Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

Esta foto muestra muchos pares de zapatos diferentes de varios colores. Los zapatos parecen estar colgados de una pared por los cordones. — Figura 6.1 Si le pregunta a un número suficiente de personas por su talla de calzado, comprobará que los datos representados en el gráfico tienen la forma de una curva de campana y se pueden describir como normalmente distribuidos (créditos: Ömer Ünlϋ).

Introducción

La función de densidad de probabilidad normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal.

La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. Recuerde que todavía estamos hablando de la distribución de los datos de la población. Se trata de una discusión sobre la probabilidad y, por tanto, son los datos de la población los que pueden estar distribuidos normalmente, y si lo están, entonces es así como podemos calcular las probabilidades de eventos específicos al igual que hicimos con los datos de la población que pueden tener una distribución binomial o de Poisson. Esta precaución se debe a que en el próximo capítulo veremos que la distribución normal describe algo muy diferente de los datos brutos y constituye la base de la estadística inferencial.

La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media (μ) y la desviación típica (σ). Si X es una cantidad que se va a medir que tiene una distribución normal con media(μ) y desviación típica(σ), la designamos escribiendo la siguiente fórmula de la función de densidad de probabilidad normal:

Esta es una curva de frecuencia para una distribución normal. Muestra un único pico en el centro con la curva que disminuye hacia el eje horizontal a cada lado. La distribución es simétrica; representa que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con una media, m, y una desviación típica, s. — Figura 6.2

La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice. No es necesario.

f (x) = \frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 \cdot π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}

La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ. La media es la misma que la mediana, que es la misma que la moda, porque el gráfico es simétrico respecto a μ. Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Observe que esto es diferente a varias funciones de densidad de probabilidad que ya hemos estudiado, como la de Poisson, donde la media es igual a $μ$ y la desviación típica simplemente la raíz cuadrada de la media, o la binomial, donde p se utiliza para determinar tanto la media como la desviación típica. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ, provoca un cambio en la forma de la curva normal; la curva se vuelve más abultada y ancha o más delgada y alta dependiendo de σ. Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar.