3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia

Położenie

Aby opisać ruch ciała, musisz w pierwszej kolejności potrafić podać jego położenie w odniesieniu do wybranej osi układu współrzędnych ($x$): gdzie znajduje się ono w danej chwili czasu. Mówiąc precyzyjniej, musisz zdefiniować położenie ciała w wybranym układzie odniesienia, z którym zwiążesz pewien matematyczny układ współrzędnych. Układ odniesienia jest dowolnie wybranym układem osi, względem których mierzymy położenie i opisujemy ruch ciała. Najczęściej wybieramy w tym celu Ziemię (planetę) i względem spoczywających na Ziemi obiektów opisujemy ruch ciał. Mówimy wtedy często: ruch względem Ziemi (podłoża, gruntu, powierzchni itd.). Przykładowo, start rakiety możemy opisać w układzie związanym z Ziemią, tak jak ruch rowerzystki ze zdjęcia (Ilustracja 3.2) – jej położenie i prędkość – możemy podać względem budynków stojących przy ulicy, a więc związanych z Ziemią. Możemy też opisać ruch rowerzystki względem jadącej obok koleżanki – w tym przypadku układ odniesienia sam porusza się względem Ziemi. Aby opisać ruch pasażera samolotu na pokładzie, wybierzemy samolot jako układ odniesienia, a nie Ziemię. Bardziej szczegółowo dyskutujemy tę kwestię w ostatniej sekcji następnego rozdziału. Położenie ciała w ruchu jednowymiarowym podajemy najczęściej wzdłuż osi $x$. W dalszych sekcjach tego rozdziału, gdzie omawiamy spadek swobodny, wprowadzimy oś $y$. Ruch jednowymiarowy – po linii prostej – nazywamy też często ruchem prostoliniowym.

Ilustracja 3.2 Położenie rowerzystek można podać względem ulicy, budynków czy względem siebie nawzajem. Ich ruch można opisać poprzez położenie oraz przemieszczenie, w wybranym układzie odniesienia.

Przemieszczenie

Jeżeli jakieś ciało się porusza — np. nauczycielka przechodzi od lewej do prawej strony tablicy (Ilustracja 3.3) — to jej położenie się zmienia. Ta zmiana położenia nazywa się przemieszczeniem. Wyraz przemieszczenie jednoznacznie sugeruje ruch, czyli zmianę położenia – ciało się przemieściło lub doznało przemieszczenia. Tak jak położenie jest wartością liczbową $x$ wzdłuż pewnej prostej, po której ciało może się poruszać, tak przemieszczenie jest różnicą położeń na tej prostej przed i po wykonaniu ruchu. Ponieważ przemieszczenie wyraźnie wskazuje na kierunek ruchu, jest wektorem i może być zarówno dodatnie, jak i ujemne, w zależności od wyboru dodatniego kierunku. Zazwyczaj wybieramy kierunek osi $x$ w prawo jako dodatni (dodatni kierunek osi $x$). Na ruch ciała może składać się wiele przemieszczeń, które w efekcie dają wypadkowe przemieszczenie. Jeśli za dodatni kierunek przyjmiemy kierunek w prawo, a nauczycielka przesuwa się najpierw o 2 m w prawo, a potem o 4 m w lewo, to składowe pojedyncze przemieszczenia wynoszą odpowiednio 2 m oraz ‒4 m. Całkowite przemieszczenie jest równe ‒2 m.

Ilustracja 3.3 Nauczycielka podczas lekcji przechodzi z jednej strony tablicy na drugą. Jej położenie względem Ziemi mierzymy współrzędną $x$. Przemieszczenie nauczycielki od położenia początkowego do końcowego, równe +2,0 m, zaznaczono strzałką o zwrocie w prawo.

Dużej litery greckiego alfabetu - delty ($\mathrm{\Delta }$) używamy do oznaczenia „zmiany” wielkości, której symbol zapisujemy po prawej stronie, np. $\text{Δ}x$ oznacza zmianę położenia (położenie końcowe odjąć położenie początkowe). Zawsze obliczamy przemieszczenie od położenia końcowego $x_{\mathrm{k}}$, odejmując położenie początkowe $x_{\text{0}}$. Zwróć uwagę na to, że przemieszczenie, w układzie jednostek SI podaje się w metrach, ale używamy często jednostek wielokrotnych i podwielokrotnych, a także innych jednostek metrycznych (jak np. mile, cale itd.). Pamiętaj, że jeśli w zadaniu i innych problemach masz do czynienia z jednostkami innymi niż metry, to zawsze możesz je zamienić na metry, i najczęściej tak należy zrobić (po szczegóły zajrzyj do Załącznika B).

Ciała w ruchu mogą doznawać kilku lub nawet całej serii przemieszczeń. W przykładzie powyżej nauczycielka najpierw przemieściła się o 2 m w prawo, od położenia $x_0=0\mathrm{m}$ do położenia $x_1=2\mathrm{m}$. Następnie mogła wrócić do położenia $x_2=-2\mathrm{m}$, przechodząc 4 m w lewo. Jej pojedyncze przemieszczenia wynoszą +2 m oraz ‒4 m, odpowiednio, co wypadkowo daje przemieszczenie ‒2 m. Całkowite przemieszczenie $\text{Δ}{x}_{\text{całk}}$ definiujemy jako sumę pojedynczych przemieszczeń, co matematycznie ujmiemy w postaci wzoru

gdzie $\text{Δ}{x}_i$ są pojedynczymi składowymi przemieszczeniami. W przykładzie mieliśmy

Podobnie

W takim razie

Całkowite przemieszczenie wynosi $2\mathrm{m}+\left(-4\mathrm{m}\right)=2\mathrm{m}-4\mathrm{m}=-2\mathrm{m}$ w lewo lub, równoważnie, w kierunku ujemnym. Użyteczna jest również znajomość wartości przemieszczenia, czyli jego wielkości. Wartość przemieszczenia jest zawsze liczbą nieujemną (dodatnią lub równą zero). W przypadku jednowymiarowym obliczamy ją jako wartość bezwzględną. W przypadkach wielowymiarowych jest to długość wektora, która jest zawsze nieujemna. W naszym przykładzie wartość przemieszczenia całkowitego wynosi 2 m, a wartości przemieszczeń składowych wynoszą 2 m i 4 m.

W ogólnym przypadku długość przemieszczenia nie powinna być mylona z drogą, jaką przebyło ciało. To jest częsty błąd, którego nie możesz popełniać. Droga przebyta w ruchu przez ciało, którą oznaczamy przez $s_{\text{całk}}$, jest długością toru, po którym ciało się porusza między dwoma punktami. W przykładzie, który dyskutujemy, całkowita droga jest sumą długości wektorów przemieszczeń składowych:

Tak będzie też w każdym przypadku ruchu po linii prostej (w jednym wymiarze). Drogę znajdujemy jako sumę długości poszczególnych przemieszczeń i nigdy nie jest to wartość ujemna ani nawet równa zero, mimo iż przemieszczenie całkowite może być ujemne lub zerowe. Gdyby nauczycielka z przykładu powyżej wróciła w lewo w to samo miejsce ($x_2=0\mathrm{m}$), to jej przemieszczenie całkowite byłoby równe zero, podczas gdy droga, jaką pokonałaby w całym ruchu, wynosiłaby 4 m. W przypadku dwu- lub trójwymiarowym sprawa jest jeszcze bardziej złożona. Obliczenie drogi jako długości toru ruchu ciała, który może być przecież dowolną krzywą na płaszczyźnie lub w przestrzeni, jest ogólnie zadaniem trudnym. Przemieszczenie jest wektorem, którego długość zawsze łatwo znajdziemy, bo jest to długość odcinka między dwoma punktami. Wrócimy jeszcze do tego zagadnienia w dalszych sekcjach.

Prędkość średnia

Do dyskusji o kolejnych wielkościach fizycznych używanych w kinematyce musimy użyć nowej zmiennej, którą jest czas. Włączenie do naszego opisu zmiennej czasowej pozwala nie tylko stwierdzić, gdzie w przestrzeni znajduje się ciało (jakie jest jego położenie w danym momencie), ale także określić, jak szybko się porusza. O tym, jak szybko ciało porusza się w trakcie ruchu, mówi nam prędkość, czyli zmiana położenia w czasie.

Każdemu położeniu $x_i$ ciała przyporządkujemy odpowiadający mu czas $t_{\text{i}}$. Jeżeli nie interesują nas szczegóły o ruchu w danym momencie, najczęściej wystarczy podać średnią prędkość $\stackrel{\text{–}}{v}$, aby określić jak szybko ciało się porusza. Jest to wielkość wektorowa, którą wyraża iloraz całkowitego przemieszczenia między dwoma punktami i czasu, w jakim to przemieszczenie nastąpiło. Ten czas nazywamy całkowitym czasem ruchu i oznaczamy $\text{Δ}t$.

Ważne jest, abyś pamiętał, że średnia prędkość jest wielkością wektorową i może być ujemna (skierowana przeciwnie do wybranej osi), w zależności od wartości położeń $x_1$ i $x_2$. Oznaczenie $\stackrel{\text{–}}{v}$, którego używamy, odnosi się jedynie do prędkości średniej (wektora i jego wartości).

Przykład 3.1

Roznoszenie ulotek

Monika roznosi ulotki z informacjami o organizowanym przez nią kiermaszu książek. Wyrusza ze swojego domu i wrzuca ulotki do skrzynek na listy swoich sąsiadów, których domy stoją wzdłuż długiej, prostej ulicy, ale po pokonaniu 0,5 km w ciągu 9 min rozdaje wszystkie ulotki, które zabrała. Wraca więc do domu po kolejną partię, co zajmuje kolejne 9 min. Kontynuuje roznoszenie od miejsca, gdzie skończyła, i po 15 min dociera do punktu oddalonego o 1,0 km od jej domu. W drodze powrotnej mija dom i kieruje się do parku. Ten ostatni odcinek o długości 1,75 km pokonuje w 25 min.

1. Jakie jest całkowite przemieszczenie Moniki od domu do parku?
2. Jaka jest długość całkowitego przemieszczenia?
3. Jaki jest wektor prędkości średniej Moniki?
4. Jaką całkowitą drogę pokonała Monika?
5. Jak wygląda wykres położenia Moniki w funkcji czasu?

Szkic wszystkich etapów ruchu Moniki znajdziesz na Ilustracji 3.4.

Ilustracja 3.4 Szkic ruchów Moniki podczas roznoszenia ulotek.

Strategia rozwiązania

Ruch Moniki jest wieloetapowy, dlatego wygodnie będzie zebrać informacje o istotnych wielkościach fizycznych na każdym etapie w formie tabeli. Znamy czas i położenie po każdym etapie, więc łatwo znajdziemy przemieszczenie i czas trwania kolejnych etapów. Na podstawie tych informacji wyznaczymy całkowite przemieszczenie i prędkość średnią. Kierunek w prawo przyjmiemy za dodatni. Dom Moniki będzie punktem początkowym $x_0$. Spójrzmy na poniższą tabelę.

Czas $t_i$ (min)	Położenie $x_i$ (km)	Przemieszczenie $\text{Δ}{x}_i$ (km)
$t_0=0$	$x_0=0$	$\text{Δ}{x}_0=0$
$t_1=9$	$x_1=\mathrm{0,5}$	$\text{Δ}{x}_1=x_1-x_0=\mathrm{0,5}$
$t_2=18$	$x_2=0$	$\text{Δ}{x}_2=x_2-x_1=\mathrm{-0,5}$
$t_3=33$	$x_3=\mathrm{1,0}$	$\text{Δ}{x}_3=x_3-x_2=\mathrm{1,0}$
$t_4=58$	$x_4=\mathrm{-0,75}$	$\text{Δ}{x}_4=x_4-x_3=\mathrm{-1,75}$

Rozwiązanie

1. Na podstawie danych zebranych w powyższej tabeli obliczamy całkowite przemieszczenie
   
   $$\sum _i\mathrm{\Delta }{x}_i=\mathrm{0,5}\mathrm{k}\mathrm{m}-\mathrm{0,5}\mathrm{k}\mathrm{m}+\mathrm{1,0}\mathrm{k}\mathrm{m}-\mathrm{1,75}\mathrm{k}\mathrm{m}=-\mathrm{0,75}\mathrm{k}\mathrm{m}.$$
2. Długość całkowitego przemieszczenia wynosi $\left|-\mathrm{0,75}\mathrm{k}\mathrm{m}\right|=\mathrm{0,75}\mathrm{k}\mathrm{m}$.
3. $\text{Prędkość średnia}=\frac{\text{Całkowite przemieszczenie}}{\text{Całkowity czas}}=\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{-\mathrm{0,75}\mathrm{k}\mathrm{m}}{58\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=-\mathrm{0,013}\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$.
4. Całkowita droga pokonana przez Monikę (suma wartości bezwzględnych poszczególnych przemieszczeń) wynosi $s_{\text{całk}}={\sum }_i\left|\mathrm{\Delta }{x}_i\right|=\mathrm{0,5}\mathrm{k}\mathrm{m}+\mathrm{0,5}\mathrm{k}\mathrm{m}+\mathrm{1,0}\mathrm{k}\mathrm{m}+\mathrm{1,75}\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{3,75}\mathrm{k}\mathrm{m}$.
5. Wykres zależności położenia Moniki w funkcji czasu jest przydatnym narzędziem do analizy jej ruchu. Przedstawiamy go na Ilustracji 3.5.
   

   Ilustracja 3.5 Ten wykres przedstawia położenie Moniki w funkcji czasu. Średnią prędkość znajdziemy jako nachylenie prostej łączącej punkt początkowy z punktem końcowym.

Znaczenie

Całkowite przemieszczenie Moniki wynosi ‒0,75 km, co oznacza, że koniec jej wędrówki znajduje się w odległości 0,75 km od jej domu po lewej stronie (przeciwnie do kierunku roznoszenia ulotek). Prędkość średnią możemy rozumieć tak, że gdyby ktoś wyruszył spod domu Moniki w tym samym momencie co ona i szedł w kierunku parku (w lewo) ze stałą prędkością o wartości 0,013 km/min, to dotarłby do parku dokładnie w tym samym momencie co Monika, która po drodze przemierzyła wiele kilometrów. Zwróć uwagę, że gdyby Monika skończyła swoją wędrówkę w domu, to zarówno całkowite przemieszczenie, jak i prędkość średnia byłyby równe zero. Po drugie, całkowita droga, jaką pokonała Monika, to aż 3,75 km, podczas gdy długość przemieszczenia całkowitego wynosi tylko 0,75 km.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.1

Kolarz jedzie przez 3 km na zachód, a następnie zawraca i jedzie na wschód przez 2 km.

1. Jakie jest jego przemieszczenie?
2. Jaką drogę pokonał?
3. Jaka jest wartość przemieszczenia kolarza?