Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no.

La regla de multiplicación

Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral, entonces $P (A \cap B) = P (B) P (A | B)$ . Podemos pensar que el símbolo de intersección sustituye a la palabra "y".

Esta regla también puede escribirse como: $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Esta ecuación se lee como la probabilidad de A dado que B es igual a la probabilidad de A y B dividido entre la probabilidad de B.

Si A y B son independientes, entonces $P (A | B) = P (A)$ . Entonces $P (A \cap B) = P (A | B) P (B)$ se convierte en $P (A \cap B) = P (A) (B)$ porque el $P (A | B) = P (A)$ si A y B son independientes.

Una forma fácil de recordar la regla de la multiplicación es que la palabra "y" significa que el evento tiene que satisfacer dos condiciones. Por ejemplo, el nombre extraído de la lista de la clase debe ser tanto una mujer como un estudiante de segundo año. Es más difícil satisfacer dos condiciones que una sola y, por supuesto, cuando multiplicamos fracciones el resultado es siempre menor. Esto refleja la creciente dificultad de satisfacer dos condiciones.

La regla de adición

Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Podemos pensar que el símbolo de la unión sustituye a la palabra "o". La razón por la que restamos la intersección de A y B es para no contar dos veces los elementos que están en A y B.

Si A y B se excluyen mutuamente, entonces $P (A \cap B) = 0$ . Entonces $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ se convierte en $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Ejemplo 3.14

Klaus está tratando de elegir dónde ir de vacaciones. Sus dos opciones son: A = Nueva Zelanda y B = Alaska

Klaus solo puede permitirse unas vacaciones. La probabilidad de que elija A es P(A) = 0,6 y la probabilidad de que elija B es P(B) = 0,35.
$P (A \cap B) = 0$ porque Klaus solo puede permitirse unas vacaciones.
Por lo tanto, la probabilidad de que elija Nueva Zelanda o Alaska es $P (A \cup B) = P (A) + P (B) = 0,6 + 0,35 = 0,95$ . Tenga en cuenta que la probabilidad de que no elija ir a ningún sitio de vacaciones debe ser de 0,05.

Ejemplo 3.15

Carlos juega fútbol universitario. Hace un gol el 65 % de las veces que chuta. Carlos va a intentar marcar dos goles seguidos en el próximo partido. A = el evento en el que Carlos acierta en su primer intento. P(A) = 0,65. B = el evento en el que Carlos acierta en su segundo intento. P(B) = 0,65. Carlos tiende a chutar en líneas. La probabilidad de que haga el segundo gol $|$ que haga el primer gol es 0,90.

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¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos goles?
¿Cuál es la probabilidad de que Carlos anote el primer gol o el segundo?
¿A y B son independientes?
¿A y B son mutuamente excluyentes?

Solución

El problema le pide que halle $P (A \cap B) = P (B \cap A)$ . Dado que P(B $|$ A) = 0,90: P(B $\cap$ A) = P(B $|$ A) P(A) = (0,90)(0,65) = 0,585
Carlos anota el primero y el segundo goles con una probabilidad de 0,585.
El problema le pide que halle P(A $\cup$ B).
P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) – P(A $\cap$ B) = 0,65 + 0,65 - 0,585 = 0,715
Carlos anota el primer gol o el segundo con una probabilidad de 0,715.
No, no lo son, porque P(B $\cap$ A) = 0,585.
P(B)P(A) = (0,65)(0,65) = 0,423
0,423 ≠ 0,585 = P(B $\cap$ A)
Por lo tanto, P(B $\cap$ A) no es igual a P(B)P(A).
No, no lo son porque P(A $\cap$ B) = 0,585.
Para que sean mutuamente excluyentes, P(A $\cap$ B) debe ser igual a cero.

Inténtelo 3.15

Helen juega baloncesto. En cuanto a los tiros libres, acierta el tiro el 75 % de las veces. Helen debe intentar ahora dos tiros libres. C = el evento en el que Helen anota el primer tiro. P(C) = 0,75. D = el evento en el que Helen anota el segundo tiro. P(D) = 0,75. La probabilidad de que Helen anote el segundo tiro libre dado que anotó el primero es de 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que Helen anote ambos tiros libres?

Ejemplo 3.16

Un equipo de natación comunitario tiene 150 miembros. Setenta y cinco de los miembros son nadadores avanzados. Cuarenta y siete son nadadores intermedios. El resto son nadadores principiantes. Cuarenta de los nadadores avanzados practican cuatro veces por semana. Treinta de los nadadores de nivel intermedio practican cuatro veces por semana. Diez de los nadadores principiantes practican cuatro veces por semana. Supongamos que un miembro del equipo de natación es elegido al azar.

