Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 13.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać różnicę między prędkością średnią a prędkością chwilową;
  • opisywać różnice między szybkością a prędkością;
  • obliczać prędkość chwilową, znając zależność położenia od czasu;
  • obliczać szybkość, znając prędkość chwilową;
  • obliczać szybkość średnią.

Do tej pory nauczyliśmy się, jak obliczać prędkość średnią ciała w ruchu od punktu początkowego do punktu końcowego. W rzeczywistych przypadkach fizycznych ciała najczęściej poruszają się w sposób ciągły, dlatego bardziej interesująca byłaby informacja o aktualnej prędkości ciała w danej chwili czasu i w danym punkcie jego ruchu. Potrafimy znaleźć prędkość ciała w dowolnym punkcie jego toru ruchu, używając do tego podstaw rachunku różniczkowego. Wiedza zawarta w tej sekcji rozdziału 3 jest bardzo ważna do lepszego zrozumienia kinematyki ruchu i będzie bardzo przydatna w dalszych częściach podręcznika.

Prędkość chwilowa

Wielkość mówiąca o tym, jak szybko ciało porusza się wzdłuż swojego toru ruchu w danym momencie, nazywa się prędkością chwilową (często po prostu prędkością). Jest to średnia prędkość ciała między dwoma punktami jego toru, ale w granicy, gdy czas i – w konsekwencji – przemieszczenie ciała między tymi punktami zmierzają do zera. Mówimy, że są nieskończenie małe lub infinitezymalne. Aby wyrazić powyższe stwierdzenie w sposób bardziej zmatematyzowany, musimy znać zależność położenia x x od czasu t t, a więc ciągłą funkcję x ( t ) x(t). Przypomnijmy sobie wyrażenie na prędkość średnią między dwoma punktami: v ¯ = x ( t 2 ) x ( t 1 ) / t 2 t 1 v ¯ = x ( t 2 ) x ( t 1 ) / t 2 t 1 . Żeby znaleźć wzór na prędkość chwilową, podstawimy t 1 = t t 1 = t oraz t 2 = t + Δ t t 2 = t + Δ t i zażądamy, aby Δ t 0 Δ t 0 . Oznacza to, że przyrost czasu i zmiana położenia mają w granicy (łac. limes) zdążać do zera. W takim razie definicja prędkości chwilowej, ujęta w postaci wzoru matematycznego, jest następująca:

v t = lim Δ t 0 x ( t + Δ t ) x ( t ) Δ t = d x ( t ) d t . v t = lim Δ t 0 x ( t + Δ t ) x ( t ) Δ t = d x ( t ) d t .

Prędkość chwilowa

Prędkość chwilowa jest równa prędkości średniej w granicy czasu zdążającego do zera lub, równoważnie, jest to pochodna położenia x x po czasie t t. Czasem mówimy także, że prędkość (chwilowa) jest zmianą położenia w czasie.

v t = d d t x t . v t = d d t x t .
3.4

Podobnie jak prędkość średnia, także i prędkość chwilowa jest wektorem o wymiarze metr na sekundę (m/s). Prędkość w pewnej chwili czasu t 0 t 0 jest tempem (szybkością) zmian funkcji położenia od czasu. Interpretacja geometryczna pochodnej pomaga nam dodatkowo zauważyć, że prędkość jest miarą nachylenia funkcji położenia od czasu x ( t ) x ( t ) w punkcie t 0 t 0 . Wykres przedstawiony na Rysunku 3.6 pokazuje, jak prędkość średnia v ¯ = Δ x / Δ t v ¯ =Δx/Δt między dwiema chwilami zmierza do prędkości chwilowej w momencie t 0 t 0 , gdy Δ t Δt dąży do zera. Prędkość chwilowa jest zaznaczona prostą przechodzącą przez punkt t 0 t 0 , która jest styczną do krzywej x ( t ) x ( t ) w punkcie t 0 t 0 . W tym konkretnym przypadku ta styczna ma zerowe nachylenie do osi poziomej, a więc wyznacza maksimum krzywej x ( t ) x ( t ) . Prędkość chwilowa w tym momencie jest więc zero. W innych punktach, np. t 1 , t 2 t 1 , t 2 lub kolejnych, prędkość chwilowa jest różna od zera, bo nachylenia stycznych są niezerowe. Prędkości w tych punktach są dodatnie lub ujemne. Gdyby w punkcie t 0 t 0 krzywa miała minimum, to prędkość chwilowa także byłaby zero. Z tego wynika ciekawy wniosek, że prędkość chwilowa jest zero w punktach, gdzie funkcja położenia ma ekstremum (minimum lub maksimum).

Wykres zależności położenia od czasu. Położenie rośnie od t1 do t2 i do t3, osiąga wartość największą w t0, a potem maleje przez t4 i t5 aż do t6. Zaznaczono nachylenie prostej stycznej do t0 jako prędkość chwilową. Zaznaczono też sieczne między punktami t1-t6, t2-t5 i t3-t4 jako prędkości średnie zbliżające się do prędkości chwilowej.
Rysunek 3.6 Na wykresie zależności położenia od czasu prędkość chwilowa jest nachyleniem stycznej do wykresu w danym punkcie. Prędkości średnie v ¯ = Δ x / Δ t = x k x p / t k t p v ¯ = Δ x / Δ t = x k x p / t k t p między chwilami Δ t ' = t 6 t 1 Δ t ' = t 6 t 1 , Δ t '' = t 5 t 2 Δ t '' = t 5 t 2 oraz Δ t ''' = t 4 t 3 Δ t ''' = t 4 t 3 są zaznaczone różnymi kolorami. W granicy Δ t 0 Δ t 0 prędkości średnie stają się prędkością chwilową w t = t 0 t = t 0 .

Przykład 3.2

Obliczanie prędkości na podstawie wykresu zależności położenia od czasu

Na podstawie wykresu zależności położenia od czasu, Rysunek 3.7, stwórz wykres zależności prędkości od czasu.
Wykres zależności położenia w kilometrach od czasu w minutach. Zaczyna się w początku układu współrzędnych i rośnie do 0,5 kilometra w czasie 0,5 minuty. Nie zmienia się od 0,5 do 0,9 minuty, potem maleje do wartości 0 w punkcie 2,0 minuty.
Rysunek 3.7 Ciało porusza się w kierunku dodatnim, potem zatrzymuje się, by zawrócić i zatrzymać się w punkcie początkowym. (Zwróć uwagę, że powyższy wykres może być jedynie przybliżeniem rzeczywistego przypadku ruchu ciała. Zauważ, że ciało zatrzymuje się natychmiastowo – w miejscu – co w rzeczywistości wymagałoby użycia nieskończenie dużej siły. Pojęcie sił i ich wpływu na ruch dyskutujemy w rozdziale Zasady dynamiki Newtona.)

Strategia rozwiązania

Wykres składa się z trzech prostych odcinków w trzech przedziałach czasu. Dla każdego z nich znajdziemy prędkość jako nachylenie prostoliniowych odcinków, zmierzone za pomocą siatki.

Rozwiązanie

Przedział czasu od 0 s do 0,5 s: v = Δ x / Δ t = ( 0,5 m 0,0 m ) / ( 0,5 s 0,0 s ) = 1,0 m / s v =Δx/Δt= ( 0,5 m 0,0 m ) / ( 0,5 s 0,0 s ) =1,0 m / s

Przedział czasu od 0,5 s do 1,0 s: v = Δ x / Δ t = ( 0,5 m 0,5 m ) / ( 1,0 s 0,5 s ) = 0,0 m / s v =Δx/Δt= ( 0,5 m 0,5 m ) / ( 1,0 s 0,5 s ) =0,0 m / s

Przedział czasu od 1,0 s do 2,0 s: v = Δ x / Δ t = ( 0,0 m 0,5 m ) / ( 2,0 s 1,0 s ) = 0,5 m / s v =Δx/Δt= ( 0,0 m 0,5 m ) / ( 2,0 s 1,0 s ) =0,5 m / s

Wyniki nanosimy na wykres zależności prędkości od czasu – Rysunek 3.8.

Wykres prędkości w metrach na sekundę od czasu w sekundach. Prędkość ma stałą wartość 1 metr na sekundę między punktami 0 i 0,5 sekund, zero między 0,5 a 1,0 sekund, oraz -0,5 metra na sekundę między 1,0 i 2,0 sekund.
Rysunek 3.8 Prędkość jest dodatnia w pierwszej fazie ruchu. Gdy ciało się zatrzymuje – spada do zera, a w ruchu z powrotem – jest ujemna.

Znaczenie

W przedziale czasu między 0 s a 5,0 s ciało oddala się od początku układu współrzędnych, przez co nachylenie położenia w funkcji czasu jest dodatnie. Oznacza to, że prędkość jest na tym odcinku dodatnia. W dowolnej chwili czasu z tego przedziału nachylenie położenia jest dodatnie i równe +1 m/s, co widać na Rysunku 3.8. W kolejnym przedziale czasu, między 0,5 s a 1,0 s, położenie się nie zmienia i nachylenie wynosi zero. Od 1,0 s do 2,0 s ciało porusza się do tyłu, w stronę początku układu współrzędnych, przez co nachylenie jest −0,5 m/s. Ciało ma wtedy odwrotny kierunek ruchu oraz ujemną prędkość.

Szybkość i szybkość średnia

W codziennym życiu nie rozróżniamy pojęć prędkość oraz szybkość i używamy ich naprzemiennie. W fizyce jednak nie są to te same wielkości i znacząco się różnią. Prędkość jest wektorem, który poznaliśmy już przed chwilą. Ma kierunek, zwrot i wartość. Szybkość natomiast jest skalarem, nie ma kierunku ani zwrotu. W zadaniach będziemy najczęściej myśleć o wektorze, mówiąc prędkość, chociaż sformułowanie „samochód jedzie na wschód z prędkością 100 km/h” rozumiemy oczywiście jak „z prędkością o wartości 100 km/h i kierunku na wschód”.

Szybkość średnią definiujemy jako stosunek całkowitej drogi i całkowitego czasu, w którym ta droga została pokonana:

Szybkość średnia = v śr = Całkowita droga Całkowity czas = s całk t całk . Szybkość średnia = v śr = Całkowita droga Całkowity czas = s całk t całk .
3.5

Szybkość średnia niekoniecznie jest równa wartości prędkości średniej, którą liczymy jako iloraz długości całkowitego przemieszczenia i całkowitego czasu. Jeśli np. podróż zaczyna się i kończy w tym samym punkcie, to całkowite przemieszczenie ma wartość zero, a więc i prędkość średnia ma zerową wartość. Szybkość średnia w tej podróży jednak nie jest zero, bo całkowita droga w tej podróży jest niezerowa, może być nawet bardzo duża. Jeżeli chcielibyśmy wyruszyć w drogę do celu oddalonego o 300 km, gdzie chcemy dotrzeć na konkretną godzinę, to będziemy oczywiście zainteresowani szybkością średnią w naszym ruchu.

Jednocześnie zawsze możemy policzyć (chwilową) szybkość jako długość prędkości chwilowej:

Szybkość = | v ( t ) | . Szybkość = | v ( t ) | .
3.6

Jeśli jedna cząstka porusza się wzdłuż osi x x z prędkością +7,0 m/s, a druga cząstka porusza się względem tej samej osi z prędkością −7,0 m/s, to obie cząstki mają różne prędkości, ale tę samą szybkość równą 7,0 m/s. W tabeli poniżej prezentujemy typowe szybkości niektórych ciał i zjawisk.

Szybkość m/s km/h
Wędrówka kontynentów 10 −7 10 −7 3,6 · 10 −7 3,6· 10 −7
Energiczny marsz 1,7 6,0
Rowerzysta 5 18
Bieg sprinterski 12,1 43,6
Ograniczenie prędkości poza obszarem zabudowanym 25 90
Oficjalny rekord szybkości na powierzchni Ziemi 341,1 1 228
Szybkość dźwięku na poziomie morza w warunkach normalnych* 343,2 1 235,2
Statek kosmiczny podczas wejścia w atmosferę 7 800 28 080
Prędkość ucieczki z Ziemi** 11 200 40 320
Średnia szybkość Ziemi na orbicie wokół Słońca 29 783 107 218,8
Prędkość światła w próżni 299 792 458 2 414 219 864,4
Tabela 3.1 Przykładowe szybkości różnych obiektów i zjawisk
* Warunki normalne oznaczają temperaturę 20° i ciśnienie 1013,25 hPa.
** Prędkość ucieczki to taka prędkość, jaką należy nadać ciału, aby opuściło ono pole grawitacyjne Ziemi i już nie wróciło na jej powierzchnię.

Obliczanie prędkości chwilowej

Żeby obliczyć prędkość chwilową w danej chwili czasu, a także ogólną zależność prędkości od czasu, trzeba znać dokładną funkcję zależności położenia od czasu x ( t ) x(t). Prędkość chwilowa jest pochodną położenia po czasie. Na razie skupimy się na postaci funkcji położenia od czasu typu wielomianu: x ( t ) = A t n x ( t ) = A t n , bo jest to funkcja stosunkowo łatwa do różniczkowania.

d x ( t ) d t = n A t n 1 . d x ( t ) d t =nA t n 1 .
3.7

Przykład poniżej ilustruje, jak korzystać z Równania 3.7.

Przykład 3.3

Prędkość chwilowa a prędkość średnia

Położenie cząstki dane jest funkcją x ( t ) = ( 3,0 t + 0,5 t 3 ) m x(t)= ( 3,0 t + 0,5 t 3 ) m .
  1. Korzystając z Równania 3.4 i Równania 3.7, oblicz szybkość średnią w chwili t = 2,0 s t=2,0 s .
  2. Oblicz prędkość średnią cząstki pomiędzy chwilą 1,0 s oraz 3,0 s.

Strategia rozwiązania

Równanie 3.4 pozwala obliczyć prędkość chwilową jako pochodną położenia po czasie. Zależność położenia od czasu jest, jak widzimy, funkcją wielomianową argumentu t t. Dlatego użyjemy Równania 3.7 na pochodną wielomianu, aby znaleźć rozwiązanie. Równania 3.6 z poprzedniej sekcji użyjemy do obliczenia prędkości średniej.

Rozwiązanie

  1. v ( t ) = d x ( t ) d t = ( 3,0 + 1,5 t 2 ) m / s v(t)= d x ( t ) d t = ( 3,0 + 1,5 t 2 ) m / s .
    Podstawiając t = 2,0 s t=2,0 s do tego równania otrzymujemy: 
    v ( 2,0 s ) = [ 3,0 + 1,5 ( 2,0 ) 2 ] m / s = 9,0 m / s v(2,0 s )= [ 3,0 + 1,5 ( 2,0 ) 2 ] m / s =9,0 m / s .
  2. Żeby obliczyć prędkość średnią cząstki między chwilą 1,0 s i 3,0 s, musimy znaleźć wartości x ( 1,0 s ) x(1,0 s ) oraz x ( 3,0 s ) x(3,0 s ):
    x ( 1,0 s ) = [ 3,0 1,0 + 0,5 ( 1,0 ) 3 ] m = 3,5 m , x(1,0 s )= [ 3,0 1,0 + 0,5 ( 1,0 ) 3 ] m =3,5 m ,
    x ( 3,0 s ) = [ 3,0 3,0 + 0,5 ( 3,0 ) 3 ] m = 22,5 m . x(3,0 s )= [ 3,0 3,0 + 0,5 ( 3,0 ) 3 ] m =22,5 m .

    Wobec tego prędkość średnia wynosi
    v = x ( 3,0 s ) x ( 1,0 s ) 3,0 s 1,0 s = 22,5 m 3,5 m 3,0 s 1,0 s = 9,5 m / s . v = x ( 3,0 s ) x ( 1,0 s ) 3,0 s 1,0 s = 22,5 m 3,5 m 3,0 s 1,0 s =9,5 m / s .

Znaczenie

W granicy przedziału czasu, potrzebnego do obliczenia v v , zmierzającego do zera, wartość prędkości średniej v v zbiega się coraz bardziej z wartością prędkości chwilowej v v .

Przykład 3.4

Prędkość chwilowa a szybkość

Rozważmy teraz ruch cząstki, w którym zależność położenia od czasu wynosi x ( t ) = ( 3,0 t 3,0 t 2 ) m x(t)= ( 3,0 t 3,0 t 2 ) m .
  1. Jaka jest prędkość cząstki w chwilach t = 0,25 s t=0,25 s , t = 0,50 s t=0,50 s oraz t = 1,0 s t=1,0 s ?
  2. Jaka jest szybkość cząstki w tych chwilach?

Strategia rozwiązania

Prędkość chwilowa jest pochodną położenia po czasie, natomiast szybkość to wartość prędkości. Użyjemy Równania 3.4 i Równania 3.7 do obliczenia prędkości chwilowej.

Rozwiązanie

  1. v ( t ) = d x ( t ) d t = ( 3,0 6,0 t ) m / s , v(t)= d x ( t ) d t = ( 3,0 6,0 t ) m / s ,
    v ( 0,25 s ) = 1,50 m / s v(0,25 s )=1,50 m / s , v ( 0,5 s ) = 0,0 m / s v(0,5 s )=0,0 m / s , v ( 1,0 s ) = 3,0 m / s v(1,0 s )=3,0 m / s .
  2. Szybkość = | v ( t ) | Szybkość= | v ( t ) | , stąd | v ( 0,25 s ) | = 1,50 m / s | v ( 0,25 s ) | =1,50 m / s , | v ( 0,50 s ) | = 0,0 m / s | v ( 0,50 s ) | =0,0 m / s oraz | v ( 1,0 s ) | = 3,0 m / s | v ( 1,0 s ) | =3,0 m / s .

Znaczenie

Prędkość jest wektorem i daje nam informację o kierunku, wskazując, czy cząstka porusza się w kierunku dodatnim lub kierunku ujemnym względem osi. Szybkość daje informację o prędkości. Lepiej zrozumiemy różnice między tymi wielkościami (położenie, prędkość i szybkość), rysując wykresy zależności od czasu (Rysunek 3.9). Na wykresie (a) widzimy, że cząstka porusza się wzdłuż dodatniego kierunku osi do chwili t = 0,5 s t=0,5 s , po czym zmienia kierunek ruchu. Tę zmianę kierunku zauważamy też na wykresie (b), gdzie w chwili równej 0,5 s wykres prędkości cząstki przechodzi przez zero a następnie wartości prędkości stają się ujemne. Po czasie równym 1,0 s cząstka dociera z powrotem do miejsca, z którego wystartowała. Prędkość cząstki w chwili 1,0 s jest nadal ujemna, bo cząstka dalej porusza się wzdłuż ujemnego kierunku osi xx. Z kolei na wykresie (c) wartości są zawsze dodatnie – szybkość jest zawsze nieujemna w całym czasie trwania ruchu. Na podstawie rysunków możemy też zinterpretować prędkość jako nachylenie krzywej położenia w funkcji czasu. Nachylenie x ( t ) x(t) do momentu 0,5 s jest dodatnie, ale maleje do zera. Potem rośnie, ale po stronie ujemnych wartości. Taka analiza porównawcza wykresów położenia, prędkości i szybkości w funkcji czasu, jak powyższa, pomaga wychwycić ewentualne błędy w naszych obliczeniach. Wykresy muszą być spójne ze sobą, a gdy są poprawne, pomagają w interpretacji wyników.
Wykres A pokazuje zależność położenia w metrach od czasu w sekundach. Zaczyna się od początku układu, rośnie do wartości maksymalnej w punkcie 0,5 sekundy, następnie maleje i przecina oś x w punkcie 1 sekunda. Wykres B pokazuje zależność prędkości w metrach na sekundę od czasu w sekundach. Prędkość maleje liniowo od 3 metry na sekundę do -6 metrów na sekundę w czasie 1,5 sekundy. Wykres C pokazuje zależność wartości bezwzględnej prędkości w metrach na sekundę w funkcji czasu w sekundach. Wykres ma kształt litery V. Wartości maleją do 0,5 sekundy, potem rosną.
Rysunek 3.9 (a) Wykres położenia w funkcji czasu x ( t ) x ( t ) . (b) Wykres prędkości w funkcji czasu v ( t ) v ( t ) . Nachylenie funkcji położenia daje informację o prędkości. Pobieżne porównanie nachylenia stycznych na wykresie (a) w punktach 0,25 s, 0,5 s i 1,0 s z wielkością prędkości, w odpowiednich chwilach czasu wskazuje na poprawność naszych wyników. (c) Zależność szybkości od czasu | v ( t ) | | v ( t ) | . Szybkość ma zawsze wartości nieujemne (dodatnie lub zero).

Sprawdź, czy rozumiesz 3.2

Położenie ciała w funkcji czasu wynosi x ( t ) = 3 t 2 m x(t)=3 t 2 m .

  1. Jaką funkcją czasu jest prędkość cząstki?
  2. Czy prędkość jest zawsze dodatnia?
  3. Jakie są prędkość i szybkość w chwili t = 1,0 s t=1,0 s ?
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.