Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 13.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • obliczać średnie przyspieszenie w ruchu między dwoma punktami;
  • znajdować przyspieszenie chwilowe, mając funkcję zależności prędkości od czasu;
  • wyjaśniać wektorowy charakter chwilowej prędkości i przyspieszenia;
  • wyjaśniać różnice między przyspieszeniem chwilowym a średnim;
  • znajdować przyspieszenie chwilowe w danym momencie na podstawie wykresu zależności prędkości od czasu.

Zagadnienie przyspieszenia dotyczy zarówno naszego życia codziennego, jak i szerokiego spektrum zjawisk w przestrzeni kosmicznej, czy mikroświata w skali subatomowej. W rozumieniu potocznym przyspieszać oznacza rozpędzać się, zwiększać szybkość. Doskonale to rozumiemy podczas jazdy samochodem. Przyspieszamy przy wciskaniu pedału gazu, z drugiej strony, gdy wciskamy pedał hamulca – zwalniamy, hamujemy, co też jest związane z pojęciem przyspieszenia. Im większe jest przyspieszenie, tym większa jest zmiana prędkości w danym przedziale czasu. Przyspieszenie jest powszechnym zjawiskiem w fizyce eksperymentalnej. W eksperymentach zderzeń cząstek elementarnych, z użyciem na przykład liniowego akceleratora, są one rozpędzane do olbrzymich prędkości i zderzane ze sobą. Wyniki zderzeń są badane i dostarczają informacji np. o budowie świata subatomowego lub początkach Wszechświata. Promieniowanie kosmiczne rozchodzące się w przestrzeni jest także złożone z cząstek przyspieszonych do wielkich energii we wnętrzu supernowych (wybuchające olbrzymie gwiazdy) lub w aktywnych jądrach galaktyk. Z punktu widzenia techniki ważne jest poznanie mechanizmów przyspieszania takich cząstek, aby móc konstruować osłony antyradiacyjne w statkach kosmicznych, które będą chronić ludzi i elektronikę przed wysoce przenikliwym promieniowaniem.

Przyspieszenie średnie

Formalna definicja przyspieszenia jest zbieżna z określeniami, które podaliśmy wyżej. Ujmijmy ją jednak w sposób matematyczny.

Przyspieszenie średnie

Przyspieszenie średnie jest zmianą wektora prędkości w pewnym przedziale czasu. W ruchu po linii prostej zapiszemy

a ¯ = Δ v Δ t = v k v 0 t k t 0 , a ¯ = Δ v Δ t = v k v 0 t k t 0 ,
3.8

gdzie a ¯ a ¯ jest wektorem przyspieszenia średniego, v v jest wektorem prędkości, natomiast t t jest czasem (kreska nad a a jest oznaczeniem średniego przyspieszenia).

Ponieważ przyspieszenie jest prędkością wyrażoną w jednostkach metr na sekundę, podzieloną przez czas, w sekundach, to jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu: m/s 2 m/s 2 . Dosłownie możemy rozumieć przyspieszenie jako miarę tego, o ile metrów na sekundę prędkość zmienia się w ciągu każdej sekundy. Przypomnij sobie, że prędkość jest wektorem – ma wartość oraz kierunek i zwrot. Zatem zmiana prędkości może oznaczać zmianę wartości prędkości (szybkości), ale też zmianę kierunku i zwrotu. Przykładowo, biegacz, który z szybkością 10 km/h biegnie na wschód, następnie zwalnia, zatrzymuje się i rusza w przeciwną stronę (na zachód) z szybkością również 10 km/h, doznał zmiany prędkości, mimo że wartość prędkości się nie zmieniła – w obu kierunkach jest taka sama. Zatem przyspieszenie występuje wtedy, gdy zmianie ulega wartość (zwiększa się lub zmniejsza) lub kierunek i zwrot prędkości, albo gdy wszystkie zmieniają się jednocześnie.

Przyspieszenie jako wektor

Przyspieszenie jest wektorem, którego kierunek jest równoległy do kierunku zmiany wektora prędkości Δ v Δ v . Ponieważ prędkość jest wektorem, może zmieniać się jej wartość lub kierunek i zwrot lub wszystkie naraz. W takim razie przyspieszenie jest zmianą wartości i/lub kierunku prędkości w czasie.

Pamiętaj, że chociaż przyspieszenie ma kierunek zmiany prędkości, to nie zawsze jest zwrócone w kierunku ruchu. Gdy ciało hamuje w ruchu prostoliniowym, wektor przyspieszenia jest przeciwny do kierunku, w którym ciało się porusza. Takie przyspieszenie (o zwrocie przeciwnym do wektora prędkości, przeciwnie do ruchu) nazywamy często opóźnieniem – patrz [link]. Rozumiemy je jednak jako przyspieszenie o zwrocie przeciwnym do kierunku ruchu, albo także jako ujemne przyspieszenie (piszemy jego wartość ze znakiem minus).

Zdjęcie pokazuje kolejkę metra wjeżdżającą na stację.
Rysunek 3.10 Pociąg metra w Warszawie zwalnia, gdy wjeżdża na stację. Jego przyspieszenie jest zwrócone przeciwnie do kierunku ruchu.

Wyrażenie opóźnienie może powodować wiele nieporozumień – nie jest to wektor i nie ma kierunku ani zwrotu względem wybranego układu współrzędnych – dlatego raczej nie będziemy go używać w naszej analizie, chyba że w klarownych sytuacjach. Przyspieszenie jest wektorem i względem osi układu współrzędnych może mieć dodatni lub ujemny znak, zależnie od naszego wyboru zwrotu osi. W przypadku pociągu na Rysunku 3.10 przyspieszenie ma przeciwny zwrot niż oś wybranego układu współrzędnych, dlatego powiemy, że pociąg doznaje ujemnego przyspieszenia.

Jeżeli ciało będące w ruchu ma prędkość, której zwrot jest zgodny z kierunkiem ruchu ciała oraz doznaje stałego w czasie ujemnego przyspieszenia, to w końcu zatrzyma się i zawróci, a po odpowiednio długim czasie nawet minie z powrotem punkt początkowy – tym razem w ruchu w przeciwnym kierunku. Ilustruje to Rysunek 3.11.

Rysunek pokazuje trzy wektory: a – zwrócony na zachód, vf – zwrócony na zachód i v0 – zwrócony na wschód.
Rysunek 3.11 Ciało poruszające się w prawo doznaje ujemnego przyspieszenia i hamuje, następnie zatrzymuje się i zawraca. Po odpowiednio długim czasie mija z powrotem punkt początkowy poruszając się w lewo.

Przykład 3.5

Obliczanie przyspieszenia średniego: Start konia wyścigowego

Koń wyścigowy wypuszczony z boksu przyspiesza od zera do 15,0 m/s w czasie 1,80 s. Jakie jest jego średnie przyspieszenie?
Zdjęcie pokazuje dwóch dżokejów na koniach wyścigowych, które rozpędzają się od bramek.
Rysunek 3.12 Koń wyścigowy przyspiesza po opuszczeniu bramki startowej.

Strategia rozwiązania

Naszkicujmy najpierw sytuację fizyczną i dokonajmy wyboru układu współrzędnych – Rysunek 3.13. To zadanie jest na tyle proste, że nie musielibyśmy tego robić, ale taka wizualizacja zawsze pomaga w lepszym zrozumieniu problemu i poprawnym rozwiązaniu. Zauważ, że wybraliśmy wschód i północ jako dodatnie kierunki osi układu współrzędnych. W takim układzie prędkość jest ujemna – zakładamy bieg konia w lewo (na zachód).
Rysunek przedstawia trzy wektory: a ma nieznaną wartość i jest skierowane na zachód, vf wynosi – 15 metrów na sekundę i jest skierowane na zachód, a v0 wynosi zero.
Rysunek 3.13 Na schemacie wizualizujemy problem fizyczny, dokonujemy wyboru układu współrzędnych i określamy, co jest niewiadomą do wyznaczenia.

Na podstawie danych w zadaniu znajdziemy Δ v Δ v oraz Δ t Δ t i dzięki temu policzymy średnie przyspieszenie a ¯ = Δ v / Δ t = v k v 0 / t k t 0 a ¯ =Δv/Δt= v k v 0 / t k t 0 .

Rozwiązanie

Wypiszmy najpierw dane podane w treści zadania: v 0 = 0 v 0 =0, v k = 15,0 m / s v k =15,0 m / s (ujemny znak oznacza kierunek w lewo, na zachód), Δ t = 1,80 s Δt=1,80 s .

Teraz obliczmy zmianę prędkości konia. Ponieważ startuje on z prędkością początkową równą zero, to zmiana prędkości jest równa prędkości końcowej:

Δ v = v k v 0 = v k = 15,0 m / s . Δv= v k v 0 = v k =15,0 m / s .

Wreszcie możemy podstawić znane wielkości ( Δ v Δ v i Δ t Δ t ) do wzoru na nieznane przyspieszenie a a :

a = Δ v Δ t = 15,0 m / s 1,80 s = 8,33 m / s 2 . a = Δ v Δ t = 15,0 m / s 1,80 s =8,33 m / s 2 .

Znaczenie

Ujemny znak przyspieszenia oznacza, że jest ono skierowane na zachód, w lewo. Jego wartość równa 8,33 m / s 2 8,33 m / s 2 mówi nam, że koń zwiększa swoją prędkość o 8,33 m/s w ciągu każdej sekundy, stale poruszając się w lewo. Zwróć uwagę, że obliczone przez nas przyspieszenie jest rzeczywiście średnie. Ruch konia nie jest płynny (powiemy: nie jest jednostajnie przyspieszony). Jak się dowiemy w dalszych rozdziałach, przyspieszenie o takiej wartości, działające na jeźdźca, wymagałoby zadziałania na niego siłą równą niemal jego ciężarowi.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.3

Protony są przyspieszane w akceleratorze liniowym od zera do 2,0 10 7 m / s 2,0 10 7 m / s w czasie 10 4 s 10 4 s . Jakie jest średnie przyspieszenie protonów?

Przyspieszenie chwilowe

Przyspieszenie chwilowe a a , inaczej przyspieszenie w danej chwili czasu, definiujemy analogicznie do prędkości chwilowej z poprzedniej sekcji. Mianowicie obliczamy średnią prędkość między dwoma punktami odległymi w czasie o Δ t Δ t i żądamy, by Δ t Δ t zdążało do zera. W efekcie otrzymujemy pochodną po czasie funkcji prędkości v ( t ) v ( t ) . Właśnie taką wielkość nazywamy przyspieszeniem chwilowym i w sposób matematyczny wyrażamy jako

a t = d d t v t . a t = d d t v t .
3.9

Zatem podobnie jak prędkość jest pochodną położenia po czasie, tak przyspieszenie definiujemy jako pochodną prędkości po czasie. Definicję tę możemy przedstawić graficznie, także w podobny sposób jak poprzednio. Na Rysunku 3.14 przyspieszenie chwilowe w chwili t 0 t 0 jest nachyleniem prostej stycznej do wykresu zależności prędkości od czasu w punkcie t 0 t 0 . Widzimy też, że przyspieszenie średnie a ¯ = Δ v / Δ t a ¯ =Δv/Δt staje się przyspieszeniem chwilowym wraz z Δ t Δ t zmierzającym do zera. W części (a) rysunku widzimy, że przyspieszenie jest zero w punkcie, dla którego krzywa ma maksimum. Styczna ma w tym punkcie nachylenie równe zero. Także w części (b) widzimy, że styczna ma zerowe nachylenie w minimum. Tam także przyspieszenie wynosi zero. Rozumując odwrotnie, możemy powiedzieć, że zerowe wartości przyspieszenia są wyznacznikiem minimum lub maksimum zależności prędkości od czasu.

Wykres A pokazuje zależność prędkości od czasu. Prędkość rośnie od t1 do t3 i t3. Osiąga maksimum w t0, potem maleje to t4 i nadal maleje do t5 i t6. Nachylenie stycznej w t0 jest miarą przyspieszenia chwilowego. Wykres B pokazuje przebieg analogiczny do A, ale z minimum w t0. Przyspieszenie chwilowe w t0 zaznaczono jako nachylenie stycznej w t0.
Rysunek 3.14 Na wykresie prędkości od czasu przyspieszenie jest nachyleniem stycznej. (a) Przyspieszenia styczne a ¯ = Δ v / Δ t = v k v 0 / t k t 0 a ¯ = Δ v / Δ t = v k v 0 / t k t 0 w przedziałach czasu Δ t = t 6 t 1 Δ t = t 6 t 1 , Δ t = t 5 t 2 Δ t = t 5 t 2 oraz Δ t = t 4 t 3 Δ t = t 4 t 3 . Gdy Δ t 0 Δ t 0 , przyspieszenie średnie staje się przyspieszeniem chwilowym w punkcie t 0 t 0 . Na rysunku (a) pokazano przyspieszenie w chwili odpowiadającej maksimum krzywej prędkości w funkcji czasu. Przyspieszenie, będące współczynnikiem nachylenia stycznej do krzywej, jest w tym punkcie równe zero. W każdym innym punkcie nachylenie stycznej byłoby różne od zera, zatem i przyspieszenie byłoby niezerowe. To samo przedstawiono na rysunku (b), ale dla punktu, w którym krzywa ma minimum.

By lepiej zrozumieć graficzną interpretację przyspieszenia, rozważmy dwa przykłady. W pierwszym odwołamy się do znanej z wcześniejszych przykładów zależności prędkości od czasu (Przykład 3.3), by znaleźć zależność przyspieszenia od czasu. Liniowa zależność prędkości od czasu jest pokazana na Rysunku 3.15(a). Odpowiednia zależność przyspieszenia od czasu została pokazana na Rysunku 3.15(b). W tym prostym przykładzie prędkość w funkcji czasu jest linią prostą o stałym nachyleniu, dlatego przyspieszenie jest stałe. W następnym przykładzie zależność ta będzie bardziej złożona.

Wykres A pokazuje prędkość w metrach na sekundę w funkcji czasu w sekundach. Wykres jest liniowy i ma stałe nachylenie w dół. Wykres B pokazuje przyspieszenie w metrach na sekundę do kwadratu w funkcji czasu w sekundach. Wykres jest stały o wartości -6.
Rysunek 3.15 (a, b) Zależność prędkości od czasu jest liniowa i ma stałe, ujemne nachylenie (a), które jest równe przyspieszeniu pokazanemu na rysunku (b).

W przypadku gdy znamy funkcję opisującą zależność prędkości od czasu v ( t ) v(t), możemy obliczyć przyspieszenie chwilowe a ( t ) a(t) w dowolnym momencie ruchu ciała, używając definicji (Równanie 3.9).

Przykład 3.6

Obliczanie przyspieszenia chwilowego

Cząstka przyspiesza w swoim ruchu po prostej. Zależność funkcyjna prędkości od czasu jest następująca v ( t ) = ( 20 t 5 t 2 ) m / s v(t)= ( 20 t 5 t 2 ) m / s .
  1. Znajdź ogólny wzór zależności przyspieszenia od czasu.
  2. Znajdź prędkości chwilowe w momentach 1, 2, 3 oraz 5 s.
  3. Znajdź przyspieszenia chwilowe w momentach 1, 2, 3 oraz 5 s.
  4. Zinterpretuj wyniki z punktu (c) w kontekście wzajemnego kierunku wektorów prędkości i przyspieszenia.

Strategia rozwiązania

Zależność funkcyjną przyspieszenia od czasu znajdziemy poprzez różniczkowanie prędkości po czasie. Następnie obliczymy prędkości i przyspieszenia chwilowe w zadanych momentach. W części (d) musimy porównać znaki przyspieszeń i prędkości w kolejnych chwilach.

Rozwiązanie

  1. a ( t ) = d v ( t ) d t = ( 20 10 t ) m / s 2 a(t)= d v ( t ) d t = ( 20 10 t ) m / s 2 ;
  2. v ( 1 s ) = 15 m / s v(1 s )=15 m / s , v ( 2 s ) = 20 m / s v(2 s )=20 m / s , v ( 3 s ) = 15 m / s v(3 s )=15 m / s , v ( 5 s ) = 25 m / s v(5 s )=25 m / s ;
  3. a ( 1 s ) = 10 m / s 2 a(1 s )=10 m / s 2 , a ( 2 s ) = 0 m / s 2 a(2 s )=0 m / s 2 , a ( 3 s ) = 10 m / s 2 a(3 s )=10 m / s 2 , a ( 5 s ) = 30 m / s 2 a(5 s )=30 m / s 2 ;
  4. W chwili t = 1 s t=1 s , prędkość v ( 1 s ) = 15 m / s v(1 s )=15 m / s jest dodatnia i przyspieszenie jest także dodatnie, więc oba wektory są skierowane w tę samą stronę. Cząstka przyspiesza.

W chwili t = 2 s t=2 s prędkość wzrosła do v ( 2 s ) = 20 m / s v(2 s )=20 m / s , co odpowiada maksimum funkcji prędkości. W tym momencie przyspieszenie jest zerowe. Cząstka przez ten moment nie przyspiesza oraz nie zwalnia.

W chwili t = 3 s t=3 s prędkość wynosi v ( 3 s ) = 15 m / s v(3 s )=15 m / s oraz przyspieszenie jest ujemne. Prędkość cząstki spadła przy ujemnym przyspieszeniu. Oznacza to, że cząstka zwalnia (hamuje).

W chwili t = 5 s t=5 s prędkość jest równa v ( 5 s ) = 25 m / s v(5 s )=25 m / s , przyspieszenie jest dalej ujemne, ale bardziej niż poprzednio. Pomiędzy chwilami t = 3 s t=3 s oraz t = 5 s t=5 s cząstka zwolniła do zera, a potem zaczęła poruszać się w przeciwną stronę z ujemną prędkością. Teraz cząstka z powrotem przyspiesza, ale w przeciwnym kierunku.

Możemy te wyniki zilustrować na wykresie ukazanym na Rysunek 3.16 i w oparciu o metodę graficzną potwierdzić poprawność naszej analizy w punkcie (d).

Wykres A pokazuje prędkość w metrach na sekundę w funkcji czasu w sekundach. Prędkość rośnie od zera do 15 w punkcie 1 sekunda, osiąga maksimum równe 20 w punkcie 2 sekundy. Maleje do 15 w punkcie 3 sekundy i dalej maleje do -25 w punkcie 5 sekund. Wykres B pokazuje przyspieszenie w metrach na sekundę do kwadratu w funkcji czasu w sekundach. Wykres jest liniowy o ujemnym nachylenim. Zaczyna się od wartości 20 w punkcie zero, maleje do 10 w punkcie 1 sekunda, dalej do 0 w punkcie 2 sekundy, do -10 w punkcie 3 sekundy i do -30 w punkcie 5 sekund.
Rysunek 3.16 (a) Prędkość w funkcji czasu. Zaznaczono styczne w punktach odpowiadających chwilom 1, 2 i 3 s. Nachylenia prostych stycznych odpowiadają wielkościom przyspieszenia. W chwili t = 3 s t = 3 s prędkość jest dodatnia. W t = 5 s t = 5 s prędkość jest ujemna, co oznacza, że cząstka zmieniła kierunek ruchu. (b) Przyspieszenie w funkcji czasu. Porównując wartości przyspieszeń w punktach oznaczonych czarnymi kropkami z kątami nachylenia stycznych przechodzących przez odpowiadające punkty na wykresie prędkości widzimy pełną zgodność wyników.

Znaczenie

Dzięki jednoczesnym obliczeniom numerycznym oraz analizom graficznym prędkości i przyspieszenia możemy dowiedzieć się wiele o ruchu cząstki. Analiza numeryczna daje szczegółowe informacje o ruchu, przez co jest dobrym uzupełnieniem analizy graficznej. Miejsce zerowe funkcji przyspieszenia od czasu odpowiada maksimum (w przykładzie powyżej) zależności prędkości od czasu. Gdy przyspieszenie i prędkość mają zgodny zwrot, to cząstka przyspiesza. Gdy przyspieszenie maleje w czasie, zmierza do zera i w końcu zmienia znak, to prędkość osiąga swoje maksimum, po czym zaczyna maleć. Jeśli zaczekamy wystarczająco długo, także i prędkość zmieni znak, co oznacza, że cząstka zmienia kierunek swojego ruchu. Dobrym przykładem z życia sytuacji fizycznej, którą przed chwilą dyskutowaliśmy, mógłby być ruch samochodu, który rozpędza się do swojej prędkości maksymalnej, po czym zwalnia, zatrzymuje się i w końcu zawraca.

Sprawdź, czy rozumiesz 3.4

Samolot ląduje od wschodu na pasie lotniska położonym równoleżnikowo. Scharakteryzuj przyspieszenie samolotu.

Przyspieszenie wokół ciebie

Prawdopodobnie jest ci bliskie doświadczenie przyspieszenia podczas jazdy samochodem, gdy np. wciskasz pedał hamulca przed światłami, albo w ruszającej do góry windzie. Jednak przyspieszeń doznają także takie obiekty wokół ciebie, z którymi nigdy nie masz bezpośredniego kontaktu. W Tabeli 3.2 zebraliśmy przykładowe wartości przyspieszeń różnych obiektów we Wszechświecie.

Ciało doznające przyspieszenia Wartość przyspieszenia ( m/s 2 ) ( m/s 2 )
Szybki pociąg 0,25
Winda 2
Gepard 5
Ciało w spadku swobodnym przy powierzchni Ziemi, bez oporów powietrza 9,81
Statek kosmiczny podczas startu 29
Spadochroniarz w momencie otwarcia spadochronu 59
Odrzutowiec F16 wychodzący z nurkowania 79
Katapulta w samolocie myśliwskim 147
Szybki pocisk 982
Największe przyspieszenia wystrzeliwanych pocisków rakietowych 1 540
Skok pchły 3 200
Piłka baseballowa uderzona kijem 30 000
Zamykanie szczęk mrówki Odontomachus bauri 1 000 000
Proton w LHC 1,9 · 10 9 1,9· 10 9
Tabela 3.2 Przykładowe wartości przyspieszenia różnych ciał (Źródło: Wikipedia: Rzędy wielkości przyspieszeń)

W powyższej tabeli widzimy, jak bardzo różnią się wartości przyspieszeń różnych ciał, zupełnie niezależnie od ich wielkości czy masy. Przyspieszenie może też bardzo zmieniać się w trakcie ruchu ciała. Dragster (samochód wyścigowy o olbrzymim przyspieszeniu) osiąga gigantyczne przyspieszenia, ale tylko przez krótką chwilę tuż po starcie, dalej porusza się prawie ze stałą prędkością. Średnie przyspieszenie dragstera może kompletnie różnić się od przyspieszenia chwilowego w różnych momentach wyścigu. Na Rysunku 3.17 porównujemy graficznie przyspieszenie średnie i chwilowe dla dwóch zupełnie odmiennych przypadków fizycznych.

Wykres A pokazuje przyspieszenie w metrach na sekundę do kwadratu w funkcji czasu w sekundach. Wartości nieznacznie się wahają wokół ustalonej dodatniej wartości. Przyspieszenie średnie w całym przedziale czasu jest prawie takie samo jak w dowolnym punkcie. Wykres B pokazuje przyspieszenie w metrach na sekundę do kwadratu jako funkcję czasu w sekundach. Wartości zmieniają się drastycznie: od -4 do 5 w całym przedziale czasu. Przyspieszenie średnie może być zupełnie inne niż w dowolnym punkcie.
Rysunek 3.17 Wykres zależności przyspieszenia chwilowego od czasu dla dwóch ruchów prostoliniowych. (a) Przyspieszenie tylko nieznacznie zmienia się w czasie, ale zawsze pozostaje dodatnie. Średnie przyspieszenie obliczone dla całego czasu trwania ruchu jest niemal takie samo jak przyspieszenie chwilowe w dowolnym punkcie. (b) Przyspieszenie bardzo zmienia się w czasie. W tej sytuacji konieczne jest rozważanie małych przedziałów czasu (np. 0–1,0 s) o stałym lub niemal stałym przyspieszeniu, aby przyspieszenie średnie odpowiadało przyspieszeniu chwilowemu. Obliczone dla całego przedziału czasu przyspieszenie średnie byłoby niemal równe zero, podczas gdy przyspieszenie chwilowe jest całkiem duże w poszczególnych momentach.

Materiały pomocnicze

Dowiedz się więcej o wykresach położenia, prędkości i przyspieszenia dzięki zabawie ludzikiem sterowanym za pomocą myszki. Poruszaj ludzikiem do przodu lub do tyłu i obserwuj jak zmienia się jego położenie, prędkość i przyspieszenie na wykresie w funkcji czasu albo zadaj położenie, prędkość i przyspieszenie ludzika, a program wykona dla ciebie symulację ruchu ludzika. Odwiedź stronę i ucz się dzięki zabawie poruszającym się ludzikiem.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.