek A pokazuje wykres prędkości w metrach na sekundę od czasu w sekundach. Prędkość maleje do zera od wartości 5 metrów na sekundę w czasie 0 sekund, zgodnie z równaniem podanym na wykresie. Rysunek B to wykres położenia w metrach od czasu w sekundach. Położenie jest zerowe w punkcie zero i rośnie do wartości maksymalnej między piątą a szóstą sekundą, po czym maleje.

Ilustracja 3.30 (a) Prędkość motorówki jako funkcja czasu. Motorówka traci prędkość aż do zera po upływie 6,3 s. Po tym czasie prędkość motorówki zaczęłaby być ujemna, co oznacza, że motorówka zmieniłaby kierunek ruchu. (b) Położenie motorówki jako funkcja czasu. W

t = 6,3 s

prędkość spada do zera i motorówka zatrzymuje się. Po tym czasie położenie zaczyna maleć w czasie, co oznacza, że motorówka cofałaby się w kierunku, z którego nadpłynęła.

Znaczenie

Przyspieszenie w tym przykładzie jest liniową funkcją czasu, dlatego całkowanie było proste. Na wykresach przedstawionych na Ilustracji 3.30 widzimy, że po czasie, w którym motorówka zatrzymuje się, jej prędkość stałaby się ujemna, a położenie zaczęłoby maleć. To rozwiązanie jest poza naszym zainteresowaniem, ale matematycznie jest poprawne. Pamiętaj, aby zwracać uwagę na poprawną interpretację fizyczną wyników.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.8

Cząstka rusza z miejsca z przyspieszeniem zależnym od czasu jak $(5 - 10 t) m / s^{2}$ .

Jaka jest funkcja prędkości cząstki?
Jaka jest jej funkcja położenia?
Kiedy prędkość cząstki jest równa zeru?