Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 2

1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas

Cálculo volumen 21.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Integración
    1. Introducción
    2. 1.1 Aproximación de áreas
    3. 1.2 La integral definida
    4. 1.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 1.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 1.5 Sustitución
    7. 1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 1.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 2.1 Áreas entre curvas
    3. 2.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 2.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 2.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 2.5 Aplicaciones físicas
    7. 2.6 Momentos y centros de masa
    8. 2.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 2.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Técnicas de integración
    1. Introducción
    2. 3.1 Integración por partes
    3. 3.2 Integrales trigonométricas
    4. 3.3 Sustitución trigonométrica
    5. 3.4 Fracciones parciales
    6. 3.5 Otras estrategias de integración
    7. 3.6 Integración numérica
    8. 3.7 Integrales impropias
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Introducción a las ecuaciones diferenciales
    1. Introducción
    2. 4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales
    3. 4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos
    4. 4.3 Ecuaciones separables
    5. 4.4 La ecuación logística
    6. 4.5 Ecuaciones lineales de primer orden
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Secuencias y series
    1. Introducción
    2. 5.1 Secuencias
    3. 5.2 Serie infinita
    4. 5.3 Las pruebas de divergencia e integral
    5. 5.4 Pruebas de comparación
    6. 5.5 Series alternadas
    7. 5.6 Criterios del cociente y la raíz
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Serie de potencias
    1. Introducción
    2. 6.1 Series y funciones de potencia
    3. 6.2 Propiedades de las series de potencia
    4. 6.3 Series de Taylor y Maclaurin
    5. 6.4 Trabajar con la serie de Taylor
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 7.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 7.3 Coordenadas polares
    5. 7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 7.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 1.6.1 Integrar funciones que impliquen funciones exponenciales.
  • 1.6.2 Integrar funciones que impliquen funciones logarítmicas.

Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan para modelar el crecimiento de la población, el crecimiento celular y el crecimiento financiero, así como la depreciación, el decaimiento radiactivo y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta sección, exploraremos la integración con funciones exponenciales y logarítmicas.

Integrales de funciones exponenciales

La función exponencial es quizás la función más eficiente en cuanto a las operaciones de cálculo. La función exponencial y=ex,y=ex, es su propia derivada y su propia integral.

Regla: integrales de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales se pueden integrar mediante las siguientes fórmulas.

exdx=ex+Caxdx=axlna+Cexdx=ex+Caxdx=axlna+C
(1.21)

Ejemplo 1.37

Hallar una antiderivada de una función exponencial

Halle la antiderivada de la función exponencial ex.

Punto de control 1.31

Halle la antiderivada de la función mediante la sustitución: x2 e−2x3.x2 e−2x3.

Un error común al tratar con expresiones exponenciales es tratar el exponente en e de la misma manera que tratamos los exponentes en las expresiones polinómicas. No podemos utilizar la regla de la potencia para el exponente en e. Esto puede ser especialmente confuso cuando tenemos tanto exponenciales como polinomios en la misma expresión, como en el punto de control anterior. En estos casos, siempre debemos verificar que estemos utilizando las reglas correctas en las funciones que estamos integrando.

Ejemplo 1.38

Raíz cuadrada de una función exponencial

Halle la antiderivada de la función exponencial ex1+ex.ex1+ex.

Punto de control 1.32

Encuentre la antiderivada de ex(3ex2 )2 .ex(3ex2 )2 .

Ejemplo 1.39

Uso de la sustitución con una función exponencial

Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida 3x2 e2 x3dx.3x2 e2 x3dx.

Punto de control 1.33

Evalúe la integral indefinida 2 x3ex4dx.2 x3ex4dx.

Como se mencionó al principio de esta sección, las funciones exponenciales se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real. El número e se asocia a menudo con el crecimiento compuesto o acelerado, como hemos visto en las secciones anteriores sobre la derivada. Aunque la derivada representa una tasa de cambio o una tasa de crecimiento, la integral representa el cambio total o el crecimiento total. Veamos un ejemplo en el que la integración de una función exponencial resuelve una aplicación empresarial común.

Una función precio-demanda nos indica la relación entre la cantidad de la demanda de un producto y el precio del mismo. En general, el precio disminuye a medida que aumenta la cantidad demandada. La función precio-demanda marginal es la derivada de la función precio-demanda y nos indica la rapidez con la que cambia el precio a un nivel de producción determinado. Las empresas utilizan estas funciones para determinar la elasticidad del precio de la demanda y para determinar si el cambio en los niveles de producción sería rentable.

Ejemplo 1.40

Hallar una ecuación precio-demanda

Halle la ecuación precio-demanda para una marca concreta de pasta de dientes en una cadena de supermercados cuando la demanda es de 50 tubos por semana a 2,35 dólares el tubo, dado que la función marginal precio-demanda, p(x),p(x), para un número x de tubos por semana, se da como

p'(x)=−0,015e−0,01x.p'(x)=−0,015e−0,01x.

Si la cadena de supermercados vende 100 tubos a la semana, ¿qué precio debe fijar?

Ejemplo 1.41

Evaluación de una integral definida que incluye una función exponencial

Evalúe la integral definida 12 e1xdx.12 e1xdx.

Punto de control 1.34

Evalúe 02 e2 xdx.02 e2 xdx.

Ejemplo 1.42

Crecimiento de las bacterias en un cultivo

Supongamos que la tasa de crecimiento de las bacterias en una placa de Petri viene dada por q(t)=3t,q(t)=3t, donde t está expresado en horas y q(t)q(t) en miles de bacterias por hora. Si un cultivo comienza con 10.000 bacterias, halle una función Q(t)Q(t) que dé el número de bacterias en la placa de Petri en cualquier tiempo t. ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 2 horas?

Punto de control 1.35

A partir del Ejemplo 1.42, supongamos que las bacterias crecen a una tasa de q(t)=2 t.q(t)=2 t. Supongamos que el cultivo aún comienza con 10.000 bacterias. Halle Q(t).Q(t). ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 3 horas?

Ejemplo 1.43

Crecimiento de la población de moscas de la fruta

Supongamos que una población de moscas de la fruta aumenta a un ritmo de g(t)=2 e0,02t,g(t)=2 e0,02t, de moscas al día. Si la población inicial de moscas de la fruta es de 100 individuos, ¿cuántas moscas hay en la población después de 10 días?

Punto de control 1.36

Supongamos que la tasa de crecimiento de la población de moscas viene dada por g(t)=e0,01t,g(t)=e0,01t, y la población inicial es de 100 moscas. ¿Cuántas moscas hay en la población después de 15 días?

Ejemplo 1.44

Evaluación de una integral definida mediante la sustitución

Evalúe la integral definida utilizando la sustitución 12 e1/xx2 dx.12 e1/xx2 dx.

Punto de control 1.37

Evalúe la integral definida utilizando la sustitución 12 1x3e4x−2dx.12 1x3e4x−2dx.

Integrales con funciones logarítmicas

Integrar funciones de la forma f(x)=x−1f(x)=x−1 dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, tales como f(x)=lnxf(x)=lnx y f(x)=logax,f(x)=logax, también se incluyen en la regla.

Regla: fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas

Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para evaluar integrales que implican funciones logarítmicas.

x−1dx=ln|x|+Clnxdx=xlnxx+C=x(lnx1)+Clogaxdx=xlna(lnx1)+Cx−1dx=ln|x|+Clnxdx=xlnxx+C=x(lnx1)+Clogaxdx=xlna(lnx1)+C
(1.22)

Ejemplo 1.45

Encontrar una antiderivada que implique lnxlnx

Halle la antiderivada de la función 3x10.3x10.

Punto de control 1.38

Encuentre la antiderivada de 1x+2 .1x+2 .

Ejemplo 1.46

Encontrar una antiderivada de una función racional

Encuentre la antiderivada de 2 x3+3xx4+3x2 .2 x3+3xx4+3x2 .

Ejemplo 1.47

Hallar una antiderivada de una función logarítmica

Halle la antiderivada de la función logarítmica log2 x.log2 x.

Punto de control 1.39

Encuentre la antiderivada de log3x.log3x.

El Ejemplo 1.48 es una integral definida de una función trigonométrica. Con las funciones trigonométricas, a menudo tenemos que aplicar una propiedad trigonométrica o una identidad antes de avanzar. Hallar la forma correcta del integrando suele ser la clave para una integración sin problemas.

Ejemplo 1.48

Evaluación de una integral definida

Calcule la integral definida de 0π/2 senx1+cosxdx.0π/2 senx1+cosxdx.

Sección 1.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule cada integral indefinida.

320.

e 2 x d x e 2 x d x

321.

e −3 x d x e −3 x d x

322.

2 x d x 2 x d x

323.

3 x d x 3 x d x

324.

1 2 x d x 1 2 x d x

325.

2 x d x 2 x d x

326.

1 x 2 d x 1 x 2 d x

327.

1 x d x 1 x d x

En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida utilizando las sustituciones adecuadas.

328.

ln x x d x ln x x d x

329.

d x x ( ln x ) 2 d x x ( ln x ) 2

330.

dxxlnx(x>1)dxxlnx(x>1) grandes.

331.

dxxlnxln(lnx)dxxlnxln(lnx) grandes.

332.

tan θ d θ tan θ d θ

333.

cos x x sen x x cos x d x cos x x sen x x cos x d x

334.

ln ( sen x ) tan x d x ln ( sen x ) tan x d x

335.

ln ( cos x ) tan x d x ln ( cos x ) tan x d x

336.

x e x 2 d x x e x 2 d x

337.

x 2 e x 3 d x x 2 e x 3 d x

338.

e sen x cos x d x e sen x cos x d x

339.

e tan x sec 2 x d x e tan x sec 2 x d x

340.

e ln x d x x e ln x d x x

341.

e ln ( 1 t ) 1 t d t e ln ( 1 t ) 1 t d t

En los siguientes ejercicios, verifique por diferenciación que lnxdx=x(lnx1)+C,lnxdx=x(lnx1)+C, entonces utilice los cambios de variables apropiados para calcular la integral.

342.

x lnxdxx lnxdx (Pista:x lnxdx=12 xln(x2 )dx; x>0)(Pista:x lnxdx=12 xln(x2 )dx; x>0)

343.

x 2 ln( x 2 ) d x x 2 ln( x 2 ) d x

344.

lnxx2 dxlnxx2 dx (Pista:Establezcau=1x.).(Pista:Establezcau=1x.). grandes.

345.

lnxxdxlnxxdx (Pista:Establezcau=x.).(Pista:Establezcau=x.). grandes.

346.

Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y=1ty=1t a partir de t=1t=1 a ex y evalúe la integral.

347.

Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y=ety=et entre t=0t=0 y t=lnx,t=lnx, y evalúe la integral.

En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos.

348.

tan ( 2 x ) d x tan ( 2 x ) d x

349.

sen ( 3 x ) cos ( 3 x ) sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x sen ( 3 x ) cos ( 3 x ) sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x

350.

x sen ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x x sen ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x

351.

x csc ( x 2 ) d x x csc ( x 2 ) d x

352.

ln ( cos x ) tan x d x ln ( cos x ) tan x d x

353.

ln ( csc x ) cot x d x ln ( csc x ) cot x d x

354.

e x e x e x + e x d x e x e x e x + e x d x

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida.

355.

1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x

356.

0 π / 4 tan x d x 0 π / 4 tan x d x

357.

0 π / 3 sen x cos x sen x + cos x d x 0 π / 3 sen x cos x sen x + cos x d x

358.

π / 6 π / 2 csc x d x π / 6 π / 2 csc x d x

359.

π / 4 π / 3 cot x d x π / 4 π / 3 cot x d x

En los siguientes ejercicios, integre utilizando la sustitución indicada.

360.

x x 100 d x ; u = x 100 x x 100 d x ; u = x 100

361.

y 1 y + 1 d y ; u = y + 1 y 1 y + 1 d y ; u = y + 1

362.

1 x 2 3 x x 3 d x ; u = 3 x x 3 1 x 2 3 x x 3 d x ; u = 3 x x 3

363.

sen x + cos x sen x cos x d x ; u = sen x cos x sen x + cos x sen x cos x d x ; u = sen x cos x

364.

e 2 x 1 e 2 x d x ; u = e 2 x e 2 x 1 e 2 x d x ; u = e 2 x

365.

ln ( x ) 1 ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x ln ( x ) 1 ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x

En los siguientes ejercicios, ¿la aproximación del extremo derecho sobrestima o subestima el área exacta? Calcule la estimación del punto extremo derecho R50 y resuelva el área exacta.

366.

[T] y=exy=ex en [0,1][0,1]

367.

[T] y=exy=ex en [0,1][0,1]

368.

[T] y=ln(x)y=ln(x) en [1,2 ][1,2 ]

369.

[T] y=x+1x2 +2 x+6y=x+1x2 +2 x+6 en [0,1][0,1]

370.

[T] y=2 xy=2 x en [−1,0][−1,0]

371.

[T] y=2 xy=2 x en [0,1][0,1]

En los siguientes ejercicios, f(x)0f(x)0 por axb.axb. Halle el área bajo el gráfico de f(x)f(x) entre los valores dados a y b mediante la integración.

372.

f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100 f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100

373.

f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64 f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64

374.

f ( x ) = 2 x ; a = 1 , b = 2 f ( x ) = 2 x ; a = 1 , b = 2

375.

f ( x ) = 2 x ; a = 3 , b = 4 f ( x ) = 2 x ; a = 3 , b = 4

376.

Halle el área bajo el gráfico de la función f(x)=xex2 f(x)=xex2 entre x=0x=0 y x=5.x=5.

377.

Calcule la integral de f(x)=xex2 f(x)=xex2 y calcule el menor valor de N tal que el área debajo del gráfico f(x)=xex2 f(x)=xex2 entre x=Nx=N y x=N+1x=N+1 es, como máximo, de 0,01.

378.

Halle el límite, cuando N tiende a infinito, del área bajo el gráfico de f(x)=xex2 f(x)=xex2 entre x=0x=0 y x=N.x=N.

379.

Demuestre que abdtt=1/b1/adttabdtt=1/b1/adtt cuando 0<ab.0<ab.

380.

Supongamos que f(x)>0f(x)>0 para toda x y que f y g son diferenciables. Utilice la identidad fg=eglnffg=eglnf y la regla de la cadena para encontrar la derivada de fg.fg.

381.

Utilice el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de h(x)=xx(1+lnx)h(x)=xx(1+lnx) y evalúe 2 3xx(1+lnx)dx.2 3xx(1+lnx)dx.

382.

Demuestre que si c>0,c>0, entonces la integral de 1/x1/x de ac a bc (0<a<b)(0<a<b) es la misma que la integral de 1/x1/x de a a b.

Los siguientes ejercicios pretenden derivar las propiedades fundamentales del logaritmo natural partiendo de la definición ln(x)=1xdtt,ln(x)=1xdtt, utilizando las propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones.

383.

Utilice la identidad ln(x)=1xdttln(x)=1xdtt para derivar la identidad ln(1x)=lnx.ln(1x)=lnx.

384.

Utilice un cambio de variable en la integral 1xy1tdt1xy1tdt para demostrar que lnxy=lnx+lnyparax,y>0.lnxy=lnx+lnyparax,y>0.

385.

Utilice la identidad lnx=1xdttlnx=1xdtt para demostrar que ln(x)ln(x) es una función creciente de x en [0,),[0,), y utilice los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de ln(x)ln(x) es (,).(,). Sin más suposiciones, concluya que ln(x)ln(x) tiene una función inversa definida en (,).(,).

386.

Imagine, por el momento, que no sabemos que exex es la función inversa de ln(x),ln(x), pero tenga en cuenta que ln(x)ln(x) tiene una función inversa definida en (,).(,). Llamémoslo E. Use la identidad lnxy=lnx+lnylnxy=lnx+lny para deducir que E(a+b)=E(a)E(b)E(a+b)=E(a)E(b) para cualquier número real a, b.

387.

Imagine, por el momento, que no sabemos que exex es la función inversa de lnx,lnx, pero tenga en cuenta que lnxlnx tiene una función inversa definida en (,).(,). Llamémoslo E. Demuestre que E'(t)=E(t).E'(t)=E(t).

388.

La integral de seno, definida como S(x)=0xsenttdtS(x)=0xsenttdt es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula cerrada simple, es posible estimar su comportamiento para grandes x. Demuestre que para k1,|S(2 πk)S(2 π(k+1))|1k(2 k+1)π.k1,|S(2 πk)S(2 π(k+1))|1k(2 k+1)π. (Pista:sen(t+π)=sent).(Pista:sen(t+π)=sent).

389.

[T] La distribución normal en probabilidad viene dada por p(x)=1σ2 πe(xμ)2 /2 σ2 ,p(x)=1σ2 πe(xμ)2 /2 σ2 , donde σ es la desviación típica y μ es el promedio. La distribución normal estándar en probabilidad, ps,ps, corresponde a μ=0yσ=1.μ=0yσ=1. Calcule las estimaciones del punto extremo correcto R10yR100R10yR100 de –1112 πex2 /2 dx.–1112 πex2 /2 dx.

390.

[T] Calcule las estimaciones del punto extremo derecho R50yR100R50yR100 de −3512 2 πe(x1)2 /8.−3512 2 πe(x1)2 /8.

Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.