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¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador principiante?
¿Cuál es la probabilidad de que el miembro practique cuatro veces por semana?
¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador avanzado y practique cuatro veces por semana?
¿Cuál es la probabilidad de que un miembro sea un nadador avanzado y un nadador intermedio? ¿Ser un nadador avanzado y un nadador intermedio son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no?
¿Ser un nadador principiante y practicar cuatro veces a la semana son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no?

Solución

$\frac{28}{150}$
$\frac{80}{150}$
$\frac{40}{150}$
P(avanzado $\cap$ intermedio) = 0, por lo que son eventos mutuamente excluyentes. Un nadador no puede ser un nadador avanzado y un nadador intermedio al mismo tiempo.
No, no son eventos independientes.
P(novato $\cap$ practica cuatro veces por semana) = 0,0667
P(novato)P(practica cuatro veces por semana) = 0,0996
0,0667 ≠ 0,0996

Inténtelo 3.16

Una escuela tiene 200 estudiantes de último año, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año se tome un año sabático?

Ejemplo 3.17

Felicity asiste a Modesto JC en Modesto, CA. La probabilidad de que Felicity se inscriba en una clase de Matemáticas es de 0,2 y la probabilidad de que lo haga en una clase de Oratoria es de 0,65. La probabilidad de que se inscriba en una clase de Matemáticas $|$ que se inscriba en la clase de Oratoria es de 0,25.

Supongamos que: M = clase de Matemáticas, S = clase de Oratoria, M $|$ S = discurso matemático dado

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¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en Matemáticas y Oratoria?
Calcule P(M $\cap$ S) = P(M $|$ S)P(S).
¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en clases de Matemáticas o de Oratoria?
Calcule P(M $\cup$ S) = P(M) + P(S) - P(M $\cap$ S).
¿M y S son independientes? ¿Es P(M $|$ S) = P(M)?
¿M y S son mutuamente excluyentes? ¿Es P(M $\cap$ S) = 0?

Solución

a. 0,1625, b. 0,6875, c. No, d. No

Inténtelo 3.17

Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos los eventos B = el estudiante pide un libro prestado y D = el estudiante pide un DVD prestado. Supongamos que P(B) = 0,40, P(D) = 0,30 y P(D $|$ B) = 0,5.

Calcule P(B $\cap$ D).
Calcule P(B $\cup$ D).

Ejemplo 3.18

Los estudios demuestran que una de cada siete mujeres (aproximadamente el 14,3 %) que viven hasta los 90 años desarrollará cáncer de mama. Supongamos que de las mujeres que desarrollan cáncer de mama el resultado de la prueba es negativo en el 2 % de las ocasiones. Supongamos también que en la población general de mujeres, el resultado de la prueba de cáncer de mama es negativo en el 85 % de las ocasiones. Supongamos que B = la mujer desarrolla cáncer de mama y supongamos que N = el resultado de la prueba es negativo. Supongamos que se selecciona una mujer al azar.

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¿Cuál es la probabilidad de que la mujer desarrolle cáncer de mama? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer obtenga un resultado negativo?
Dado que la mujer tiene cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea negativo?
¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama Y el resultado de la prueba sea negativo?
¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama o de que el resultado de la prueba sea negativo?
¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son eventos independientes?
¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son mutuamente excluyentes?

Solución

P(B) = 0,143; P(N) = 0,85
P(N $|$ B) = 0,02
P(B $\cap$ N) = P(B)P(N $|$ B) = (0,143)(0,02) = 0,0029
P(B $\cup$ N) = P(B) + P(N) - P(B $\cap$ N) = 0,143 + 0,85 - 0,0029 = 0,9901
No. P(N) = 0,85; P(N $|$ B) = 0,02. Por lo tanto, P(N $|$ B) no es igual a P(N).
No. P(B $\cap$ N) = 0,0029. Para que B y N sean mutuamente excluyentes, P(B $\cap$ N) debe ser cero.

Inténtelo 3.18

Una escuela tiene 200 estudiantes de último año, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año vaya al instituto universitario y practique deportes?

Ejemplo 3.19

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Consulte la información en el Ejemplo 3.18. P = pruebas con resultado positivo.

Dado que una mujer desarrolla cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P(P $|$ B) = 1 - P(N $|$ B).
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama y el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P(B $\cap$ P) = P(P $|$ B)P(B).
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no desarrolle cáncer de mama? Calcule P(B′) = 1 – P(B).
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga un resultado positivo en la prueba de cáncer de mama? Calcule P(P) = 1 – P(N).

Solución

a. 0,98; b. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15

Inténtelo 3.19

Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P(B) = 0,40, P(D) = 0,30 y P(D $|$ B) = 0,5.

Calcule P(B′).
Calcule P(D $\cap$ B).
Calcule P(B $|$ D).
Calcule P(D $\cap$ B′).
Calcule P(D $|$ B′).

3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad

La regla de multiplicación

La regla de adición

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución