William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać różnicę między prędkością średnią a prędkością chwilową;
opisywać różnice między szybkością a prędkością;
obliczać prędkość chwilową, znając zależność położenia od czasu;
obliczać szybkość, znając prędkość chwilową;
obliczać szybkość średnią.

Do tej pory nauczyliśmy się, jak obliczać prędkość średnią ciała w ruchu od punktu początkowego do punktu końcowego. W rzeczywistych przypadkach fizycznych ciała najczęściej poruszają się w sposób ciągły, dlatego bardziej interesująca byłaby informacja o aktualnej prędkości ciała w danej chwili czasu i w danym punkcie jego ruchu. Potrafimy znaleźć prędkość ciała w dowolnym punkcie jego toru ruchu, używając do tego podstaw rachunku różniczkowego. Wiedza zawarta w tej sekcji rozdziału 3 jest bardzo ważna do lepszego zrozumienia kinematyki ruchu i będzie bardzo przydatna w dalszych częściach podręcznika.

Prędkość chwilowa

Wielkość mówiąca o tym, jak szybko ciało porusza się wzdłuż swojego toru ruchu w danym momencie, nazywa się prędkością chwilową (często po prostu prędkością). Jest to średnia prędkość ciała między dwoma punktami jego toru, ale w granicy, gdy czas i – w konsekwencji – przemieszczenie ciała między tymi punktami zmierzają do zera. Mówimy, że są nieskończenie małe lub infinitezymalne. Aby wyrazić powyższe stwierdzenie w sposób bardziej zmatematyzowany, musimy znać zależność położenia $x$ od czasu $t$ , a więc ciągłą funkcję $x (t)$ . Przypomnijmy sobie wyrażenie na prędkość średnią między dwoma punktami: $\bar{v} = [x (t_{2}) - x (t_{1})] / [t_{2} - t_{1}]$ . Żeby znaleźć wzór na prędkość chwilową, podstawimy $t_{1} = t$ oraz $t_{2} = t + Δ t$ i zażądamy, aby $Δ t → 0$ . Oznacza to, że przyrost czasu i zmiana położenia mają w granicy (łac. limes) zdążać do zera. W takim razie definicja prędkości chwilowej, ujęta w postaci wzoru matematycznego, jest następująca:

v (t) = lim_{Δ t → 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} = \frac{d x (t)}{d t} .

Prędkość chwilowa

Prędkość chwilowa jest równa prędkości średniej w granicy czasu zdążającego do zera lub, równoważnie, jest to pochodna położenia $x$ po czasie $t$ . Czasem mówimy także, że prędkość (chwilowa) jest zmianą położenia w czasie.

v (t) = \frac{d}{d t} x (t) .

3.4

Podobnie jak prędkość średnia, także i prędkość chwilowa jest wektorem o wymiarze metr na sekundę (m/s). Prędkość w pewnej chwili czasu $t_{0}$ jest tempem (szybkością) zmian funkcji położenia od czasu. Interpretacja geometryczna pochodnej pomaga nam dodatkowo zauważyć, że prędkość jest miarą nachylenia funkcji położenia od czasu $x (t)$ w punkcie $t_{0}$ . Wykres przedstawiony na Ilustracji 3.6 pokazuje, jak prędkość średnia $\bar{v} = Δ x / Δ t$ między dwiema chwilami zmierza do prędkości chwilowej w momencie $t_{0}$ , gdy $Δ t$ dąży do zera. Prędkość chwilowa jest zaznaczona prostą przechodzącą przez punkt $t_{0}$ , która jest styczną do krzywej $x (t)$ w punkcie $t_{0}$ . W tym konkretnym przypadku ta styczna ma zerowe nachylenie do osi poziomej, a więc wyznacza maksimum krzywej $x (t)$ . Prędkość chwilowa w tym momencie jest więc zero. W innych punktach, np. $t_{1}, t_{2}$ lub kolejnych, prędkość chwilowa jest różna od zera, bo nachylenia stycznych są niezerowe. Prędkości w tych punktach są dodatnie lub ujemne. Gdyby w punkcie $t_{0}$ krzywa miała minimum, to prędkość chwilowa także byłaby zero. Z tego wynika ciekawy wniosek, że prędkość chwilowa jest zero w punktach, gdzie funkcja położenia ma ekstremum (minimum lub maksimum).

Wykres zależności położenia od czasu. Położenie rośnie od t1 do t2 i do t3, osiąga wartość największą w t0, a potem maleje przez t4 i t5 aż do t6. Zaznaczono nachylenie prostej stycznej do t0 jako prędkość chwilową. Zaznaczono też sieczne między punktami t1-t6, t2-t5 i t3-t4 jako prędkości średnie zbliżające się do prędkości chwilowej.

Ilustracja 3.6 Na wykresie zależności położenia od czasu prędkość chwilowa jest nachyleniem stycznej do wykresu w danym punkcie. Prędkości średnie

\bar{v} = Δ x / Δ t = (x_{k} - x_{p}) / (t_{k} - t_{p})

między chwilami

Δ t' = t_{6} - t_{1}

,

Δ t'' = t_{5} - t_{2}

oraz

Δ t''' = t_{4} - t_{3}

są zaznaczone różnymi kolorami. W granicy

Δ t → 0

prędkości średnie stają się prędkością chwilową w

t = t_{0}

.

Przykład 3.2

Obliczanie prędkości na podstawie wykresu zależności położenia od czasu

Na podstawie wykresu zależności położenia od czasu, Ilustracja 3.7, stwórz wykres zależności prędkości od czasu.

Wykres zależności położenia w kilometrach od czasu w minutach. Zaczyna się w początku układu współrzędnych i rośnie do 0,5 kilometra w czasie 0,5 minuty. Nie zmienia się od 0,5 do 0,9 minuty, potem maleje do wartości 0 w punkcie 2,0 minuty.

Ilustracja 3.7 Ciało porusza się w kierunku dodatnim, potem zatrzymuje się, by zawrócić i zatrzymać się w punkcie początkowym. (Zwróć uwagę, że powyższy wykres może być jedynie przybliżeniem rzeczywistego przypadku ruchu ciała. Zauważ, że ciało zatrzymuje się natychmiastowo – w miejscu – co w rzeczywistości wymagałoby użycia nieskończenie dużej siły. Pojęcie sił i ich wpływu na ruch dyskutujemy w rozdziale Zasady dynamiki Newtona.)

Strategia rozwiązania

Wykres składa się z trzech prostych odcinków w trzech przedziałach czasu. Dla każdego z nich znajdziemy prędkość jako nachylenie prostoliniowych odcinków, zmierzone za pomocą siatki.

Rozwiązanie

Przedział czasu od 0 s do 0,5 s:

\overset{–}{v} = Δ x / Δ t = (0,5 m - 0,0 m) / (0,5 s - 0,0 s) = 1,0 m / s

Przedział czasu od 0,5 s do 1,0 s: $\overset{–}{v} = Δ x / Δ t = (0,5 m - 0,5 m) / (1,0 s - 0,5 s) = 0,0 m / s$

Przedział czasu od 1,0 s do 2,0 s: $\overset{–}{v} = Δ x / Δ t = (0,0 m - 0,5 m) / (2,0 s - 1,0 s) = - 0,5 m / s$

Wyniki nanosimy na wykres zależności prędkości od czasu – Ilustracja 3.8.

Wykres prędkości w metrach na sekundę od czasu w sekundach. Prędkość ma stałą wartość 1 metr na sekundę między punktami 0 i 0,5 sekund, zero między 0,5 a 1,0 sekund, oraz -0,5 metra na sekundę między 1,0 i 2,0 sekund.

Ilustracja 3.8 Prędkość jest dodatnia w pierwszej fazie ruchu. Gdy ciało się zatrzymuje – spada do zera, a w ruchu z powrotem – jest ujemna.

