Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

Tablas de contingencia

Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera.

Ejemplo 3.20

Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios:

	Infracción por exceso de velocidad durante el año anterior	Ninguna infracción por exceso de velocidad durante el año anterior	Total
Utiliza el teléfono móvil mientras conduce	25	280	305
No utiliza el teléfono móvil mientras conduce	45	405	450
Total	70	685	755

Tabla 3.2

El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755.

Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades.

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Calcule P(el conductor es un usuario de teléfono móvil).
Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado $\cap$ era usuario de teléfonos móviles).
Calcule P(el conductor es un usuario de teléfono móvil $\cup$ el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
Calcule P(el conductor es un usuario de teléfono móvil $|$ el conductor tuvo una infracción durante el año pasado).
Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado $|$ el conductor no era usuario de teléfono móvil)

Solución

$\frac{número de usuarios de teléfonos móviles}{número total en el estudio} = \frac{305}{755}$
$\frac{número que no tenía ninguna infracción}{número total en el estudio} = \frac{685}{755}$
$\frac{280}{755}$
$(\frac{305}{755} + \frac{685}{755}) - \frac{280}{755} = \frac{710}{755}$
$\frac{25}{70}$ (El espacio de la muestra se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción).
$\frac{405}{450}$ (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos móviles).

Inténtelo 3.20

La Tabla 3.3 muestra el número de atletas que hacen estiramientos antes del ejercicio y cuántos tuvieron lesiones durante el año pasado.

	Lesión durante el año pasado	Ninguna lesión durante el año pasado	Total
Hace estiramientos	55	295	350
No hace estiramientos	231	219	450
Total	286	514	800

Tabla 3.3

¿Qué es P(el atleta se estira antes de hacer ejercicio)?
¿Qué es P(el atleta se estira antes de hacer ejercicio $|$ ninguna lesión durante el año pasado)?

Ejemplo 3.21

La Tabla 3.4 presenta una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de excursión que prefieren.

Sexo	La costa	Cerca de lagos y arroyos	En los picos de las montañas	Total
Mujeres	18	16	___	45
Hombres	___	___	14	55
Total	___	41	___	___

Tabla 3.4 Preferencia de zona de excursión

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a. Rellene la tabla.

Solución

a.

Sexo	La costa	Cerca de lagos y arroyos	En los picos de las montañas	Total
Mujeres	18	16	11	45
Hombres	16	25	14	55
Total	34	41	25	100

Tabla 3.5 Preferencia de zona de excursión

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b. ¿Los eventos “ser mujer” y “preferir la costa” son eventos independientes?

Supongamos que F = ser mujer y supongamos que C = preferir la costa.

Calcule $P (F \cap C)$ .
Calcule P(F)P(C)

¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes.

Solución

b.

$P (F \cap C) = \frac{18}{100}$ = 0,18
P(F)P(C) = $(\frac{45}{100}) (\frac{34}{100})$ = (0,45)(0,34) = 0,153

$P (F \cap C)$ ≠ P(F)P(C), por lo que los eventos F y C no son independientes.

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c. Calcule la probabilidad de que una persona sea hombre dado que prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. Supongamos que M = ser hombre, y supongamos que L = prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos.

¿Qué palabra le dice que es un condicional?
Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad: P(___ $|$ ___) = ___.
¿El espacio muestral para este problema son los 100 excursionistas? Si no es así, ¿qué es?

Solución

c.

La expresión “dado que” indica que se trata de una condición.
P(M $|$ L) = $\frac{25}{41}$
No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos.

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d. Calcule la probabilidad de que una persona sea mujer o prefiera ir de excursión en los picos de las montañas. Supongamos que F = ser mujer, y supongamos que P = prefiere los picos de las montañas.

Calcule P(F).
Calcule P(P).
Calcule $P (F \cap P)$ .
Calcule $P (F \cup P)$ .

Solución

d.

P(F) = $\frac{45}{100}$
P(P) = $\frac{25}{100}$
$P (F \cap P)$ = $\frac{11}{100}$
$P (F \cup P)$ = $\frac{45}{100}$ + $\frac{25}{100}$ - $\frac{11}{100}$ = $\frac{59}{100}$

Inténtelo 3.21

La Tabla 3.6 presenta una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Supongamos que M = hombres y H = camino de colinas.

Sexo	Camino del lago	Sendero montañoso	Camino arbolado	Total
Mujeres	45	38	27	110
Hombres	26	52	12	90
Total	71	90	39	200

Tabla 3.6

Entre los hombres, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino de colinas?
¿Los eventos “ser hombre” y “preferir el camino de colinas” son eventos independientes?

Ejemplo 3.22

El ratón Muddy vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por la gata Alissa es $\frac{1}{5}$ y la probabilidad de que no sea atrapado es $\frac{4}{5}$ . Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa es $\frac{1}{4}$ y la probabilidad de que no sea atrapado es $\frac{3}{4}$ . La probabilidad de que Alissa atrape a Muddy saliendo por la tercera puerta es $\frac{1}{2}$ y la probabilidad de que no atrape a Muddy es $\frac{1}{2}$ . Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es $\frac{1}{3}$ .

Atrapado o no	Puerta uno	Puerta dos	Puerta tres	Total
Atrapado	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	____
No atrapado	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$	____
Total	____	____	____	1

Tabla 3.7 Elección de la puerta

La primera entrada $\frac{1}{15} = (\frac{1}{5}) (\frac{1}{3})$ es $P (Puerta uno \cap Atrapado)$
La entrada $\frac{4}{15} = (\frac{4}{5}) (\frac{1}{3})$ es $P (Puerta uno \cap No atrapado)$

Verifique las entradas restantes.

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a. Rellene la tabla de contingencia de probabilidades. Calcule las entradas para los totales. Compruebe que la entrada de la esquina inferior derecha es 1.

Solución

a.

Atrapado o no	Puerta uno	Puerta dos	Puerta tres	Total
Atrapado	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{19}{60}$
No atrapado	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{41}{60}$
Total	$\frac{5}{15}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{2}{6}$	1

Tabla 3.8 Elección de la puerta

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b. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy?

Solución

b. $\frac{41}{60}$

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c. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija la puerta uno $\cup$ Puerta Dos dado que Muddy es atrapado por Alissa?

Solución

c. $\frac{9}{19}$

Ejemplo 3.23

La Tabla 3.9 contiene el número de delitos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 en EE. UU.

Año	Robo con violencia	Robo	Violación	Vehículo
2008	145,7	732,1	29,7	314,7
2009	133,1	717,7	29,1	259,2
2010	119,3	701	27,7	239,1
2011	113,7	702,2	26,8	229,6
Total

Tabla 3.9 Índices de criminalidad en Estados Unidos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011

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TOTAL de cada columna y cada fila. Datos totales = 4.520,7

Calcule $P (2009 \cap Robo con violencia)$ .
Calcule $P (2010 \cap Robo)$ .
Calcule $P (2010 \cup Robo)$ .
Calcule P(2011 $|$ Violación).
Calcule P(Vehículo $|$ 2008).

Solución

a. 0,0294, b. 0,1551, c. 0,7165, d. 0,2365, e. 0,2575

Inténtelo 3.23

La Tabla 3.10 relaciona los pesos y las alturas de un grupo de personas que participan en un estudio de observación.

Peso/altura	Alto	Medio	Bajo
Obeso	18	28	14
Normal	20	51	28
Bajo peso	12	25	9
Totales

Tabla 3.10

Calcule el total de cada fila y columna
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa y alta.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta dado que es obesa.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa, dado que es alta.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta y de bajo peso.
¿Los eventos obeso y alto son independientes?

Diagramas de árbol

A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales.

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol.

Ejemplo 3.24

En una urna hay 11 pelotas. Tres pelotas son rojas (R) y ocho azules(B). Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. “Con reemplazo” significa que se devuelve la primera pelota a la urna antes de seleccionar la segunda. Luego, el diagrama de árbol con frecuencias que muestra todos los resultados posibles.

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada vez que saca una. La primera rama muestra dos líneas: 8B y 3R. La segunda rama tiene un conjunto de dos líneas (8B y 3R) por cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar 64BB, 24BR, 24RB y 9RR.

Figura 3.2 Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

El primer conjunto de ramas representa la primera pelota que sacó. El segundo conjunto de ramas representa la segunda. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada pelota roja como R1, R2 y R3 y cada pelota azul como B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7 y B8. Entonces, los nueve resultados de RR se pueden escribir como:

R1R1; R1R2; R1R3; R2R1; R2R2; R2R3; R3R1; R3R2; R3R3

Los demás resultados son similares.

Hay un total de 11 pelotas en la urna. Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11(11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral.

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a. Enumere los 24 resultados de RB: B1R1, B1R2, B1R3, ...

Solución

a. B1R1; B1R2; B1R3; B2R1; B2R2; B2R3; B3R1; B3R2; B3R3; B4R1; B4R2; B4R3; B5R1; B5R2; B5R3; B6R1; B6R2; B6R3; B7R1; B7R2; B7R3; B8R1; B8R2; B8R3

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b. Use el diagrama de árbol y calcule P(RR).

Solución

b. P(RR) = $(\frac{3}{11}) (\frac{3}{11})$ = $\frac{9}{121}$

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c. Use el diagrama de árbol y calcule $P (RB \cup BR)$ .

Solución

c. $P (RB \cup BR)$ = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{11})$ + $(\frac{8}{11}) (\frac{3}{11})$ = $\frac{48}{121}$

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d. Use el diagrama de árbol y calcule $P (R en la 1.ª extracción \cap B en la 2.ª extracción)$ .

Solución

d. $P (R en la 1.ª extracción \cap B en la 2.ª extracción)$ = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{11})$ = $\frac{24}{121}$

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e. Al utilizar el diagrama de árbol, calcule P(R en la 2.ª extracción $|$ B en la 1.ª extracción).

Solución

e. P(R en la 2.ª extracción $|$ B en la 1.ª extracción) = P(R en la 2.ª extracción $|$ B en la 1.ª) = $\frac{24}{88}$ = $\frac{3}{11}$

Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a los resultados que ya tienen azul en la primera extracción. Hay 24 + 64 = 88 resultados posibles (24 BR y 64 BB). Veinticuatro de los 88 resultados posibles son BR. $\frac{24}{88}$ = $\frac{3}{11}$ .

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f. Use el diagrama de árbol y calcule P(BB).

Solución

f. P(BB) = $\frac{64}{121}$

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g. Al utilizar el diagrama de árbol, calcule P(B en la 2.ª extracción $|$ R en la primera extracción).

Solución

g. P(B en la segunda extracción $|$ R en la 1.ª extracción) = $\frac{8}{11}$

Hay 9 + 24 resultados que tienen R en la primera extracción (9 RR y 24 RB). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en la segunda extracción. La probabilidad es entonces $\frac{24}{33}$ .

Inténtelo 3.24

En un mazo estándar hay 52 cartas. 12 cartas son de figura (evento F) y 40 cartas no lo son (evento N). Saque dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Use el diagrama de árbol y calcule P(FF).

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada vez que saca una. La primera rama muestra dos líneas: 12F y 40N. La segunda rama tiene un conjunto de dos líneas (12F y 40N) para cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar 144FF, 480FN, 480NF y 1.600NN.

Figura 3.3

Ejemplo 3.25

En una urna hay tres canicas rojas y ocho azules. Saque dos canicas, una a la vez de la urna, esta vez sin reemplazo. “Sin reemplazo” significa que no se devuelve la primera canica antes de seleccionar la segunda. A continuación se muestra un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas se identifican con probabilidades en vez de con frecuencias. Los números de los extremos de las ramas se calculan al multiplicar los números de las dos ramas correspondientes, por ejemplo, $(\frac{3}{11}) (\frac{2}{10}) = \frac{6}{110}$ .

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las probabilidades de cada extracción. La primera rama muestra 2 líneas: B 8/11 y R 3/11. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas por cada línea de la primera rama. Por debajo de B 8/11 están B 7/10 y R 3/10. Por debajo de R 3/11 están B 8/10 y R 2/10. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar BB 56/110, BR 24/110, RB 24/110 y RR 6/110.

Figura 3.4 Total =

\frac{56 + 24 + 24 + 6}{110} = \frac{110}{110} = 1

NOTA

Si saca una roja en la primera extracción de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para sacar en la segunda extracción. No se vuelve a colocar o reemplazar la primera canica después de haberla sacado. Extraiga sin reemplazo, de modo que en la segunda extracción quedan diez canicas en la urna.

Calcule las siguientes probabilidades y use el diagrama de árbol.

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a. P(RR) = ________

Solución

a. P(RR) = $(\frac{3}{11}) (\frac{2}{10}) = \frac{6}{110}$

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b. Rellene los espacios en blanco:

$P (RB \cup BR)$ = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{10}) + (___)(___) = \frac{48}{110}$

Solución

b. $P (RB \cup BR)$ = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{10})$ + $(\frac{8}{11}) (\frac{3}{10})$ = $\frac{48}{110}$

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c. P(R en la 2.ª $|$ B en la 1.ª) =

Solución

c. P(R en la 2.ª $|$ B en la 1.ª) = $\frac{3}{10}$

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d. Complete los espacios en blanco.

$P (R en la 1.ª \cap B en la 2.ª)$ = (___)(___) = $\frac{24}{110}$

Solución

d. $P (R en la 1.ª \cap B en la 2.ª)$ = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{10})$ = $\frac{24}{110}$

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e. Calcule P(BB).

Solución

e. P(BB) = $(\frac{8}{11}) (\frac{7}{10})$

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f. Halle P(B en la 2.ª extracción $|$ R en la 1.ª).

Solución

f. Utilizando el diagrama de árbol, P(B en la 2.ª $|$ R en la 1.ª) = P(R $|$ B) = $\frac{8}{10}$ .

Si utilizamos probabilidades, podemos identificar el árbol de la siguiente manera general.

Este es un diagrama de árbol para un experimento de dos pasos. La primera rama muestra el primer resultado: P(B) y P(R). La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas para cada línea de la primera rama: la probabilidad de B dado que B = P(BB), la probabilidad de R dado que B = P(RB), la probabilidad de B dado que R = P(BR) y la probabilidad de R dado que R = P(RR).

P(R $|$ R) significa aquí P(R en la 2.ª $|$ R en la 1.ª)
P(B $|$ R) significa aquí P(B en la 2.ª $|$ R en la 1.ª)
P(R $|$ B) significa aquí P(R en la 2.ª $|$ B en la 1.ª)
P(B $|$ B) significa aquí P(B en la 2.ª|B en la 1.ª)

Inténtelo 3.25

En un mazo estándar hay 52 cartas. Doce cartas son de figura (F) y 40 cartas no lo son (N). Saque dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está identificado con todas las probabilidades posibles.

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada vez que saca una. La primera rama muestra 2 líneas: F 12/52 y N 40/52. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas (F 11/52 y N 40/51) para cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar FF 121/2.652, FN 480/2.652, NF 480/2.652 y NN 1.560/2.652.

Figura 3.5

Calcule $P (FN \cup NF)$ .
Calcule P(N $|$ F).
Calcule P(como máximo una carta de figura).
Pista: “Como máximo una carta de figura” significa cero o una carta de figura.
Calcule P(al menos una carta de figura).
Pista: “Al menos una carta de figura” significa una o dos cartas de figura.

Ejemplo 3.26

Una camada de gatitos disponibles para su adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco negros. Una familia viene y selecciona al azar dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción.

Este es un diagrama de árbol con ramas que muestran las probabilidades de elección de los gatitos. La primera rama muestra dos líneas: T 4/9 y B 5/9. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas por cada línea de la primera rama. Por debajo de T 4/9 están T 3/8 y B 5/8. Por debajo de B 5/9 están T 4/8 y B 4/8. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar las probabilidades de las posibles combinaciones.

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¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos sean atigrados?

a. $(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})$ b. $(\frac{4}{9}) (\frac{4}{9})$ c. $(\frac{4}{9}) (\frac{3}{8})$ d. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{9})$
¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada color?

a. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{9})$ b. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{8})$ c. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{9}) + (\frac{5}{9}) (\frac{4}{9})$ d. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{8}) + (\frac{5}{9}) (\frac{4}{8})$
¿Cuál es la probabilidad de que se elija un gatito atigrado como segundo gatito cuando se ha elegido un gatito negro como primero?
¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color?

Solución

a. c, b. d, c. $\frac{4}{8}$ , d. $\frac{32}{72}$

Inténtelo 3.26

Supongamos que en una caja hay cuatro pelotas rojas y tres amarillas. Se extraen dos pelotas de la caja sin reemplazarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota de cada color?

3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad

Tablas de contingencia

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

Diagramas de árbol

Diagramas de árbol

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución