Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas

Objetivos de aprendizaje

1.7.1 Integrar funciones que dan lugar a funciones trigonométricas inversas.

En esta sección nos centramos en las integrales que dan lugar a funciones trigonométricas inversas. Ya hemos trabajado con estas funciones. Recordemos que en Funciones y gráficos las funciones trigonométricas no son biunívocas, a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con las inversas de funciones trigonométricas, siempre hay que tener en cuenta estas restricciones. También en Derivadas, desarrollamos fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas que se desarrollaron allí generan directamente fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas.

Integrales que dan lugar a funciones senoidales inversas

Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula de la integral inversa de seno.

Regla: fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas

Las siguientes fórmulas de integración generan funciones trigonométricas inversas. Supongamos que $a > 0$ :

$\int \frac{d u}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = {sen}^{−1} \frac{u}{| a |} + C$
(1.23)
$\int \frac{d u}{a^{2} + u^{2}} = \frac{1}{a} {tan}^{−1} \frac{u}{a} + C$
(1.24)
$\int \frac{d u}{u \sqrt{u^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{| a |} {sec}^{−1} \frac{| u |}{a} + C$ (carbono 14).
(1.25)

Prueba

Supongamos que $y = {sen}^{−1} \frac{x}{a} .$ Entonces $a sen y = x .$ Ahora utilicemos la diferenciación implícita. Obtenemos

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (a sen y) & = & \frac{d}{d x} (x) \\ a cos y \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{a cos y} . \end{matrix}

Para $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, cos y \geq 0 .$ Así, aplicando la identidad pitagórica ${sen}^{2} y + {cos}^{2} y = 1,$ tenemos $cos y = \sqrt{1 - {sen}^{2} y} .$ Esto da

\begin{matrix} \frac{1}{a cos y} & = \frac{1}{a \sqrt{1 - {sen}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - a^{2} {sen}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} . \end{matrix}

Entonces para $− a \leq x \leq a,$ y generalizando a u, tenemos

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} d u = {sen}^{−1} (\frac{u}{a}) + C .

□

Ejemplo 1.49

Evaluación de una integral definida mediante funciones trigonométricas inversas

Evalúe la integral definida $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$

Solución

Podemos ir directamente a la fórmula de la antiderivada en la regla de las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, y luego evaluar la integral definida. Tenemos

\begin{matrix} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & = {sen}^{−1} x |_{0}^{\frac{1}{2}} \\ = {sen}^{−1} \frac{1}{2} - {sen}^{−1} 0 \\ = \frac{π}{6} - 0 \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

Punto de control 1.40

Halle la antiderivada de $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} .$

Ejemplo 1.50

Encontrar una antiderivada que implique una función trigonométrica inversa

Evalúe la integral $\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} .$

Solución

Sustituya $u = 3 x .$ Entonces $d u = 3 d x$ y tenemos

\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} .

Aplicando la fórmula con $a = 2,$ obtenemos

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} & = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} \\ = \frac{1}{3} {sen}^{−1} (\frac{u}{2}) + C \\ = \frac{1}{3} {sen}^{−1} (\frac{3 x}{2}) + C . \end{matrix}

Punto de control 1.41

Halle la integral indefinida utilizando una función trigonométrica inversa y la sustitución de $\int \frac{d x}{\sqrt{9 - x^{2}}} .$

Ejemplo 1.51

Evaluación de una integral definida

Evalúe la integral definida $\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} .$

Solución

El formato del problema coincide con la fórmula de seno inverso. Por lo tanto,

\begin{matrix} \int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} & = {sen}^{−1} u |_{0}^{\sqrt{3} / 2} \\ = [{sen}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{2})] - [{sen}^{−1} (0)] \\ = \frac{π}{3} . \end{matrix}

Integrales que resultan en otras funciones trigonométricas inversas

Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas solo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En vez de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice –1 y evalúe la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinaremos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa.

Ejemplo 1.52

Encontrar una antiderivada que implique la función tangente inversa

Encontrar una antiderivada de $\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x .$

Solución

Comparando este problema con las fórmulas indicadas en la regla sobre las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, el integrando se parece a la fórmula de ${tan}^{−1} u + C .$ Así que utilizamos la sustitución, suponiendo que $u = 2 x,$ entonces $d u = 2 d x$ y $1 / 2 d u = d x .$ Entonces, tenemos

\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{2} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {tan}^{–1} (2 x) + C .

Punto de control 1.42

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada $\int \frac{d x}{25 + 4 x^{2}} .$

Ejemplo 1.53

Aplicación de las fórmulas de integración

Encuentre la antiderivada de $\int \frac{1}{9 + x^{2}} d x .$

Solución

Aplique la fórmula con $a = 3 .$ Entonces,

\int \frac{d x}{9 + x^{2}} = \frac{1}{3} {tan}^{–1} (\frac{x}{3}) + C .

Punto de control 1.43

Halle la antiderivada de $\int \frac{d x}{16 + x^{2}} .$

Ejemplo 1.54

Evaluación de una integral definida

Evalúe la integral definida $\int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} .$

Solución

Utilice la fórmula de la tangente inversa. Tenemos

\begin{matrix} \int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} & = {tan}^{−1} x |_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \\ = [{tan}^{–1} (\sqrt{3})] - [{tan}^{–1} (\frac{\sqrt{3}}{3})] \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

Punto de control 1.44

Evalúe la integral definida $\int_{0}^{2} \frac{d x}{4 + x^{2}} .$

Sección 1.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral en términos de una función trigonométrica inversa.