Znaczenie

W przedziale czasu między 0 s a 5,0 s ciało oddala się od początku układu współrzędnych, przez co nachylenie położenia w funkcji czasu jest dodatnie. Oznacza to, że prędkość jest na tym odcinku dodatnia. W dowolnej chwili czasu z tego przedziału nachylenie położenia jest dodatnie i równe +1 m/s, co widać na Ilustracji 3.8. W kolejnym przedziale czasu, między 0,5 s a 1,0 s, położenie się nie zmienia i nachylenie wynosi zero. Od 1,0 s do 2,0 s ciało porusza się do tyłu, w stronę początku układu współrzędnych, przez co nachylenie jest −0,5 m/s. Ciało ma wtedy odwrotny kierunek ruchu oraz ujemną prędkość.

Szybkość i szybkość średnia

W codziennym życiu nie rozróżniamy pojęć prędkość oraz szybkość i używamy ich naprzemiennie. W fizyce jednak nie są to te same wielkości i znacząco się różnią. Prędkość jest wektorem, który poznaliśmy już przed chwilą. Ma kierunek, zwrot i wartość. Szybkość natomiast jest skalarem, nie ma kierunku ani zwrotu. W zadaniach będziemy najczęściej myśleć o wektorze, mówiąc prędkość, chociaż sformułowanie „samochód jedzie na wschód z prędkością 100 km/h” rozumiemy oczywiście jak „z prędkością o wartości 100 km/h i kierunku na wschód”.

Szybkość średnią definiujemy jako stosunek całkowitej drogi i całkowitego czasu, w którym ta droga została pokonana:

Szybkość średnia = v_{śr} = \frac{Całkowita droga}{Całkowity czas} = \frac{s_{całk}}{t_{całk}} .

3.5

Szybkość średnia niekoniecznie jest równa wartości prędkości średniej, którą liczymy jako iloraz długości całkowitego przemieszczenia i całkowitego czasu. Jeśli np. podróż zaczyna się i kończy w tym samym punkcie, to całkowite przemieszczenie ma wartość zero, a więc i prędkość średnia ma zerową wartość. Szybkość średnia w tej podróży jednak nie jest zero, bo całkowita droga w tej podróży jest niezerowa, może być nawet bardzo duża. Jeżeli chcielibyśmy wyruszyć w drogę do celu oddalonego o 300 km, gdzie chcemy dotrzeć na konkretną godzinę, to będziemy oczywiście zainteresowani szybkością średnią w naszym ruchu.

Jednocześnie zawsze możemy policzyć (chwilową) szybkość jako długość prędkości chwilowej:

Szybkość = | v (t) | .

3.6

Jeśli jedna cząstka porusza się wzdłuż osi $x$ z prędkością +7,0 m/s, a druga cząstka porusza się względem tej samej osi z prędkością −7,0 m/s, to obie cząstki mają różne prędkości, ale tę samą szybkość równą 7,0 m/s. W tabeli poniżej prezentujemy typowe szybkości niektórych ciał i zjawisk.

Szybkość	m/s	km/h
Wędrówka kontynentów	$10^{−7}$	$3,6 \cdot 10^{−7}$
Energiczny marsz	1,7	6,0
Rowerzysta	5	18
Bieg sprinterski	12,1	43,6
Ograniczenie prędkości poza obszarem zabudowanym	25	90
Oficjalny rekord szybkości na powierzchni Ziemi	341,1	1 228
Szybkość dźwięku na poziomie morza w warunkach normalnych*	343,2	1 235,2
Statek kosmiczny podczas wejścia w atmosferę	7 800	28 080
Prędkość ucieczki z Ziemi**	11 200	40 320
Średnia szybkość Ziemi na orbicie wokół Słońca	29 783	107 218,8
Prędkość światła w próżni	299 792 458	2 414 219 864,4

Tabela 3.1 Przykładowe szybkości różnych obiektów i zjawisk
* Warunki normalne oznaczają temperaturę 20° i ciśnienie 1013,25 hPa.
** Prędkość ucieczki to taka prędkość, jaką należy nadać ciału, aby opuściło ono pole grawitacyjne Ziemi i już nie wróciło na jej powierzchnię.

