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Introducción a la estadística empresarial

6.1 La distribución normal estándar

Introducción a la estadística empresarial6.1 La distribución normal estándar

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Tarea para la casa
    9. Referencias
    10. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Datos mostrados
    3. 2.2 Medidas de la ubicación de los datos
    4. 2.3 Medidas del centro de los datos
    5. 2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética
    6. 2.5 Media geométrica
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Repaso de fórmulas
    12. Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad
    6. 3.5 Diagramas de Venn
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Uniéndolo todo: Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Distribución hipergeométrica
    3. 4.2 Distribución binomial
    4. 4.3 Distribución geométrica
    5. 4.4 Distribución de Poisson
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Estimación de la binomial con la distribución normal
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales
    3. 7.2 Uso del teorema del límite central
    4. 7.3 Teorema del límite central de las proporciones
    5. 7.4 Factor de corrección de población finita
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande
    3. 8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña
    4. 8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población
    5. 8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Comparación de las medias de dos poblaciones independientes
    3. 10.2 Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande
    4. 10.3 Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales
    5. 10.4 Comparación de dos proporciones de población independientes
    6. 10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    7. 10.6 Muestras coincidentes o emparejadas
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de una sola varianza
    4. 11.3 Prueba de bondad de ajuste
    5. 11.4 Prueba de independencia
    6. 11.5 Prueba de homogeneidad
    7. 11.6 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  13. 12 La distribución F y el anova de una vía
    1. Introducción
    2. 12.1 Prueba de dos varianzas
    3. 12.2 ANOVA de una vía
    4. 12.3 La distribución F y el cociente F
    5. 12.4 Datos sobre la distribución F
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  14. 13 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 13.1 El coeficiente de correlación r
    3. 13.2 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    4. 13.3 Ecuaciones lineales
    5. 13.4 La ecuación de regresión
    6. 13.5 Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
    7. 13.6 Predicción con una ecuación de regresión
    8. 13.7 Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Práctica
    12. Soluciones
  15. A Cuadros estadísticos
  16. B Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  17. Índice

La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z. Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica.

La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. Lo que hace esto es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómese un momento y sustituya el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y podrá ver que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente utilizando el cálculo integral. La transformación z = xμ σ xμ σ produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación típica conocida σ. La puntuación zindica cuántas desviaciones típicas se aleja una determinada x de la media.

Puntuaciones z

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z para una determinada x es:

z= x  μ σ z= x  μ σ

La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ. Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.

Ejemplo 6.1

Supongamos que X ~ N(5, 6). Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces:

z= xμ σ = 175 6 =2 z= xμ σ = 175 6 =2

Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2σ) por encima o a la derecha de la media μ = 5.

Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = xμ σ xμ σ = 15 6 15 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales)

Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67σ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5

La regla empíricaSi X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:

  • Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
  • Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
  • Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
  • Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
  • Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
  • Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.
Esta curva de frecuencia ilustra la regla empírica. La curva normal se muestra sobre un eje horizontal. El eje está marcado con los puntos –3s, –2s, –1s, m, 1s, 2s, 3s. Las líneas verticales conectan el eje con la curva en cada punto identificado. El pico de la curva se alinea con el punto m.
Figura 6.3

Ejemplo 6.2

Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6.

  • Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1σ = (–1)(6) = –6 y 1σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente.
  • Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2σ = (–2)(6) = –12 y 2σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente.
  • Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se encuentran entre –3σ = (–3)(6) = –18 y 3σ = (3)(6) = 18 de la media 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típica de la media 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente.
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