Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 13.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyprowadzać równania ruchu na podstawie stałego przyspieszenia z użyciem rachunku całkowego;
  • używać całkowych równań ruchu w analizie ruchu ciał w jednym wymiarze;
  • obliczać zależność prędkości od czasu na podstawie funkcji przyspieszenia od czasu;
  • obliczać zależność położenia od czasu na podstawie funkcji prędkości od czasu.

Materiał zawarty w tej sekcji wymaga od ciebie znajomości podstaw rachunku całkowego. Przed przystąpieniem do lektury powinieneś nadrobić ewentualne braki. W rozdziałach Prędkość chwilowa i szybkość średnia oraz Przyspieszenie średnie i chwilowe wprowadziliśmy definicje prędkości i przyspieszenia, używając rachunku różniczkowego. Różniczkując funkcję położenia od czasu, otrzymaliśmy zależność prędkości od czasu. Podobnie, obliczając pochodną prędkości po czasie, dostaliśmy funkcję przyspieszenia od czasu. W tej sekcji, dzięki całkowaniu, przejdziemy drogę odwrotną. Znając przyspieszenie, obliczymy prędkość, a całkując po czasie jeszcze raz – położenie w funkcji czasu.

Obliczanie prędkości i położenia na podstawie przyspieszenia

Załóżmy, że znamy funkcję przyspieszenia od czasu a ( t ) a(t). Wiemy, że przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie

d d t v t = a t . d d t v t =a t .

Tę równość scałkujmy obustronnie po czasie. Otrzymujemy

d d t v t d t = a t d t + C 1 , d d t v t d t = a t d t + C 1 ,

gdzie C 1 C 1 jest stałą całkowania (obliczamy całkę nieoznaczoną!). Ponieważ d d t v t d t = v t d d t v t d t =v t , na podstawie definicji całki, to prędkość jako funkcja czasu może być zdefiniowana przez

v t = a t d t + C 1 . v t = a t d t + C 1 .
3.18

Podobnie prędkość jest pochodną położenia po czasie

d d t x t = v t . d d t x t =v t .

Zatem, całkując to równanie, znajdziemy położenie w funkcji czasu

x t = v t d t + C 2 , x t = v t d t + C 2 ,
3.19

gdzie C 2 C 2 jest kolejną stałą całkowania.

Wykorzystamy teraz dwie powyższe całki do otrzymania kinematycznych równań ruchu ze stałym przyspieszeniem, które poznaliśmy w poprzednich sekcjach. Przyjmując, że a ( t ) = a a(t)=a ma stałą w czasie wartość i obliczając całkę z Równania 3.18, otrzymujemy

v t = a d t + C 1 = a t + C 1 . v t =adt+ C 1 =at+ C 1 .

Wartość stałej całkowania znajdziemy z tzw. warunków początkowych. Przyjmijmy, że prędkość początkowa v ( 0 ) = v 0 v(0)= v 0 . Wówczas

v 0 = 0 + C 1 . v 0 = 0 + C 1 .

Zatem C 1 = v 0 C 1 = v 0 , a równanie prędkości jest następujące

v ( t ) = v 0 + a t , v ( t ) = v 0 + a t ,

co odpowiada Równaniu 3.12. Podstawiając to wyrażenie do całki z Równania 3.19, otrzymujemy

x t = v 0 + a t d t + C 2 . x t = v 0 + a t d t + C 2 .

Całka ta jest łatwa do obliczenia. Po obliczeniu całki otrzymujemy:

x t = v 0 t + 1 2 a t 2 + C 2 . x t = v 0 t+ 1 2 a t 2 + C 2 .

Stałą całkowania znów znajdziemy dzięki warunkowi początkowemu x ( 0 ) = x 0 x(0)= x 0 :

x 0 = 0 + 0 + C 2 , x 0 =0+0+ C 2 ,

a więc C 2 = x 0 C 2 = x 0 . Podsumowując, kinematyczne równanie położenia x ( t ) x(t) ma następującą postać

x ( t ) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 , x ( t ) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ,

co jest z kolei zgodne z Równaniem 3.13.

Przykład 3.17

Ruch motorówki

Motorówka płynie ze stałą prędkością 5,0 m/s, kiedy zaczyna hamować, doznając przyspieszenia zależnego od czasu at=14ms3tat=14ms3t a \apply (t) = - \frac14 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t.
  1. Jaką funkcją czasu jest prędkość motorówki?
  2. W jakim momencie prędkość motorówki spada do zera?
  3. Jaką funkcją czasu jest położenie motorówki?
  4. O ile przemieszcza się motorówka od momentu rozpoczęcia hamowania (chwila początkowa równa 0) do chwili, w której prędkość motorówki spada do zera?
  5. Narysuj zależności prędkości i położenia motorówki od czasu.

Strategia rozwiązania

  1. Aby dostać funkcję prędkości, musimy scałkować przyspieszenie i wykorzystać warunki początkowe do znalezienia stałej.
  2. Podstawimy prędkość końcową równą zero i obliczymy czas.
  3. Podobnie do (a), scałkujemy prędkość po czasie i ustalimy stałą całkowania.
  4. Ponieważ położenie początkowe przyjmujemy jako równe zero, wystarczy znaleźć położenie po czasie, po którym prędkość spada do zera.

Rozwiązanie

Przyjmujemy czas t = 0 t=0 jako chwilę początkową, w której motorówka zaczyna hamować.
  1. Znaną zależność przyspieszenia od czasu wstawiamy do całki w Równaniu 3.18 i otrzymujemy v ( t ) v(t):
    vt=atdt=14ms3tdt=18ms3t2+C1.vt=atdt=14ms3tdt=18ms3t2+C1. v \apply (t) = \int a \apply (t) \d t = \int -\frac14 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t \d t = -\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + C_1 \text{.}

    Dla t = 0 t=0 mamy v ( 0 ) = 5 m / s = 0 + C 1 v(0)=5 m / s =0+ C 1 , więc C 1 = 5 m / s C 1 =5 m / s oraz vt=18ms3t2+5,0msvt=18ms3t2+5,0ms v \apply (t) = -\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second}.
  2. vt=18ms3t2+5,0ms=0t=6,3svt=18ms3t2+5,0ms=0t=6,3s v \apply (t) = - \frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second} = 0 \implies t= \SI{6,3}{\second}.
  3. Rozwiązujemy Równanie 3.19:
    x t = v t d t x t = 1 8 m s 3 t 2 + 5,0 m s d t x t = 1 24 m s 3 t 3 + 5,0 m s t + C 2 . x t = v t d t x t = 1 8 m s 3 t 2 + 5,0 m s d t x t = 1 24 m s 3 t 3 + 5,0 m s t + C 2 . \begin{multiline} x \apply (t) &= \int v \apply (t) \d t \\ &= \int (-\frac18 \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + \SI{5,0}{\metre\per\second}) \d t \\ &= -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot t + C_2 \text{.} \end{multiline} x t = v t d t = 1 8 m s 3 t 2 + 5,0 m s d t = 1 24 m s 3 t 3 + 5,0 m s t + C 2 .

    Dla t = 0 t=0 możemy przyjąć x ( 0 ) = x 0 = 0 x(0)= x 0 =0, bo interesuje nas tylko przemieszczenie od miejsca, gdzie łódka zaczyna zwalniać. Mamy
    x ( 0 ) = 0 = C 2 . x ( 0 ) = 0 = C 2 .

    Dlatego równanie położenia jest następujące
    xt=124ms3t3+5,0mst.xt=124ms3t3+5,0mst. x \apply (t) = -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot t^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot t \text{.}
  4. Ponieważ położenie początkowe jest zero, musimy tylko obliczyć wartość x ( t ) x(t) dla czasu, gdy prędkość motorówki spada do zera. Ten czas wynosi t = 6,3 s t=6,3 s . Zatem całkowite przemieszczenie motorówki do zatrzymania wynosi
    x6,3s=124ms36,3s3+5,0ms6,3s=21,1m.x6,3s=124ms36,3s3+5,0ms6,3s=21,1m. x \apply (\SI{6,3}{\second}) = -\frac{1}{24} \si{\metre\per\second\cubed} \cdot (\SI{6,3}{\second})^3 + \SI{5,0}{\metre\per\second} \cdot \SI{6,3}{\second} = \SI{21,1}{\metre} \text{.}
Rysunek A pokazuje wykres prędkości w metrach na sekundę od czasu w sekundach. Prędkość maleje do zera od wartości 5 metrów na sekundę w czasie 0 sekund, zgodnie z równaniem podanym na wykresie. Rysunek B to wykres położenia w metrach od czasu w sekundach. Położenie jest zerowe w punkcie zero i rośnie do wartości maksymalnej między piątą a szóstą sekundą, po czym maleje.
Rysunek 3.30 (a) Prędkość motorówki jako funkcja czasu. Motorówka traci prędkość aż do zera po upływie 6,3 s. Po tym czasie prędkość motorówki zaczęłaby być ujemna, co oznacza, że motorówka zmieniłaby kierunek ruchu. (b) Położenie motorówki jako funkcja czasu. W t = 6,3 s t = 6,3 s prędkość spada do zera i motorówka zatrzymuje się. Po tym czasie położenie zaczyna maleć w czasie, co oznacza, że motorówka cofałaby się w kierunku, z którego nadpłynęła.

Znaczenie

Przyspieszenie w tym przykładzie jest liniową funkcją czasu, dlatego całkowanie było proste. Na wykresach przedstawionych na Rysunku 3.30 widzimy, że po czasie, w którym motorówka zatrzymuje się, jej prędkość stałaby się ujemna, a położenie zaczęłoby maleć. To rozwiązanie jest poza naszym zainteresowaniem, ale matematycznie jest poprawne. Pamiętaj, aby zwracać uwagę na poprawną interpretację fizyczną wyników.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.8

Cząstka rusza z miejsca z przyspieszeniem zależnym od czasu jak ( 5 10 t ) m / s 2 ( 5 10 t ) m / s 2 .

  1. Jaka jest funkcja prędkości cząstki?
  2. Jaka jest jej funkcja położenia?
  3. Kiedy prędkość cząstki jest równa zeru?
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.