Obliczanie prędkości chwilowej

Żeby obliczyć prędkość chwilową w danej chwili czasu, a także ogólną zależność prędkości od czasu, trzeba znać dokładną funkcję zależności położenia od czasu $x (t)$ . Prędkość chwilowa jest pochodną położenia po czasie. Na razie skupimy się na postaci funkcji położenia od czasu typu wielomianu: $x (t) = A t^{n}$ , bo jest to funkcja stosunkowo łatwa do różniczkowania.

\frac{d x (t)}{d t} = n A t^{n - 1} .

3.7

Przykład poniżej ilustruje, jak korzystać z Równania 3.7.

Przykład 3.3

Prędkość chwilowa a prędkość średnia

Położenie cząstki dane jest funkcją

x (t) = (3,0 t + 0,5 t^{3}) m

.

Korzystając z Równania 3.4 i Równania 3.7, oblicz szybkość średnią w chwili $t = 2,0 s$ .
Oblicz prędkość średnią cząstki pomiędzy chwilą 1,0 s oraz 3,0 s.

Strategia rozwiązania

Równanie 3.4 pozwala obliczyć prędkość chwilową jako pochodną położenia po czasie. Zależność położenia od czasu jest, jak widzimy, funkcją wielomianową argumentu

t

. Dlatego użyjemy Równania 3.7 na pochodną wielomianu, aby znaleźć rozwiązanie. Równania 3.6 z poprzedniej sekcji użyjemy do obliczenia prędkości średniej.

Rozwiązanie

$v (t) = \frac{d x (t)}{d t} = (3,0 + 1,5 t^{2}) m / s$ .
Podstawiając $t = 2,0 s$ do tego równania otrzymujemy:
$v (2,0 s) = [3,0 + 1,5 \cdot (2,0)^{2}] m / s = 9,0 m / s$ .
Żeby obliczyć prędkość średnią cząstki między chwilą 1,0 s i 3,0 s, musimy znaleźć wartości $x (1,0 s)$ oraz $x (3,0 s)$ :
$x (1,0 s) = [3,0 \cdot 1,0 + 0,5 \cdot (1,0)^{3}] m = 3,5 m,$

$x (3,0 s) = [3,0 \cdot 3,0 + 0,5 \cdot (3,0)^{3}] m = 22,5 m .$

Wobec tego prędkość średnia wynosi

$\overset{–}{v} = \frac{x (3,0 s) - x (1,0 s)}{3,0 s - 1,0 s} = \frac{22,5 m - 3,5 m}{3,0 s - 1,0 s} = 9,5 m / s .$

Znaczenie

W granicy przedziału czasu, potrzebnego do obliczenia

\overset{–}{v}

, zmierzającego do zera, wartość prędkości średniej

\overset{–}{v}

zbiega się coraz bardziej z wartością prędkości chwilowej

v

.

Przykład 3.4

Prędkość chwilowa a szybkość

Rozważmy teraz ruch cząstki, w którym zależność położenia od czasu wynosi

x (t) = (3,0 t - 3,0 t^{2}) m

.

Jaka jest prędkość cząstki w chwilach $t = 0,25 s$ , $t = 0,50 s$ oraz $t = 1,0 s$ ?
Jaka jest szybkość cząstki w tych chwilach?

Strategia rozwiązania

Prędkość chwilowa jest pochodną położenia po czasie, natomiast szybkość to wartość prędkości. Użyjemy Równania 3.4 i Równania 3.7 do obliczenia prędkości chwilowej.

Rozwiązanie

$v (t) = \frac{d x (t)}{d t} = (3,0 - 6,0 t) m / s,$
$v (0,25 s) = 1,50 m / s$ , $v (0,5 s) = 0,0 m / s$ , $v (1,0 s) = - 3,0 m / s$ .
$Szybkość = | v (t) |$ , stąd $| v (0,25 s) | = 1,50 m / s$ , $| v (0,50 s) | = 0,0 m / s$ oraz $| v (1,0 s) | = 3,0 m / s$ .

Znaczenie

Prędkość jest wektorem i daje nam informację o kierunku, wskazując, czy cząstka porusza się w kierunku dodatnim lub kierunku ujemnym względem osi. Szybkość daje informację o prędkości. Lepiej zrozumiemy różnice między tymi wielkościami (położenie, prędkość i szybkość), rysując wykresy zależności od czasu (Ilustracja 3.9). Na wykresie (a) widzimy, że cząstka porusza się wzdłuż dodatniego kierunku osi do chwili

t = 0,5 s

, po czym zmienia kierunek ruchu. Tę zmianę kierunku zauważamy też na wykresie (b), gdzie w chwili równej 0,5 s wykres prędkości cząstki przechodzi przez zero a następnie wartości prędkości stają się ujemne. Po czasie równym 1,0 s cząstka dociera z powrotem do miejsca, z którego wystartowała. Prędkość cząstki w chwili 1,0 s jest nadal ujemna, bo cząstka dalej porusza się wzdłuż ujemnego kierunku osi

x

. Z kolei na wykresie (c) wartości są zawsze dodatnie – szybkość jest zawsze nieujemna w całym czasie trwania ruchu. Na podstawie rysunków możemy też zinterpretować prędkość jako nachylenie krzywej położenia w funkcji czasu. Nachylenie

x (t)

do momentu 0,5 s jest dodatnie, ale maleje do zera. Potem rośnie, ale po stronie ujemnych wartości. Taka analiza porównawcza wykresów położenia, prędkości i szybkości w funkcji czasu, jak powyższa, pomaga wychwycić ewentualne błędy w naszych obliczeniach. Wykresy muszą być spójne ze sobą, a gdy są poprawne, pomagają w interpretacji wyników.

Wykres A pokazuje zależność położenia w metrach od czasu w sekundach. Zaczyna się od początku układu, rośnie do wartości maksymalnej w punkcie 0,5 sekundy, następnie maleje i przecina oś x w punkcie 1 sekunda. Wykres B pokazuje zależność prędkości w metrach na sekundę od czasu w sekundach. Prędkość maleje liniowo od 3 metry na sekundę do -6 metrów na sekundę w czasie 1,5 sekundy. Wykres C pokazuje zależność wartości bezwzględnej prędkości w metrach na sekundę w funkcji czasu w sekundach. Wykres ma kształt litery V. Wartości maleją do 0,5 sekundy, potem rosną.

Ilustracja 3.9 (a) Wykres położenia w funkcji czasu

x (t)

. (b) Wykres prędkości w funkcji czasu

v (t)

. Nachylenie funkcji położenia daje informację o prędkości. Pobieżne porównanie nachylenia stycznych na wykresie (a) w punktach 0,25 s, 0,5 s i 1,0 s z wielkością prędkości, w odpowiednich chwilach czasu wskazuje na poprawność naszych wyników. (c) Zależność szybkości od czasu

| v (t) |

. Szybkość ma zawsze wartości nieujemne (dodatnie lub zero).

Sprawdź, czy rozumiesz 3.2

Położenie ciała w funkcji czasu wynosi $x (t) = - 3 t^{2} m$ .

Jaką funkcją czasu jest prędkość cząstki?
Czy prędkość jest zawsze dodatnia?
Jakie są prędkość i szybkość w chwili $t = 1,0 s$ ?

3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia

Prędkość chwilowa

Obliczanie prędkości na podstawie wykresu zależności położenia od czasu

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Szybkość i szybkość średnia

Obliczanie prędkości chwilowej

Prędkość chwilowa a prędkość średnia

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Prędkość chwilowa a szybkość

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie