6.1 La distribución normal estándar
La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z. Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica.
La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. Lo que hace esto es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómese un momento y sustituya el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y podrá ver que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente utilizando el cálculo integral. La transformación z = produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación típica conocida σ. La puntuación zindica cuántas desviaciones típicas se aleja una determinada x de la media.
Puntuaciones z
Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z para una determinada x es:
La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ. Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.
Ejemplo 6.1
Supongamos que X ~ N(5, 6). Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces:
Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2σ) por encima o a la derecha de la media μ = 5.
Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = = = –0,67 (redondeado a dos decimales)
Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67σ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5
La regla empíricaSi X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:
- Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
- Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
- Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
- Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
- Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
- Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.
Ejemplo 6.2
Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6.
- Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1σ = (–1)(6) = –6 y 1σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente.
- Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2σ = (–2)(6) = –12 y 2σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente.
- Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se encuentran entre –3σ = (–3)(6) = –18 y 3σ = (3)(6) = 18 de la media 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típica de la media 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente.