Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

6.8.1 Utilizar el modelo de crecimiento exponencial en aplicaciones, lo que incluye crecimiento de la población e interés compuesto.
6.8.2 Explicar el concepto de tiempo de duplicación.
6.8.3 Utilizar el modelo de decrecimiento exponencial en aplicaciones, lo que incluye decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton.
6.8.4 Explicar el concepto de vida media.

Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales es la de los modelos de crecimiento y decrecimiento. El crecimiento exponencial y el decrecimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés capitalizado continuamente hasta el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y el decrecimiento exponencial en el contexto de algunas de estas aplicaciones.

Modelo de crecimiento exponencial

Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma $y = y_{0} e^{k t},$ donde $y_{0}$ representa el estado inicial del sistema y $k$ es una constante positiva, denominada constante de crecimiento. Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos

y^{'} = k y_{0} e^{k t} = k y .

(6.27)

Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual de la función. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La Ecuación 6.27 involucra derivadas y se denomina ecuación diferencial. Aprenderemos más sobre esto en Introducción a las ecuaciones diferenciales.

Regla: modelo de crecimiento exponencial

Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático

y = y_{0} e^{k t},

donde $y_{0}$ representa el estado inicial del sistema y $k > 0$ es una constante, denominada constante de crecimiento.

Elcrecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Consideremos una población de bacterias, por ejemplo. Parece razonable que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la misma. Al fin y al cabo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crecerá la población. La Figura 6.79 y la Tabla 6.1 representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de $200$ y una constante de crecimiento de $0,02 .$ Observe que después de apenas $2$ horas $(120$ minutos), ¡la población es $10$ veces su tamaño original!

Esta figura es un gráfico. Es la curva exponencial para y=200e^0,02t. Se encuentra en el primer cuadrante y es una función creciente. Comienza en el eje y.

Figura 6.79 Un ejemplo de crecimiento exponencial de las bacterias.

Tiempo (min)	Tamaño de la población (n.º de bacterias)
$10$	$244$
$20$	$298$
$30$	$364$
$40$	$445$
$50$	$544$
$60$	$664$
$70$	$811$
$80$	$991$
$90$	$1.210$
$100$	$1.478$
$110$	$1.805$
$120$	$2.205$

Tabla 6.1 Crecimiento exponencial de una población bacteriana

Tenga en cuenta que estamos utilizando una función continua para modelar lo que es esencialmente un comportamiento discreto. En cualquier momento, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adopta valores no enteros. Cuando se utilizan modelos de crecimiento exponencial, siempre hay que tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando.

Ejemplo 6.42

Crecimiento de la población

Consideremos la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función $f (t) = 200 e^{0,02 t},$ donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de $5$ horas $(300$ minutos)? ¿Cuándo alcanza la población $100.000$ bacterias?

Solución

Tenemos $f (t) = 200 e^{0,02 t} .$ Entonces

f (300) = 200 e^{0,02 (300)} \approx 80686 .

Hay $80686$ bacterias en la población después de $5$ horas.

Para saber cuándo la población alcanza $100.000$ bacterias, resolvemos la ecuación

\begin{matrix} 100.000 & = & 200 e^{0,02 t} \\ 500 & = & e^{0,02 t} \\ ln 500 & = & 0,02 t \\ t & = & \frac{ln 500}{0,02} \approx 310,73. \end{matrix}

La población alcanza $100.000$ bacterias después de $310,73$ minutos.

Punto de control 6.42

Consideremos una población de bacterias que crece según la función $f (t) = 500 e^{0,05 t},$ donde $t$ se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo alcanza la población $100$ millones de bacterias?

Pasemos ahora a una aplicación financiera: el interés compuesto. El interés que no se capitaliza se denomina interés simple. El interés simple se paga una vez, al final del periodo especificado (normalmente $1$ año). Así que, si ponemos $$ 1.000$ en una cuenta de ahorros ganando el $2 %$ de interés simple anual, entonces al final del año tendremos

1.000 (1 + 0,02) = $ 1.020 .

El interés compuesto se paga varias veces al año, según el periodo de capitalización. Por lo tanto, si el banco compone los intereses cada $6$ meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de $6$ meses. En la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo por el importe inicial de $$ 1.000,$ sino también sobre los intereses obtenidos durante el primer semestre. Matemáticamente hablando, al final del año, tendremos

1.000 {(1 + \frac{0,02}{2})}^{2} = $ 1020,10 .

Del mismo modo, si los intereses se capitalizan cada $4$ meses, tendremos

1.000 {(1 + \frac{0,02}{3})}^{3} = $ 1020,13,

y si el interés se capitaliza diariamente $(365$ veces al año), tenemos $$ 1020,20 .$ Si ampliamos este concepto de manera que el interés se capitalice continuamente, después de $t$ años tendremos

1.000 \underset{n \to \infty}{lím} {(1 + \frac{0,02}{n})}^{n t} .

Ahora vamos a manipular esta expresión para tener una función de crecimiento exponencial. Recordemos que el número $e$ puede expresarse como un límite:

e = \underset{m \to \infty}{lím} {(1 + \frac{1}{m})}^{m} .

Con base en esto, queremos que la expresión dentro del paréntesis tenga la forma $(1 + 1 / m) .$ Supongamos que $n = 0,02 m .$ Tenga en cuenta que como $n \to \infty,$ $m \to \infty$ también. Entonces obtenemos

1.000 \underset{n \to \infty}{lím} {(1 + \frac{0,02}{n})}^{n t} = 1.000 \underset{m \to \infty}{lím} {(1 + \frac{0,02}{0,02 m})}^{0,02 m t} = 1.000 {[\underset{m \to \infty}{lím} {(1 + \frac{1}{m})}^{m}]}^{0,02 t} .

Reconocemos el límite dentro de los paréntesis como el número $e .$ Entonces, el saldo de nuestra cuenta bancaria después de $t$ años viene dado por $1.000 e^{0,02 t} .$ Al generalizar este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de $$ P$ gana intereses a una tasa de $r %,$ capitalizado continuamente; entonces el saldo de la cuenta después de $t$ años es

Saldo = P e^{r t} .

Ejemplo 6.43

Interés compuesto

A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga $5 %$ interés anual capitalizado continuamente. ¿Cuánto necesita invertir hoy el estudiante para tener $$ 1$ millón cuando se jubile a la edad de $65 ?$ ¿Y si más bien pudiera ganar $6 %$ interés anual capitalizado continuamente?

Solución

Tenemos

\begin{matrix} 1.000.000 & = & P e^{0,05 (40)} \\ P & = & 135.335,28. \end{matrix}

Debe invertir $$ 135.335,28$ a las $5 %$ interés.

Si en cambio puede ganar $6 %,$ entonces la ecuación se convierte en

\begin{matrix} 1.000.000 & = & P e^{0,06 (40)} \\ P & = & 90.717,95. \end{matrix}

En este caso, solo necesita invertir $$ 90.717,95 .$ Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir al $5 % .$ El hecho de que el interés se capitalice de forma continua magnifica en gran medida el efecto del $1 %$ de aumento de la tasa de interés.

Punto de control 6.43

Supongamos que en vez de invertir a la edad de $25$ , el estudiante espera hasta la edad de $35 .$ ¿Cuánto tendría que invertir al $5 % ?$ A $6 % ?$

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda en duplicarse permanece constante. En otras palabras, una población de bacterias tarda el mismo tiempo en crecer de $100$ a $200$ que el que tarda para crecer de $10.000$ al $20.000$ bacterias. Este tiempo se denomina tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, tenemos que saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos

\begin{matrix} 2 y_{0} & = & y_{0} e^{k t} \\ 2 & = & e^{k t} \\ ln 2 & = & k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Definición

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Viene dado por

Tiempo de duplicación = \frac{ln 2}{k} .

Ejemplo 6.44

Uso del tiempo de duplicación

Supongamos que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con $500$ peces. Después de $6$ meses, hay $1.000$ peces en el estanque. El propietario permitirá a sus amigos y vecinos pescar en su estanque cuando la población de peces alcance $10.000 .$ ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario?

Solución

Sabemos que la población de peces tarda $6$ meses para duplicar su número. Así, si t representa el tiempo en meses, por la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos $6 = (ln 2) / k .$ Entonces, $k = (ln 2) / 6 .$ Así, la población viene dada por $y = 500 e^{((ln 2) / 6) t} .$ Para saber cuándo la población alcanza $10.000$ peces, debemos resolver la siguiente ecuación:

\begin{matrix} 10.000 & = & 500 e^{(ln 2 / 6) t} \\ 20 & = & e^{(ln 2 / 6) t} \\ ln 20 & = & (\frac{ln 2}{6}) t \\ t & = & \frac{6 (ln 20)}{ln 2} \approx 25,93. \end{matrix}

Los amigos del dueño tienen que esperar $25,93$ meses (un poco más de $2$ años) para pescar en el estanque.

Punto de control 6.44

Supongamos que se necesita $9$ meses para que la población de peces en el Ejemplo 6.44 alcance $1.000$ peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario?

Modelo de decrecimiento exponencial

Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva $k,$ tenemos $y = y_{0} e^{− k t} .$

Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada al decrecimiento exponencial. Tenemos

y^{'} = − k y_{0} e^{− k t} = − k y .

Regla: modelo de decrecimiento exponencial

Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial se comportan según el modelo

y = y_{0} e^{− k t},

donde $y_{0}$ representa el estado inicial del sistema y $k > 0$ es una constante, llamada constante de decrecimiento.

La siguiente figura muestra un gráfico de una función representativa de decrecimiento exponencial.

Esta figura es un gráfico en el primer cuadrante. Es una curva exponencial decreciente. Comienza en el eje y en 2.000 y disminuye hacia el eje t.

Figura 6.80 Ejemplo de decrecimiento exponencial.

Veamos una aplicación física del decrecimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si $T$ representa la temperatura del objeto y $T_{a}$ representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces

T^{'} = − k (T - T_{a}) .

Hay que tener en cuenta que este no es el modelo correcto para el decrecimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional $T_{a}$ . Por suerte podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Supongamos que $y (t) = T (t) - T_{a} .$ Entonces $y^{'} (t) = T^{'} (t) - 0 = T^{'} (t),$ y nuestra ecuación se convierte en

y^{'} = − k y .

Por nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre y y su derivada conduce a un decrecimiento exponencial. Por lo tanto,

y = y_{0} e^{− k t},

y vemos que

\begin{matrix} T - T_{a} & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} \\ T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \end{matrix}

donde $T_{0}$ representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.45

Ley de enfriamiento de Newton

Según los baristas experimentados, la temperatura óptima para servir el café está entre $155 ° F$ y $175 ° F .$ Supongamos que el café se vierte a una temperatura de $200 ° F,$ y después de $2$ minutos en una habitación a $70 ° F$ el café se enfría a $180 ° F .$ ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano.

Solución

Tenemos

\begin{matrix} T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \\ 180 & = & (200 - 70) e^{− k (2)} + 70 \\ 110 & = & 130 e^{−2 k} \\ \frac{11}{13} & = & e^{−2 k} \\ ln \frac{11}{13} & = & −2 k \\ ln 11 - ln 13 & = & −2 k \\ k & = & \frac{ln 13 - ln 11}{2} . \end{matrix}

Entonces, el modelo es

T = 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 .

El café alcanza $175 ° F$ cuando

\begin{matrix} 175 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 105 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{21}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln \frac{21}{26} & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ ln 21 - ln 26 & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ t & = & \frac{2 (ln 21 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 2,56. \end{matrix}

El café puede servirse alrededor de $2,5$ minutos después de ser vertido. El café alcanza $155 ° F$ en

\begin{matrix} 155 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 85 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{17}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln 17 - ln 26 & = & (\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t \\ t & = & \frac{2 (ln 17 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 5,09. \end{matrix}

El café está demasiado frío para ser servido cerca de $5$ minutos después de ser vertido.

Punto de control 6.45

Supongamos que la habitación está más cálida $(75 ° F)$ y, después de $2$ minutos, el café se ha enfriado solo a $185 ° F .$ ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano.

Al igual que los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad llega a la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos

\begin{matrix} \frac{y_{0}}{2} & = & y_{0} e^{− k t} \\ \frac{1}{2} & = & e^{− k t} \\ - ln 2 & = & − k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Nota: Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo.

Definición

Si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que la misma tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por

Semivida = \frac{ln 2}{k} .

Ejemplo 6.46

Datación por radiocarbono

Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decrecimiento exponencial es la datación por carbono $El carbono- 14$ decae (emite una partícula radiactiva) a un ritmo exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono había originalmente en un objeto y cuánto carbono queda, podemos determinar la edad del objeto. La semivida del $carbono- 14$ es, aproximadamente, $5730$ años, lo que significa que después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del $carbono- 14$ original al nuevo y no radiactivo $nitrógeno 14 .$ Si tenemos $100$ g $carbono- 14$ hoy, cuánto quedará en $50$ años? Si un artefacto que originalmente contenía $100$ g de carbono contiene ahora $10$ g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana.

Solución

Tenemos

\begin{matrix} 5730 & = & \frac{ln 2}{k} \\ k & = & \frac{ln 2}{5730} . \end{matrix}

Entonces, el modelo dice

y = 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} .

En $50$ años, tenemos

\begin{matrix} y & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) (50)} \\ \approx & 99,40 . \end{matrix}

Por lo tanto, en $50$ años, $99,40$ g de $carbono- 14$ permanecerán.

Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver

\begin{matrix} 10 & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ \frac{1}{10} & = & e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ t & \approx & 19.035. \end{matrix}

El artefacto tiene aproximadamente $19.000$ años.

Punto de control 6.46

Si tenemos $100$ g de $carbono- 14,$ ¿cuánto queda después de $t$ años? Si un artefacto que originalmente contenía $100$ g de carbono contiene ahora $20 g$ de carbono, ¿cuántos años tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana.

Sección 6.8 ejercicios

¿Verdadero o falso? Si es cierto, demuéstrelo. Si es falso, halle la respuesta correcta.

348.

El tiempo de duplicación para $y = e^{c t}$ ¿es $(ln (2)) / (ln (c)) .$

349.

Si invierte $$ 500,$ a una tasa de interés anual de $3 %$ obtiene más dinero en el primer año que a $2,5 %$ de interés continuo.

350.

Si deja una tetera a $100 ° C$ a temperatura ambiente $(25 ° C)$ y una olla idéntica en el refrigerador $(5 ° C),$ con la $k = 0,02,$ el té en el refrigerador alcanza una temperatura potable $(70 ° C)$ en más de $5$ minutos antes que el té a temperatura ambiente.

351.

Dada una vida media de t años, la constante $k$ por $y = e^{k t}$ se calcula mediante $k = ln (1 / 2) / t .$

En los siguientes ejercicios, utilice $y = y_{0} e^{k t} .$

352.

Si un cultivo de bacterias se duplica en $3$ horas, ¿cuántas horas se tarda para multiplicarse por $10 ?$

353.

Si las bacterias se multiplican por $10$ en $10$ horas, ¿cuántas horas necesitan para aumentar por $100 ?$

354.

¿Qué antigüedad tiene un cráneo que contiene la quinta parte de radiocarbono de un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es $5730$ años.

355.

Si una reliquia contiene el $90 %$ de radiocarbono que contendría un material nuevo, ¿podría proceder de la época de Cristo (hace aproximadamente $2000$ años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es $5730$ años.

356.

La población de El Cairo creció de $5$ millones a $10$ millones en $20$ años. Utilice un modelo exponencial para encontrar en qué momento la población fue de $8$ millones de dólares.

357.

Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles crecen a $1 %$ y $1,4 %$ al año, respectivamente. A partir de $8$ millones (Nueva York) y $6$ millones (Los Ángeles), ¿cuándo se igualan las poblaciones?

358.

