Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

1.6.1 Integrar funciones que impliquen funciones exponenciales.
1.6.2 Integrar funciones que impliquen funciones logarítmicas.

Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan para modelar el crecimiento de la población, el crecimiento celular y el crecimiento financiero, así como la depreciación, el decaimiento radiactivo y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta sección, exploraremos la integración con funciones exponenciales y logarítmicas.

Integrales de funciones exponenciales

La función exponencial es quizás la función más eficiente en cuanto a las operaciones de cálculo. La función exponencial $y = e^{x},$ es su propia derivada y su propia integral.

Regla: integrales de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales se pueden integrar mediante las siguientes fórmulas.

\begin{matrix} \int e^{x} d x & = & e^{x} + C \\ \int a^{x} d x & = & \frac{a^{x}}{ln a} + C \end{matrix}

(1.21)

Ejemplo 1.37

Hallar una antiderivada de una función exponencial

Halle la antiderivada de la función exponencial e^−x.

Solución

Utilice la sustitución, estableciendo $u = − x,$ y luego $d u = −1 d x .$ Multiplique la ecuación du por -1, por lo que ahora tiene $− d u = d x .$ Entonces,

\begin{matrix} \int e^{– x} d x & = − \int e^{u} d u \\ = − e^{u} + C \\ = − e^{– x} + C . \end{matrix}

Punto de control 1.31

Halle la antiderivada de la función mediante la sustitución: $x^{2} e^{−2 x^{3}} .$

Un error común al tratar con expresiones exponenciales es tratar el exponente en e de la misma manera que tratamos los exponentes en las expresiones polinómicas. No podemos utilizar la regla de la potencia para el exponente en e. Esto puede ser especialmente confuso cuando tenemos tanto exponenciales como polinomios en la misma expresión, como en el punto de control anterior. En estos casos, siempre debemos verificar que estemos utilizando las reglas correctas en las funciones que estamos integrando.

Ejemplo 1.38

Raíz cuadrada de una función exponencial

Halle la antiderivada de la función exponencial $e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} .$

Solución

Primero reescriba el problema utilizando un exponente racional:

\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x = \int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x .

Utilizando la sustitución, elija $u = 1 + e^{x} .$ Entonces, $d u = e^{x} d x .$ Tenemos (Figura 1.37)

\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x = \int u^{1 / 2} d u .

Entonces

\int u^{1 / 2} d u = \frac{u^{3 / 2}}{3 / 2} + C = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{3 / 2} + C .

Gráfico de la función f(x) = e^x * sqrt(1 + e^x), que es una curva creciente cóncava hacia arriba, sobre [-3, 1]. Comienza cerca del eje x en el cuadrante dos, cruza el eje y en (0, sqrt(2)) y continúa aumentando rápidamente.

Figura 1.37 El gráfico muestra una función exponencial por la raíz cuadrada de una función exponencial.

Punto de control 1.32

Encuentre la antiderivada de $e^{x} {(3 e^{x} - 2)}^{2} .$

Ejemplo 1.39

Uso de la sustitución con una función exponencial

Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida $\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x .$

Solución

Aquí optamos por dejar que u sea igual a la expresión en el exponente sobre e. Supongamos que $u = 2 x^{3}$ y $d u = 6 x^{2} d x . .$ De nuevo, du se desvía por un multiplicador constante; la función original contiene un factor de 3x², no de 6x². Multiplique ambos lados de la ecuación por $\frac{1}{2}$ para que el integrando en u sea igual al integrando en x. Por lo tanto,

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u .

Integre la expresión en u y luego sustituya la expresión original en x de nuevo en la integral de u:

\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2 x^{3}} + C .

Punto de control 1.33

Evalúe la integral indefinida $\int 2 x^{3} e^{x^{4}} d x .$

Como se mencionó al principio de esta sección, las funciones exponenciales se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real. El número e se asocia a menudo con el crecimiento compuesto o acelerado, como hemos visto en las secciones anteriores sobre la derivada. Aunque la derivada representa una tasa de cambio o una tasa de crecimiento, la integral representa el cambio total o el crecimiento total. Veamos un ejemplo en el que la integración de una función exponencial resuelve una aplicación empresarial común.

Una función precio-demanda nos indica la relación entre la cantidad de la demanda de un producto y el precio del mismo. En general, el precio disminuye a medida que aumenta la cantidad demandada. La función precio-demanda marginal es la derivada de la función precio-demanda y nos indica la rapidez con la que cambia el precio a un nivel de producción determinado. Las empresas utilizan estas funciones para determinar la elasticidad del precio de la demanda y para determinar si el cambio en los niveles de producción sería rentable.

Ejemplo 1.40

Hallar una ecuación precio-demanda

Halle la ecuación precio-demanda para una marca concreta de pasta de dientes en una cadena de supermercados cuando la demanda es de 50 tubos por semana a 2,35 dólares el tubo, dado que la función marginal precio-demanda, $p^{'} (x),$ para un número x de tubos por semana, se da como

p' (x) = −0,015 e^{−0,01 x} .

Si la cadena de supermercados vende 100 tubos a la semana, ¿qué precio debe fijar?

Solución

Para hallar la ecuación precio-demanda, se integra la función marginal precio-demanda. Primero halle la antiderivada y luego observe los detalles. Por lo tanto,

\begin{matrix} p (x) & = \int −0,015 e^{−0,01 x} d x \\ = −0,015 \int e^{−0,01 x} d x . \end{matrix}

Utilizando la sustitución, supongamos que $u = −0,01 x$ y $d u = −0,01 d x .$ Luego, divida ambos lados de la ecuación du por -0,01. Esto da

\begin{matrix} \frac{−0,015}{−0,01} \int e^{u} d u & = 1,5 \int e^{u} d u \\ = 1,5 e^{u} + C \\ = 1,5 e^{−0,01 x} + C . \end{matrix}

El siguiente paso es resolver C. Sabemos que cuando el precio es de 2,35 dólares por tubo, la demanda es de 50 tubos por semana. Esto significa que

\begin{matrix} p (50) & = 1,5 e^{−0,01 (50)} + C \\ = 2,35 . \end{matrix}

Ahora, solo hay que resolver para C:

\begin{matrix} C & = 2,35 - 1,5 e^{−0,5} \\ = 2,35 - 0,91 \\ = 1,44 . \end{matrix}

Por lo tanto,

p (x) = 1,5 e^{−0,01 x} + 1,44 .

Si el supermercado vende 100 tubos de pasta de dientes a la semana, el precio sería

p (100) = 1,5 e^{−0,01 (100)} + 1,44 = 1,5 e^{−1} + 1,44 \approx 1,99 .

El supermercado debería cobrar 1,99 dólares por tubo si vende 100 tubos a la semana.

Ejemplo 1.41

Evaluación de una integral definida que incluye una función exponencial

Evalúe la integral definida $\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x .$

Solución

De nuevo, la sustitución es el método a utilizar. Supongamos que $u = 1 - x,$ así que $d u = −1 d x$ o $− d u = d x .$ Entonces $\int e^{1 - x} d x = − \int e^{u} d u .$ A continuación, cambie los límites de integración. Si utilizamos la ecuación $u = 1 - x,$ tenemos

\begin{matrix} u = 1 - (1) = 0 \\ u = 1 - (2) = −1 . \end{matrix}

La integral se convierte entonces en

\begin{matrix} \int_{1}^{2} e^{1 - x} d x & = − \int_{0}^{−1} e^{u} d u \\ = \int_{−1}^{0} e^{u} d u \\ = {e^{u} |}_{−1}^{0} \\ = e^{0} - (e^{−1}) \\ = − e^{−1} + 1 \end{matrix}

Vea el Figura 1.38.

Gráfico de la función f(x) = e^(1-x) sobre [0, 3]. Interseca el eje y en (0, e) como una curva cóncava decreciente hacia arriba y se aproxima asintóticamente a 0 a medida que x va al infinito.

Figura 1.38 El área indicada se puede calcular evaluando una integral definida mediante una sustitución.

Punto de control 1.34

Evalúe $\int_{0}^{2} e^{2 x} d x .$

Ejemplo 1.42

Crecimiento de las bacterias en un cultivo

Supongamos que la tasa de crecimiento de las bacterias en una placa de Petri viene dada por $q (t) = 3^{t},$ donde t está expresado en horas y $q (t)$ en miles de bacterias por hora. Si un cultivo comienza con 10.000 bacterias, halle una función $Q (t)$ que dé el número de bacterias en la placa de Petri en cualquier tiempo t. ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 2 horas?

Solución

Tenemos

Q (t) = \int 3^{t} d t = \frac{3^{t}}{ln 3} + C .

Entonces, en $t = 0$ tenemos $Q (0) = 10 = \frac{1}{ln 3} + C,$ por lo que $C \approx 9,090$ y obtenemos

Q (t) = \frac{3^{t}}{ln 3} + 9,090 .

En el tiempo $t = 2,$ tenemos

Q (2) = \frac{3^{2}}{ln 3} + 9,090

= 17,282 .

Después de 2 horas, hay 17.282 bacterias en la placa.

Punto de control 1.35

A partir del Ejemplo 1.42, supongamos que las bacterias crecen a una tasa de $q (t) = 2^{t} .$ Supongamos que el cultivo aún comienza con 10.000 bacterias. Halle $Q (t) .$ ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 3 horas?

Ejemplo 1.43

Crecimiento de la población de moscas de la fruta

Supongamos que una población de moscas de la fruta aumenta a un ritmo de $g (t) = 2 e^{0,02 t},$ de moscas al día. Si la población inicial de moscas de la fruta es de 100 individuos, ¿cuántas moscas hay en la población después de 10 días?

Solución

Supongamos que $G (t)$ representa el número de moscas en la población en el tiempo t. Si aplicamos el teorema del cambio neto, tenemos

\begin{matrix} G (10) & = G (0) + \int_{0}^{10} 2 e^{0,02 t} d t \\ = 100 + {[\frac{2}{0,02} e^{0,02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + {[100 e^{0,02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + 100 e^{0,2} - 100 \\ \approx 122 . \end{matrix}

Pasados 10 días hay 122 moscas en la población.

Punto de control 1.36

Supongamos que la tasa de crecimiento de la población de moscas viene dada por $g (t) = e^{0,01 t},$ y la población inicial es de 100 moscas. ¿Cuántas moscas hay en la población después de 15 días?

Ejemplo 1.44

Evaluación de una integral definida mediante la sustitución

Evalúe la integral definida utilizando la sustitución $\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x .$

Solución

Este problema requiere reescribirse para simplificar la aplicación de las propiedades. Primero, reescriba el exponente en e como una potencia de x, luego lleve la x² en el denominador hasta el numerador usando un exponente negativo. Tenemos

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} e^{x^{−1}} x^{−2} d x .

Supongamos que $u = x^{−1},$ es el exponente en e. Entonces

\begin{matrix} d u & = − x^{−2} d x \\ - d u & = x^{−2} d x . \end{matrix}

Llevando el signo negativo fuera del signo de la integral, el problema ahora se lee

− \int e^{u} d u .

A continuación, cambie los límites de integración:

\begin{array}{l} u = {(1)}^{−1} = 1 \\ u = {(2)}^{−1} = \frac{1}{2} . \end{array}

Observe que ahora los límites comienzan con el número mayor, lo que significa que debemos multiplicar por -1 e intercambiar los límites. Por lo tanto,

\begin{array}{l} − \int_{1}^{1 / 2} e^{u} d u & = \int_{1 / 2}^{1} e^{u} d u \\ = e^{u} |_{1 / 2}^{1} \\ = e - e^{1 / 2} \\ = e - \sqrt{e} . \end{array}

Punto de control 1.37

Evalúe la integral definida utilizando la sustitución $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} e^{4 x^{−2}} d x .$

Integrales con funciones logarítmicas

Integrar funciones de la forma $f (x) = x^{−1}$ dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, tales como $f (x) = ln x$ y $f (x) = {log}_{a} x,$ también se incluyen en la regla.

Regla: fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas

Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para evaluar integrales que implican funciones logarítmicas.

\begin{matrix} \int x^{−1} d x & = & ln | x | + C \\ \int ln x d x & = & x ln x - x + C = x (ln x - 1) + C \\ \int {log}_{a} x d x & = & \frac{x}{ln a} (ln x - 1) + C \end{matrix}

(1.22)

Ejemplo 1.45

Encontrar una antiderivada que implique $ln x$

Halle la antiderivada de la función $\frac{3}{x - 10} .$

Solución

Primero factorice el 3 fuera del símbolo de la integral. Entonces utilice la regla u⁻¹. Por lo tanto,

\begin{array}{l} \int \frac{3}{x - 10} d x & = 3 \int \frac{1}{x - 10} d x \\ = 3 \int \frac{d u}{u} \\ = 3 ln | u | + C \\ = 3 ln | x - 10 | + C, x \neq 10 . \end{array}

Vea el Figura 1.39.

Gráfico de la función f(x) = 3 / (x – 10). Hay una asíntota en x=10. El primer segmento es una curva cóncava decreciente hacia abajo que se aproxima a 0 cuando x llega al infinito negativo y se aproxima al infinito negativo cuando x llega a 10. El segundo segmento es una curva cóncava decreciente hacia arriba que se aproxima al infinito cuando x llega a 10 y se aproxima a 0 cuando x se acerca al infinito.

Figura 1.39 El dominio de esta función es

x \neq 10 .

Punto de control 1.38

Encuentre la antiderivada de $\frac{1}{x + 2} .$

Ejemplo 1.46

Encontrar una antiderivada de una función racional

Encuentre la antiderivada de $\frac{2 x^{3} + 3 x}{x^{4} + 3 x^{2}} .$

Solución

Esto se puede reescribir como $\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x .$ Utilice la sustitución. Supongamos que $u = x^{4} + 3 x^{2},$ entonces $d u = 4 x^{3} + 6 x .$ Modifique du mediante la factorización del 2. Por lo tanto,

\begin{matrix} d u & = & (4 x^{3} + 6 x) d x \\ = & 2 (2 x^{3} + 3 x) d x \\ \frac{1}{2} d u & = & (2 x^{3} + 3 x) d x . \end{matrix}

Reescriba el integrando en u:

\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x = \frac{1}{2} \int u^{−1} d u .

Entonces tenemos

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \int u^{−1} d u & = \frac{1}{2} ln | u | + C \\ = \frac{1}{2} ln | x^{4} + 3 x^{2} | + C . \end{array}

Ejemplo 1.47

Hallar una antiderivada de una función logarítmica

Halle la antiderivada de la función logarítmica ${log}_{2} x .$

Solución

Siga el formato de la fórmula que aparece en la regla sobre fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas. Con base en este formato, tenemos

\int {log}_{2} x d x = \frac{x}{ln 2} (ln x - 1) + C .

Punto de control 1.39

Encuentre la antiderivada de ${log}_{3} x .$

El Ejemplo 1.48 es una integral definida de una función trigonométrica. Con las funciones trigonométricas, a menudo tenemos que aplicar una propiedad trigonométrica o una identidad antes de avanzar. Hallar la forma correcta del integrando suele ser la clave para una integración sin problemas.

Ejemplo 1.48

Evaluación de una integral definida

Calcule la integral definida de $\int_{0}^{π / 2} \frac{sen x}{1 + cos x} d x .$

Solución

Necesitamos la sustitución para evaluar este problema. Supongamos que $u = 1 + cos x,,$ así que $d u = − sen x d x .$ Reescriba la integral en términos de u, cambiando también los límites de integración. Por lo tanto,

\begin{matrix} u = 1 + cos (0) = 2 \\ u = 1 + cos (\frac{π}{2}) = 1 . \end{matrix}

Entonces

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} \frac{sen x}{1 + cos x} & = − \int_{2}^{1} u^{−1} d u \\ = \int_{1}^{2} u^{−1} d u \\ = {ln | u | |}_{1}^{2} \\ = [ln 2 - ln 1] \\ = ln 2. \end{matrix}

Sección 1.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule cada integral indefinida.

320.

$\int e^{2 x} d x$

321.

$\int e^{−3 x} d x$

322.

$\int 2^{x} d x$

323.

$\int 3^{− x} d x$

324.

$\int \frac{1}{2 x} d x$

325.

$\int \frac{2}{x} d x$

326.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$

327.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida utilizando las sustituciones adecuadas.

328.

$\int \frac{ln x}{x} d x$

329.

$\int \frac{d x}{x {(ln x)}^{2}}$

330.

$\int \frac{d x}{x ln x} (x > 1)$ grandes.

331.

$\int \frac{d x}{x ln x ln (ln x)}$ grandes.

332.

$\int tan θ d θ$

333.

$\int \frac{cos x - x sen x}{x cos x} d x$

334.

$\int \frac{ln (sen x)}{tan x} d x$

335.

$\int ln (cos x) tan x d x$

336.

$\int x e^{– x^{2}} d x$

337.

$\int x^{2} e^{– x^{3}} d x$

338.

$\int e^{sen x} cos x d x$

339.

$\int e^{tan x} {sec}^{2} x d x$

340.

$\int e^{ln x} \frac{d x}{x}$

341.

$\int \frac{e^{ln (1 - t)}}{1 - t} d t$

En los siguientes ejercicios, verifique por diferenciación que $\int ln x d x = x (ln x - 1) + C,$ entonces utilice los cambios de variables apropiados para calcular la integral.

342.

$\int x ln x d x$ $(Pista : \int x ln x d x = \frac{1}{2} \int x ln (x^{2}) d x; x>0)$

343.

$\int x^{2} ln(x^{2}) d x$

344.

$\int \frac{ln x}{x^{2}} d x$ $(Pista : Establezca u = \frac{1}{x} .).$ grandes.

345.

$\int \frac{ln x}{\sqrt{x}} d x$ $(Pista : Establezca u = \sqrt{x} .).$ grandes.

346.

Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de $y = \frac{1}{t}$ a partir de $t = 1$ a e^x y evalúe la integral.

347.

Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de $y = e^{t}$ entre $t = 0$ y $t = ln x,$ y evalúe la integral.

En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos.

348.

$\int tan (2 x) d x$

349.

$\int \frac{sen (3 x) - cos (3 x)}{sen (3 x) + cos (3 x)} d x$

350.

$\int \frac{x sen (x^{2})}{cos (x^{2})} d x$

351.

$\int x csc (x^{2}) d x$

352.

$\int ln (cos x) tan x d x$

353.

$\int ln (csc x) cot x d x$

354.

$\int \frac{e^{x} - e^{– x}}{e^{x} + e^{– x}} d x$

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida.

355.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 2 x + x^{2}}{3 x + 3 x^{2} + x^{3}} d x$

356.

$\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

357.

$\int_{0}^{π / 3} \frac{sen x - cos x}{sen x + cos x} d x$

358.

$\int_{π / 6}^{π / 2} csc x d x$

359.

$\int_{π / 4}^{π / 3} cot x d x$

En los siguientes ejercicios, integre utilizando la sustitución indicada.

360.

$\int \frac{x}{x - 100} d x; u = x - 100$

361.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y; u = y + 1$

362.

$\int \frac{1 - x^{2}}{3 x - x^{3}} d x; u = 3 x - x^{3}$

363.

$\int \frac{sen x + cos x}{sen x - cos x} d x; u = sen x - cos x$

364.

$\int e^{2 x} \sqrt{1 - e^{2 x}} d x; u = e^{2 x}$

365.

$\int ln (x) \frac{\sqrt{1 - {(ln x)}^{2}}}{x} d x; u = ln x$

En los siguientes ejercicios, ¿la aproximación del extremo derecho sobrestima o subestima el área exacta? Calcule la estimación del punto extremo derecho R₅₀ y resuelva el área exacta.

366.

[T] $y = e^{x}$ en $[0, 1]$

367.

[T] $y = e^{– x}$ en $[0, 1]$

368.

[T] $y = ln (x)$ en $[1, 2]$

369.

[T] $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 6}$ en $[0, 1]$

370.

[T] $y = 2^{x}$ en $[−1, 0]$

371.

[T] $y = − 2^{− x}$ en $[0, 1]$

En los siguientes ejercicios, $f (x) \geq 0$ por $a \leq x \leq b .$ Halle el área bajo el gráfico de $f (x)$ entre los valores dados a y b mediante la integración.

372.

$f (x) = \frac{{log}_{10} (x)}{x}; a = 10, b = 100$

373.

$f (x) = \frac{{log}_{2} (x)}{x}; a = 32, b = 64$

374.

$f (x) = 2^{− x}; a = 1, b = 2$

375.

$f (x) = 2^{− x}; a = 3, b = 4$

376.

Halle el área bajo el gráfico de la función $f (x) = x e^{– x^{2}}$ entre $x = 0$ y $x = 5 .$

377.

Calcule la integral de $f (x) = x e^{– x^{2}}$ y calcule el menor valor de N tal que el área debajo del gráfico $f (x) = x e^{– x^{2}}$ entre $x = N$ y $x = N + 1$ es, como máximo, de 0,01.

378.

Halle el límite, cuando N tiende a infinito, del área bajo el gráfico de $f (x) = x e^{– x^{2}}$ entre $x = 0$ y $x = N .$

379.

Demuestre que $\int_{a}^{b} \frac{d t}{t} = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d t}{t}$ cuando $0 < a \leq b .$

380.

Supongamos que $f (x) > 0$ para toda x y que f y g son diferenciables. Utilice la identidad $f^{g} = e^{g ln f}$ y la regla de la cadena para encontrar la derivada de $f^{g} .$

381.

Utilice el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de $h (x) = x^{x} (1 + ln x)$ y evalúe $\int_{2}^{3} x^{x} (1 + ln x) d x .$

382.

Demuestre que si $c > 0,$ entonces la integral de $1 / x$ de ac a bc $(0 < a < b)$ es la misma que la integral de $1 / x$ de a a b.

Los siguientes ejercicios pretenden derivar las propiedades fundamentales del logaritmo natural partiendo de la definición $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t},$ utilizando las propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones.

383.

Utilice la identidad $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ para derivar la identidad $ln (\frac{1}{x}) = − ln x .$

384.

Utilice un cambio de variable en la integral $\int_{1}^{x y} \frac{1}{t} d t$ para demostrar que $ln x y = ln x + ln y para x, y > 0 .$

385.

Utilice la identidad $ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ para demostrar que $ln (x)$ es una función creciente de x en $[0, \infty),$ y utilice los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de $ln (x)$ es $(− \infty, \infty) .$ Sin más suposiciones, concluya que $ln (x)$ tiene una función inversa definida en $(− \infty, \infty) .$

386.

Imagine, por el momento, que no sabemos que $e^{x}$ es la función inversa de $ln (x),$ pero tenga en cuenta que $ln (x)$ tiene una función inversa definida en $(− \infty, \infty) .$ Llamémoslo E. Use la identidad $ln x y = ln x + ln y$ para deducir que $E (a + b) = E (a) E (b)$ para cualquier número real a, b.

387.

Imagine, por el momento, que no sabemos que $e^{x}$ es la función inversa de $ln x,$ pero tenga en cuenta que $ln x$ tiene una función inversa definida en $(− \infty, \infty) .$ Llamémoslo E. Demuestre que $E' (t) = E (t) .$

388.

La integral de seno, definida como $S (x) = \int_{0}^{x} \frac{sen t}{t} d t$ es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula cerrada simple, es posible estimar su comportamiento para grandes x. Demuestre que para $k \geq 1, | S (2 π k) - S (2 π (k + 1)) | \leq \frac{1}{k (2 k + 1) π} .$ $(Pista : sen (t + π) = − sen t).$

389.

[T] La distribución normal en probabilidad viene dada por $p (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{− {(x - μ)}^{2} / 2 σ^{2}},$ donde σ es la desviación típica y μ es el promedio. La distribución normal estándar en probabilidad, $p_{s},$ corresponde a $μ = 0 y σ = 1 .$ Calcule las estimaciones del punto extremo correcto $R_{10} y R_{100}$ de $\int_{–1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{– x^{2 / 2}} d x .$

390.

[T] Calcule las estimaciones del punto extremo derecho $R_{50} y R_{100}$ de $\int_{−3}^{5} \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{− {(x - 1)}^{2} / 8} .$

1.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas

Integrales de funciones exponenciales

Hallar una antiderivada de una función exponencial

Solución

Raíz cuadrada de una función exponencial

Solución

Uso de la sustitución con una función exponencial

Solución

Hallar una ecuación precio-demanda

Solución

Evaluación de una integral definida que incluye una función exponencial

Solución

Crecimiento de las bacterias en un cultivo

Solución

Crecimiento de la población de moscas de la fruta

Solución

Evaluación de una integral definida mediante la sustitución

Solución

Integrales con funciones logarítmicas

Encontrar una antiderivada que implique lnxlnx

Solución

Encontrar una antiderivada de una función racional

Solución

Hallar una antiderivada de una función logarítmica

Solución

Evaluación de una integral definida

Solución

Sección 1.6 ejercicios

Encontrar una antiderivada que implique $ln x$