391.

$\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

392.

$\int_{−1 / 2}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

393.

$\int_{\sqrt{3}}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

394.

$\int_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

395.

$\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

396.

$\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida, utilizando las sustituciones adecuadas.

397.

$\int \frac{d x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

398.

$\int \frac{d x}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

399.

$\int \frac{d x}{9 + x^{2}}$

400.

$\int \frac{d x}{25 + 16 x^{2}}$

401.

$\int \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 9}}$

402.

$\int \frac{d x}{| x | \sqrt{4 x^{2} - 16}}$

403.

Explique la relación $− {cos}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} = {sen}^{−1} t + C .$ ¿Es cierto, en general, que ${cos}^{−1} t = − {sen}^{−1} t ?$

404.

Explique la relación ${sec}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} = − {csc}^{−1} t + C .$ ¿Es cierto, en general, que ${sec}^{−1} t = − {csc}^{−1} t ?$

405.

Explique qué falla en la siguiente integral: $\int_{1}^{2} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} .$

406.

Explique qué falla en la siguiente integral: $\int_{–1}^{1} \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} .$

En los siguientes ejercicios, resuelva la antiderivada $\int f$ de f con $C = 0,$ luego use una calculadora para graficar f y la antiderivada en el intervalo dado $[a, b] .$ Identifique un valor de C tal que sumando C a la antiderivada se recupere la integral definida $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$

407.

[T] $\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$ en $[−3, 3]$

408.

[T] $\int \frac{9}{9 + x^{2}} d x$ en $[−6, 6]$

409.

[T] $\int \frac{cos x}{4 + {sen}^{2} x} d x$ en $[−6, 6]$

410.

[T] $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x$ en $[−6, 6]$

En los siguientes ejercicios, calcule la antiderivada utilizando las sustituciones adecuadas.

411.

$\int \frac{{sen}^{−1} t d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

412.

$\int \frac{d t}{{sen}^{−1} t \sqrt{1 - t^{2}}}$

413.

$\int \frac{{tan}^{–1} (2 t)}{1 + 4 t^{2}} d t$

414.

$\int \frac{t {tan}^{–1} (t^{2})}{1 + t^{4}} d t$

415.

$\int \frac{{sec}^{−1} (\frac{t}{2})}{| t | \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

416.

$\int \frac{t {sec}^{−1} (t^{2})}{t^{2} \sqrt{t^{4} - 1}} d t$

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la antiderivada $\int f$ con la $C = 0$ en el intervalo dado $[a, b] .$ Aproxime un valor de C, si es posible, tal que sumando C a la antiderivada se obtenga el mismo valor que la integral definida $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$

417.

[T] $\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x$ en $[2, 6]$

418.

[T] $\int \frac{1}{(2 x + 2) \sqrt{x}} d x$ en $[0, 6]$

419.

[T] $\int \frac{(sen x + x cos x)}{1 + x^{2} {sen}^{2} x} d x$ en $[−6, 6]$

420.

[T] $\int \frac{2 e^{−2 x}}{\sqrt{1 - e^{−4 x}}} d x$ en $[0, 2]$

421.

[T] $\int \frac{1}{x + x {ln}^{2} x}$ en $[0, 2]$

422.

[T] $\int \frac{{sen}^{−1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ en $[−1, 1]$

En los siguientes ejercicios, calcule cada integral utilizando las sustituciones adecuadas.

423.

$\int \frac{e^{t}}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

424.

$\int \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}} d t$

425.

$\int \frac{d t}{t \sqrt{1 - {ln}^{2} t}}$

426.

$\int \frac{d t}{t (1 + {ln}^{2} t)}$ grandes.

427.

$\int \frac{{cos}^{−1} (2 t)}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} d t$

428.

$\int \frac{e^{t} {cos}^{−1} (e^{t})}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

En los siguientes ejercicios, calcule cada integral definida.

429.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{tan ({sen}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

430.

$\int_{1 / 4}^{1 / 2} \frac{tan ({cos}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

431.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{sen ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

432.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{cos ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

433.

Para $A > 0,$ calcule $I (A) = \int_{− A}^{A} \frac{d t}{1 + t^{2}}$ y evalúe $\underset{a \to \infty}{lím} I (A),$ el área bajo el gráfico de $\frac{1}{1 + t^{2}}$ en $[− \infty, \infty] .$

434.

Para $1 < B < \infty,$ calcule $I (B) = \int_{1}^{B} \frac{d t}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ y evalúe $\underset{B \to \infty}{lím} I (B),$ el área bajo el gráfico de $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ en $[1, \infty) .$

435.

Utilice la sustitución $u = \sqrt{2} cot x$ y la identidad $1 + {cot}^{2} x = {csc}^{2} x$ para evaluar $\int \frac{d x}{1 + {cos}^{2} x} .$ (Pista: Multiplique la parte superior e inferior del integrando por ${csc}^{2} x .).$

436.

[T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de $f (x) = 2 x^{2} - 1$ y $g (x) = {(1 + 4 x^{2})}^{−3 / 2}$ se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales.

437.

47. [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de $f (x) = x^{2} - 1$ y ${g (x) = (x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales.

438.

Utilice el siguiente gráfico para demostrar que $\int_{0}^{x} \sqrt{1 - t^{2}} d t = \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} {sen}^{−1} x .$