Supongamos que el valor de $$ 1$ en yenes japoneses disminuye en $2 %$ por año. A partir de $$ 1 = ¥ 250,$ ¿cuándo serán $$ 1 = ¥ 1 ?$

359.

El efecto de la publicidad decrece exponencialmente. Si los valores de $40 %$ de la población recuerda un nuevo producto después de $3$ días, ¿cuánto tiempo el $20 %$ lo recordará?

360.

Si los valores de $y = 1.000$ a las $t = 3$ y $y = 3.000$ a las $t = 4,$ ¿cuál era $y_{0}$ en $t = 0 ?$

361.

Si $y = 100$ a las $t = 4$ en tanto que $y = 10$ a las $t = 8,$ ¿cuándo es $y = 1 ?$

362.

Si un banco ofrece un interés anual de $7,5 %$ o un interés continuo de $7,25 %,$ ¿cuál tiene el mejor rendimiento anual?

363.

¿Qué tipo de interés continuo tiene el mismo rendimiento que un interés anual de $9 % ?$

364.

Si deposita $$ 5.000$ al $8 %$ interés anual, en cuántos años se puede retirar $$ 500$ (a partir del primer año) sin quedarse sin dinero?

365.

Usted está tratando de ahorrar $$ 50 000$ en $20$ años para la matrícula universitaria de su hijo. Si se trata de un interés continuo al $10 %,$ ¿cuál es el monto de la inversión inicial?

366.

Usted está enfriando un pavo que al sacarlo del horno tenía una temperatura interna de $165 ° F .$ Después de $10$ minutos de reposo del pavo en un apartamento a $70 ° F$ su temperatura alcanza $155 ° F .$ ¿Cuál es la temperatura del pavo $20$ minutos después de sacarlo del horno?

367.

Está intentando descongelar unas verduras que están a una temperatura de $1 ° F .$ Para descongelar las verduras de forma segura, hay que ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura de $44 ° F .$ Revisa sus verduras $2$ horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que ahora están a $12 ° F .$ Trace la curva de temperatura resultante y utilícela para determinar el momento en que las verduras alcanzan $33 ° F .$

368.

Es un arqueólogo y le dan un hueso que supuestamente es de un tiranosaurio Rex. Usted sabe que esos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácea $(146$ millones de años a $65$ millones de años), y descubre por la datación por radiocarbono que hay un $0,000001 %$ de radiocarbono. ¿El hueso es del Cretáceo?

369.

El combustible que consume un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de $24.000$ años. Si los valores de $1$ barril que contiene $10 kg$ de plutonio-239 está sellado, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden $10 g$ de plutonio-239?

En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población mundial por décadas.

Años desde 1950	Población (millones)
$0$	$2.556$
$10$	$3.039$
$20$	$3.706$
$30$	$4.453$
$40$	$5.279$
$50$	$6.083$
$60$	$6.849$

Fuente: http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.

370.

[T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma $P (t) = a e^{b t}$ viene dada por $P (t) = 2.686 e^{0,01604 t} .$ Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

371.

[T] Calcule y grafique la derivada $y^{'}$ de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento?

372.

[T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento?

373.

[T] Halle la fecha prevista en la que la población alcanza $10$ mil millones. Utilizando sus respuestas anteriores sobre la primera y la segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no sirve para predecir el futuro.

En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población de San Francisco en el siglo XIX.

Años desde 1850	Población (miles)
$0$	$21,00$
$10$	$56,80$
$20$	$149,5$
$30$	$234,0$

Fuente: http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.

374.

[T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma $P (t) = a e^{b t}$ viene dada por $P (t) = 35,26 e^{0,06407 t} .$ Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

375.

[T] Calcule y grafique la derivada $y^{'}$ de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? ¿Hay algún valor en el que el aumento sea máximo?

376.

[T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento?

6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial

Modelo de crecimiento exponencial

Crecimiento de la población

Solución

Interés compuesto

Solución

Uso del tiempo de duplicación

Solución

Modelo de decrecimiento exponencial

Ley de enfriamiento de Newton

Solución

Datación por radiocarbono

Solución

Sección 6.8 ejercicios