Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 13.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania

3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyprowadzać równania ruchu na podstawie stałego przyspieszenia z użyciem rachunku całkowego;
  • używać całkowych równań ruchu w analizie ruchu ciał w jednym wymiarze;
  • obliczać zależność prędkości od czasu na podstawie funkcji przyspieszenia od czasu;
  • obliczać zależność położenia od czasu na podstawie funkcji prędkości od czasu.

Materiał zawarty w tej sekcji wymaga od ciebie znajomości podstaw rachunku całkowego. Przed przystąpieniem do lektury powinieneś nadrobić ewentualne braki. W rozdziałach Prędkość chwilowa i szybkość średnia oraz Przyspieszenie średnie i chwilowe wprowadziliśmy definicje prędkości i przyspieszenia, używając rachunku różniczkowego. Różniczkując funkcję położenia od czasu, otrzymaliśmy zależność prędkości od czasu. Podobnie, obliczając pochodną prędkości po czasie, dostaliśmy funkcję przyspieszenia od czasu. W tej sekcji, dzięki całkowaniu, przejdziemy drogę odwrotną. Znając przyspieszenie, obliczymy prędkość, a całkując po czasie jeszcze raz – położenie w funkcji czasu.

Obliczanie prędkości i położenia na podstawie przyspieszenia

Załóżmy, że znamy funkcję przyspieszenia od czasu a ( t ) a(t). Wiemy, że przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie

d d t v t = a t . d d t v t =a t .

Tę równość scałkujmy obustronnie po czasie. Otrzymujemy

∫ d d t v t d t = ∫ a t d t + C 1 , ∫ d d t v t d t = ∫ a t d t + C 1 ,

gdzie C 1 C 1 jest stałą całkowania (obliczamy całkę nieoznaczoną!). Ponieważ ∫ d d t v t d t = v t ∫ d d t v t d t =v t , na podstawie definicji całki, to prędkość jako funkcja czasu może być zdefiniowana przez

v t = ∫ a t d t + C 1 . v t =∫ a t d t + C 1 .
3.18

Podobnie prędkość jest pochodną położenia po czasie

d d t x t = v t . d d t x t =v t .

Zatem, całkując to równanie, znajdziemy położenie w funkcji czasu

x t = ∫ v t d t + C 2 , x t =∫ v t d t + C 2 ,
3.19

gdzie C 2 C 2 jest kolejną stałą całkowania.

Wykorzystamy teraz dwie powyższe całki do otrzymania kinematycznych równań ruchu ze stałym przyspieszeniem, które poznaliśmy w poprzednich sekcjach. Przyjmując, że a ( t ) = a a(t)=a ma stałą w czasie wartość i obliczając całkę z Równania 3.18, otrzymujemy

v t = ∫ a d t + C 1 = a t + C 1 . v t =∫adt+ C 1 =at+ C 1 .

Wartość stałej całkowania znajdziemy z tzw. warunków początkowych. Przyjmijmy, że prędkość początkowa v ( 0 ) = v 0 v(0)= v 0 . Wówczas

v 0 = 0 + C 1 . v 0 = 0 + C 1 .

Zatem C 1 = v 0 C 1 = v 0 , a równanie prędkości jest następujące

v ( t ) = v 0 + a t , v ( t ) = v 0 + a t ,

co odpowiada Równaniu 3.12. Podstawiając to wyrażenie do całki z Równania 3.19, otrzymujemy

x t = ∫ v 0 + a t d t + C 2 . x t =∫ v 0 + a t d t + C 2 .

Całka ta jest łatwa do obliczenia. Po obliczeniu całki otrzymujemy:

x t = v 0 t + 1 2 a t 2 + C 2 . x t = v 0 t+ 1 2 a t 2 + C 2 .

Stałą całkowania znów znajdziemy dzięki warunkowi początkowemu x ( 0 ) = x 0 x(0)= x 0 :

x 0 = 0 + 0 + C 2 , x 0 =0+0+ C 2 ,

a więc C 2 = x 0 C 2 = x 0 . Podsumowując, kinematyczne równanie położenia x ( t ) x(t) ma następującą postać

x ( t ) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 , x ( t ) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ,

co jest z kolei zgodne z Równaniem 3.13.

Przykład 3.17

Ruch motorówki

Motorówka płynie ze stałą prędkością 5,0 m/s, kiedy zaczyna hamować, doznając przyspieszenia zależnego od czasu a⁡t=−14⁢m∕s3⋅ta⁡t=−14⁢m∕s3⋅t a \apply (t) = - \frac14 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t.
  1. Jaką funkcją czasu jest prędkość motorówki?
  2. W jakim momencie prędkość motorówki spada do zera?
  3. Jaką funkcją czasu jest położenie motorówki?
  4. O ile przemieszcza się motorówka od momentu rozpoczęcia hamowania (chwila początkowa równa 0) do chwili, w której prędkość motorówki spada do zera?
  5. Narysuj zależności prędkości i położenia motorówki od czasu.

Strategia rozwiązania

  1. Aby dostać funkcję prędkości, musimy scałkować przyspieszenie i wykorzystać warunki początkowe do znalezienia stałej.
  2. Podstawimy prędkość końcową równą zero i obliczymy czas.
  3. Podobnie do (a), scałkujemy prędkość po czasie i ustalimy stałą całkowania.
  4. Ponieważ położenie początkowe przyjmujemy jako równe zero, wystarczy znaleźć położenie po czasie, po którym prędkość spada do zera.

Rozwiązanie

Przyjmujemy czas t = 0 t=0 jako chwilę początkową, w której motorówka zaczyna hamować.
  1. Znaną zależność przyspieszenia od czasu wstawiamy do całki w Równaniu 3.18 i otrzymujemy v ( t ) v(t):
    v⁡t=∫a⁡t⁢dt=∫−14⁢m∕s3⋅t⁢dt=−18⁢m∕s3⋅t2+C1⁢.v⁡t=∫a⁡t⁢dt=∫−14⁢m∕s3⋅t⁢dt=−18⁢m∕s3⋅t2+C1⁢. v \apply (t) = \int a \apply (t) \d t = \int -\frac14 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t \d t = -\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + C_1 \text{.}

    Dla t = 0 t=0 mamy v ( 0 ) = 5 m / s = 0 + C 1 v(0)=5 m / s =0+ C 1 , więc C 1 = 5 m / s C 1 =5 m / s oraz v⁡t=−18⁢m∕s3⋅t2+5,0⁢m∕sv⁡t=−18⁢m∕s3⋅t2+5,0⁢m∕s v \apply (t) = -\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second}.
  2. v⁡t=−18⁢m∕s3⋅t2+5,0⁢m∕s=0⇒t=6,3⁢sv⁡t=−18⁢m∕s3⋅t2+5,0⁢m∕s=0⇒t=6,3⁢s v \apply (t) = - \frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second} = 0 \implies t= \SI{6,3}{\second}.
  3. Rozwiązujemy Równanie 3.19:
    x ⁡ t = ∫ v ⁡ t ⁢ d t x ⁡ t = ∫ − 1 8 ⁢ m ∕ s 3 ⋅ t 2 + 5,0 ⁢ m ∕ s ⁢ d t x ⁡ t = − 1 24 ⁢ m ∕ s 3 ⋅ t 3 + 5,0 ⁢ m ∕ s ⋅ t + C 2 . x ⁡ t = ∫ v ⁡ t ⁢ d t x ⁡ t = ∫ − 1 8 ⁢ m ∕ s 3 ⋅ t 2 + 5,0 ⁢ m ∕ s ⁢ d t x ⁡ t = − 1 24 ⁢ m ∕ s 3 ⋅ t 3 + 5,0 ⁢ m ∕ s ⋅ t + C 2 . \begin{multiline} x \apply (t) &= \int v \apply (t) \d t \\ &= \int (-\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second}) \d t \\ &= -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot t + C_2 \text{.} \end{multiline} x ⁡ t = ∫ v ⁡ t ⁢ d t = ∫ − 1 8 ⁢ m ∕ s 3 ⋅ t 2 + 5,0 ⁢ m ∕ s ⁢ d t = − 1 24 ⁢ m ∕ s 3 ⋅ t 3 + 5,0 ⁢ m ∕ s ⋅ t + C 2 .

    Dla t = 0 t=0 możemy przyjąć x ( 0 ) = x 0 = 0 x(0)= x 0 =0, bo interesuje nas tylko przemieszczenie od miejsca, gdzie łódka zaczyna zwalniać. Mamy
    x ( 0 ) = 0 = C 2 . x ( 0 ) = 0 = C 2 .

    Dlatego równanie położenia jest następujące
    x⁡t=−124⁢m∕s3⋅t3+5,0⁢m∕s⋅t⁢.x⁡t=−124⁢m∕s3⋅t3+5,0⁢m∕s⋅t⁢. x \apply (t) = -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot t \text{.}
  4. Ponieważ położenie początkowe jest zero, musimy tylko obliczyć wartość x ( t ) x(t) dla czasu, gdy prędkość motorówki spada do zera. Ten czas wynosi t = 6,3 s t=6,3 s . Zatem całkowite przemieszczenie motorówki do zatrzymania wynosi
    x⁡6,3⁢s=−124⁢m∕s3⋅6,3⁢s3+5,0⁢m∕s⋅6,3⁢s=21,1⁢m⁢.x⁡6,3⁢s=−124⁢m∕s3⋅6,3⁢s3+5,0⁢m∕s⋅6,3⁢s=21,1⁢m⁢. x \apply (\SI{6,3}{\second}) = -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot (\SI{6,3}{\second})^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot \SI{6,3}{\second} = \SI{21,1}{\metre} \text{.}
Ilustracja 3.30 (a) Prędkość motorówki jako funkcja czasu. Motorówka traci prędkość aż do zera po upływie 6,3 s. Po tym czasie prędkość motorówki zaczęłaby być ujemna, co oznacza, że motorówka zmieniłaby kierunek ruchu. (b) Położenie motorówki jako funkcja czasu. W t = 6,3 s t=6,3 s prędkość spada do zera i motorówka zatrzymuje się. Po tym czasie położenie zaczyna maleć w czasie, co oznacza, że motorówka cofałaby się w kierunku, z którego nadpłynęła.

Znaczenie

Przyspieszenie w tym przykładzie jest liniową funkcją czasu, dlatego całkowanie było proste. Na wykresach przedstawionych na Ilustracji 3.30 widzimy, że po czasie, w którym motorówka zatrzymuje się, jej prędkość stałaby się ujemna, a położenie zaczęłoby maleć. To rozwiązanie jest poza naszym zainteresowaniem, ale matematycznie jest poprawne. Pamiętaj, aby zwracać uwagę na poprawną interpretację fizyczną wyników.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.8

Cząstka rusza z miejsca z przyspieszeniem zależnym od czasu jak ( 5 − 10 t ) m / s 2 ( 5 − 10 t ) m / s 2 .

  1. Jaka jest funkcja prędkości cząstki?
  2. Jaka jest jej funkcja położenia?
  3. Kiedy prędkość cząstki jest równa zeru?
PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie
Ponowne wykorzystanie i redystrybucja tej treści w formacie cyfrowym lub drukowanym:
  • Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania dużych modeli językowych ani w żaden inny sposób przetwarzany przez duże modele językowe lub rozwiązania generatywnej sztucznej inteligencji bez uprzedniej pisemnej zgody OpenStax Poland.
  • Ten podręcznik jest wydany na licencji Uznanie autorstwa (CC BY), co oznacza, że możesz ponownie wykorzystywać i modyfikować materiał wyłącznie w celach niekomercyjnych, musisz uznać autorstwo OpenStax Poland oraz musisz rozpowszechniać wszelkie utwory zależne na tej samej licencji.
  • Jakikolwiek komercyjny druk tego podręcznika, w tym z wykorzystaniem lokalnej lub niestandardowej drukarni, wymaga zgody OpenStax Poland oraz podania odpowiedniego cytowania.
  • Obrazy, aktywności, testy i podobne elementy tego podręcznika objęte prawami autorskimi OpenStax Poland podlegają tej samej licencji – CC-BY-NC-SA. Mogą być wykorzystywane w celach niekomercyjnych z uznaniem autorstwa. Użycie komercyjne wymaga zgody.
  • Prośby o zgodę: Każdy, kto zamierza włączyć tę treść (w tym tekst, obrazy i inne elementy) do dużych modeli językowych, wykorzystać ją w rozwiązaniach opartych na sztucznej inteligencji, użyć jej komercyjnie (w tym w druku) i/lub ma pytania dotyczące innego przypadku użycia, może skorzystać z naszego formularza wniosku o ponowne wykorzystanie.
Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej w celach niekomercyjnych, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym w celach niekomercyjnych, dla każdej strony zawierającej treści OpenStax musisz udostępnić utwór zależny na tej samej licencji CC-BY-NC-SA co oryginał oraz na każdym widoku strony umieścić informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

Poniższe informacje zawierają dane potrzebne do utworzenia cytowania w większości głównych stylów (APA, MLA itp.); musisz przeformatować i zorganizować te informacje zgodnie z wymaganiami danego stylu. Jeśli chcesz zacytować tę książkę, skorzystaj z dostępnych narzędzi do tworzenia wpisów bibliograficznych, jak np.: ten.

© 21 wrz 2022 OpenStax Poland. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY). Nazwa OpenStax Poland i OpenStax, logo OpenStax Poland i OpenStax, okładki OpenStax Poland iOpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo, jak również nazwa i logo Rice University oraz powiązane znaki towarowe i słowne, nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.