Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Introducción a la estadística empresarial

3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes

Introducción a la estadística empresarial3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes

Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo.

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si uno de los siguientes es cierto:

  • P(A|B) = P(A)P(A|B)=P(A)
  • P(B|A) = P(B)P(B|A)=P(B)
  • P(A B) = P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)

Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes.

El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo.

  • Con reemplazo: si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda.
  • Sin reemplazo: cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes.

Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario.

Ejemplo 3.4

Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo.

a. Muestreo con reemplazo:
Supongamos que elige tres cartas con reemplazo. La primera carta que elige de las 52 cartas es la Q de picas. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una segunda carta del mazo de 52. Es el diez de tréboles. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una tercera carta del mazo de 52. Esta vez, la carta es la Q de picas de nuevo. Sus elecciones son {Q de picas, diez de tréboles, Q de picas}. Ha sacado la Q de picas dos veces. Saca cada carta del mazo de 52 cartas.

b. Muestreo sin reemplazo:
Supongamos que elige tres cartas sin reemplazo. La primera carta que saca de las 52 cartas es la K de corazones. Pone esta carta a un lado y saca la segunda carta de las 51 que quedan en el mazo. Es el tres de diamantes. Pone esta carta a un lado y saca la tercera carta de las 50 restantes del mazo. La tercera carta es la J de picas. Sus elecciones son {K de corazones, tres de diamantes, J de picas}. Como ha escogido las cartas sin reemplazo, no puede escoger la misma carta dos veces. La probabilidad de elegir el tres de diamantes se llama probabilidad condicional porque está condicionada a lo que se haya elegido primero. Esto es cierto también para la probabilidad de elegir la J de picas. La probabilidad de elegir la J de picas está realmente condicionada a las dos elecciones anteriores.

Inténtelo 3.4

Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. Se sacan tres cartas al azar.

  1. Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y Q de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo?
  2. Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y J de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo?

Ejemplo 3.5

Translation missing: es.problem

Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles.

  1. Supongamos que saca cuatro cartas, pero no vuelve a poner ninguna en el mazo. Sus cartas son QP, 1D, 1T, QD.
  2. Supongamos que toma cuatro cartas y devuelve cada una de ellas antes de tomar la siguiente. Sus cartas son KC, 7D, 6D, KC.

¿Cuál de a. o b. se muestreó con reemplazo y cuál se muestreó sin reemplazo?

Inténtelo 3.5

Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que se muestrean cuatro cartas sin reemplazo. ¿Cuál de los siguientes resultados es posible? Responda la misma pregunta para el muestreo con reemplazo.

  1. QP, 1D, 1T, QD
  2. KC, 7D, 6D, KC
  3. QP, 7D, 6D, KP

Eventos mutuamente excluyentes

A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Dicho de otra manera, si A ocurrió entonces B no puede ocurrir y viceversa. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P ( A B ) = 0 P(AB)=0.

Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A B = {4, 5}. P ( A B ) = 2 10 P(AB)= 2 10 y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que P ( A C ) = 0 P(AC)=0. Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes.

Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario. Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos.

Ejemplo 3.6

Lance dos monedas imparciales (esto es un experimento).

El espacio muestral es {HH, HT, TH, TT} donde T = cruces (tails) y H = caras (heads). Los resultados son HH, HT, TH y TT. Los resultados HT y TH son diferentes. La HT significa que la primera moneda salió cara y la segunda salió cruz. La TH significa que la primera moneda salió cruz y la segunda salió cara.

  • Supongamos que A = el evento de obtener como máximo una cruz (como máximo una cruz significa cero o una cruz). Entonces A se puede escribir como {HH, HT, TH}. El resultado HH muestra cero cruces. HT y TH muestran una cruz cada uno.
  • Supongamos que B = el evento de obtener siempre cruces. B se puede escribir como {TT}. B es el complemento de A, por lo que B = A′. Además, P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1.
  • Las probabilidades para A y para B son P(A) = 3434 y P(B) = 1414.
  • Supongamos que C = el evento de obtener siempre caras. C = {HH}. Dado que B = {TT}, P ( B C ) = 0 P(BC)=0. B y C son mutuamente excluyentes. (B y C no tienen miembros en común porque no se pueden tener siempre cruces y siempre caras al mismo tiempo).
  • Supongamos que D = evento de obtener más de una cruz. D = {TT}. P(D) = 1 4 1 4
  • Supongamos que E = evento de obtener una cara en la primera lanzada (esto implica que puede obtener una cara o una cruz en la segunda lanzada). E = {HT, HH}. P(E) = 2 4 2 4
  • Calcule la probabilidad de obtener al menos una (una o dos) cruces en dos lanzadas. Supongamos que F = evento de obtener al menos una cruz en dos lanzadas. F = {HT, TH, TT}. P(F) = 3 4 3 4

Inténtelo 3.6

Saque dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas con reemplazo. Calcule la probabilidad de obtener una carta negra como mínimo.

Ejemplo 3.7

Translation missing: es.problem

Lance dos monedas imparciales Calcule las probabilidades de los eventos.

  1. Supongamos que F = el evento de obtener como máximo una cruz (cero o una cruz).
  2. Supongamos que G = el evento de obtener dos caras iguales.
  3. Supongamos que H = el evento de obtener una cara en el primer lanzamiento seguido de una cara o una cruz en el segundo lanzamiento.
  4. ¿F y G son mutuamente excluyentes?
  5. Supongamos que J = el evento de obtener siempre cruces. ¿J y H son mutuamente excluyentes?

Inténtelo 3.7

Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:

  1. Supongamos que F = el evento de obtener la pelota blanca dos veces.
  2. Supongamos que G = el evento de obtener dos pelotas de colores diferentes.
  3. Supongamos que H = el evento de obtener blanco en la primera elección.
  4. ¿F y G son mutuamente excluyentes?
  5. ¿G y H son mutuamente excluyentes?

Ejemplo 3.8

Lance un dado imparcial de seis caras. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que el evento A = una cara es impar. Entonces A = {1, 3, 5}. Supongamos que el evento B = una cara es par. Entonces B = {2, 4, 6}.

  • Calcule el complemento de A, A′. El complemento de A, A′, es B porque A y B juntos constituyen el espacio muestral. P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1. Además, P(A) = 3636 y P(B) = 3636.
  • Supongamos que el evento C = caras impares mayores que dos. Entonces C = {3, 5}. Supongamos que el evento D = todas las caras pares menores que cinco. Entonces D = {2, 4} P ( C D ) = 0 P(CD)=0 porque no se puede tener una cara par y otra impar al mismo tiempo. Por lo tanto, C y D son eventos mutuamente excluyentes.
  • Supongamos que el evento E = todas las caras menores de cinco. E = {1, 2, 3, 4}.

Translation missing: es.problem

¿C y E son eventos mutuamente excluyentes? (Responda sí o no). ¿Por qué sí o por qué no?

  • Halle P(C|A)P(C|A). Se trata de una probabilidad condicional. Recordemos que el evento C es {3, 5} y el evento A es {1, 3, 5}. Para hallar P(C|A)P(C|A), calcule la probabilidad de C utilizando el espacio muestral A. Ha reducido el espacio muestral del original espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} a {1, 3, 5}. Así que, P(C|A) = 2 3 P(C|A)= 2 3 .

Inténtelo 3.8

Supongamos que el evento A = aprender español. Supongamos que el evento B = aprender alemán. Entonces A B =AB= aprender español y alemán. Supongamos que P ( A ) = 0,4 P(A)=0,4 y P ( B ) = 0,2 P(B)=0,2. P ( A B ) = 0,08 P(AB)=0,08. ¿Los eventos A y B son independientes? Pista: Debe demostrar UNO de los siguientes aspectos:

  • P ( A | B ) = P ( A ) P(A|B)=P(A)
  • P ( B | A ) = P ( B )P(B|A)=P(B)
  • P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B)

Ejemplo 3.9

Supongamos que el evento G = tomar una clase de Matemáticas. Supongamos que el evento H = tomar una clase de Ciencias. Entonces, G H = tomar una clase de Matemáticas y otra de Ciencias. Supongamos que P(G) = 0,6, P(H) = 0,5P(G)=0,6,P(H)=0,5 y P(GH) = 0,3.P(GH)=0,3. ¿G y H son independientes?

Si G y H son independientes, entonces debe demostrar UNA de las siguientes cosas:

  • P ( G | H ) = P ( G ) P(G|H)=P(G)
  • P ( H | G ) = P ( H ) P(H|G)=P(H)
  • P ( G H ) = P ( G ) P ( H ) P(GH)=P(G)P(H)

NOTA

La elección que haga depende de la información que tenga. Puede elegir cualquiera de los métodos aquí porque tiene la información necesaria.

Translation missing: es.problem

a. Demuestre que P(G|H) = P(G)P(G|H)=P(G).

Translation missing: es.problem

b. Demuestre que P(G H) = P(G)P(H)P(GH)=P(G)P(H).

Dado que G y H son independientes, saber que una persona está tomando una clase de Ciencias no cambia la posibilidad de que esté tomando una clase de Matemáticas. Si los dos eventos no fueran independientes (es decir, son dependientes), entonces saber que una persona está tomando una clase de Ciencias cambiaría la probabilidad de que esté tomando la clase de Matemáticas. Para la práctica, demuestre que P(H|G)= P(H)P(H|G)=P(H) para demostrar que G y H son eventos independientes.

Inténtelo 3.9

En una bolsa hay seis canicas rojas y cuatro verdes. Las canicas rojas están marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las canicas verdes están marcadas con los números 1, 2, 3 y 4.

  • R = una canica roja (red)
  • G = una canica verde (green)
  • O = una canica impar (odd)
  • El espacio muestral es S = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, G1, G2, G3, G4}.

S tiene diez resultados. ¿Cuál es el P ( G O ) P(GO)?

Ejemplo 3.10

Translation missing: es.problem

Supongamos que el evento C = tomar una clase de Inglés. Supongamos que el evento D = tomar una clase de oratoria.

Supongamos que P(C) = 0,75P(C)=0,75, P(D) = 0,3P(D)=0,3, P(C|D) = 0,75P(C|D)=0,75 y P ( C D ) = 0,225 P(CD)=0,225.

Justifique numéricamente sus respuestas a las siguientes preguntas.

  1. ¿C y D son independientes?
  2. ¿C y D son mutuamente excluyentes?
  3. ¿Cuál es el P ( D | C )P(D|C)?

Inténtelo 3.10

Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40 P(B)=0,40, P ( D ) = 0,30 P(D)=0,30 y P ( B D ) = 0,20 P(BD)=0,20.

  1. Halle P ( B | D ) P(B|D).
  2. Calcule P ( D | B ) P(D|B).
  3. ¿B y D son independientes?
  4. ¿B y D son mutuamente excluyentes?

Ejemplo 3.11

En una caja hay tres tarjetas rojas y cinco azules. Las cartas rojas están marcadas con los números 1, 2 y 3, y las azules con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Las cartas están bien barajadas. Usted mete la mano en la caja (no puede ver dentro de ella) y saca una carta.

Supongamos que R = se saca la tarjeta roja (red), B = se saca la tarjeta azul (blue), E = se saca la tarjeta par (even).

El espacio muestral S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S tiene ocho resultados.

  • P(R) = 3 8 . P(B) = 5 8 . P ( R B ) = 0 P(R)= 3 8 .P(B)= 5 8 .P(RB)=0. (No puede sacar una tarjeta que sea roja y azul a la vez).
  • P(E) = 3 8 P(E)= 3 8 . (Hay tres cartas con números pares, R2, B2 y B4).
  • P ( E | B ) = 2 5 P(E|B)= 2 5 . (Hay cinco tarjetas azules: B1, B2, B3, B4 y B5. De las tarjetas azules, hay dos tarjetas pares; B2 y B4).
  • P ( B | E ) = 2 3 P(B|E)= 2 3 . (Hay tres tarjetas con números pares: R2, B2 y B4. De las tarjetas pares, dos son azules; B2 y B4).
  • Los eventos R y B son mutuamente excluyentes porque P ( R B ) = 0 P(RB)=0.
  • Supongamos que G = tarjeta con un número mayor que 3. G = {B4, B5}. P(G) = 2 8 P(G)= 2 8 . Supongamos que H = tarjeta azul numerada entre el uno y el cuatro, ambos inclusive. H = {B1, B2, B3, B4}. P ( G | H ) = 1 4 P(G|H)= 1 4 . (La única carta de H que tiene un número mayor que tres es B4). Dado que 2 8 2 8 = 1 4 1 4 , P ( G ) = P ( G | H ) P(G)=P(G|H), lo que significa que G y H son independientes.

Inténtelo 3.11

En un estadio de baloncesto,

  • El 70 % de los aficionados apoyan al equipo local.
  • El 25 % de los aficionados están vestidos de color azul.
  • El 20 % de los aficionados están vestidos de color azul y animan al equipo visitante.
  • El 67 % de los aficionados que apoyan al equipo visitante están vestidos de color azul.

Supongamos que A es el evento en el que un aficionado apoya al equipo visitante.
Supongamos que B es el evento en el que un aficionado esté vestido de color azul.
¿Los eventos de animar al equipo visitante y vestir de color azul son eventos independientes? ¿Son mutuamente excluyentes?

Ejemplo 3.12

En una clase en el instituto universitario, el 60 % de los estudiantes son mujeres. El cincuenta por ciento de los estudiantes de la clase tienen el cabello largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el cabello largo. De las estudiantes, el 75 % tiene el cabello largo. Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. Se elige un estudiante al azar. ¿Los hechos de ser mujer y tener el cabello largo son independientes?

  • En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades:
  • P ( F ) = 0,60 ; P ( L ) = 0,50 P(F)=0,60;P(L)=0,50
  • P ( F L ) = 0,45 P(FL)=0,45
  • P ( L | F ) = 0,75 P(L|F)=0,75

NOTA

La elección que haga depende de la información que tenga. Para este ejemplo puede utilizar la primera o la última condición de la lista. Todavía no conoce P(F|L), por lo que no puede utilizar la segunda condición.

Compruebe si P ( F L ) = P ( F ) P ( L ) P(FL)=P(F)P(L). Dado que P ( F L ) = 0,45 P(FL)=0,45, pero P ( F ) P ( L ) = ( 0,60 ) ( 0,50 ) = 0,30 P(F)P(L)=(0,60)(0,50)=0,30. El hecho de ser mujer y tener el pelo largo no son independientes porque P ( F L ) P(FL) no es igual a P ( F ) P ( L ) P(F)P(L).

Compruebe si P ( L | F ) P(L|F) es igual a P ( L ) P(L). Dado que P ( L | F ) = 0,75 P(L|F)=0,75, pero P ( L ) = 0,50 P(L)=0,50; no son iguales. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes.

Interpretación de los resultados

Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo.

Inténtelo 3.12

Mark está decidiendo qué ruta tomar para ir al trabajo. Sus opciones son la I = Interestatal y la F = Fifth Street

  • P ( I ) = 0,44 P(I)=0,44 y P ( F ) = 0,56 P(F)=0,56
  • P ( I F ) = 0 P(IF)=0 porque Mark solo tomará una ruta para ir al trabajo.

¿Cuál es la probabilidad de P ( I F )P(IF)?

Ejemplo 3.13

Translation missing: es.problem

  1. Lanza una moneda imparcial (la moneda tiene dos caras, H y T). Los resultados son ________. Cuente los resultados. Hay ____ resultados.
  2. Lanza un dado imparcial de seis caras (el dado tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos en una cara). Los resultados son ________________. Cuente los resultados. Hay ___ resultados.
  3. Multiplique los dos números de los resultados. La respuesta es _______.
  4. Si se lanza una moneda justa y se sigue con el lanzamiento de un dado justo de seis caras, la respuesta a c es el número de resultados (tamaño del espacio muestral). ¿Cuáles son los resultados? (Pista: dos de los resultados son H1 y T6).
  5. Evento A = cara (H) en la moneda seguida de un número par (2, 4, 6) en el dado.
    A = {_________________}. Calcule P(A).
  6. Evento B = cara en la moneda seguida de un tres en el dado. B = {________}. Calcule P(B).
  7. ¿A y B son mutuamente excluyentes? (Pista: ¿Cuál es el P ( A B ) P(AB)? Si P ( A B ) = 0 P(AB)=0, entonces A y B son mutuamente excluyentes).
  8. ¿A y B son independientes? (Pista: ¿Es P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B)? Si P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B), entonces A y B son independientes. Si no es así, entonces son dependientes).

Inténtelo 3.13

Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Supongamos que T es el evento de obtener la pelota blanca dos veces, F el evento de sacar la pelota blanca primero y S el evento de sacar la pelota blanca en la segunda extracción.

  1. Calcule P ( T ) P(T).
  2. Calcule P ( T | F ) P(T|F).
  3. ¿T y F son independientes?.
  4. ¿F y S son mutuamente excluyentes?
  5. ¿F y S son independientes?
Cita/Atribución

Este libro no puede ser utilizado en la formación de grandes modelos de lenguaje ni incorporado de otra manera en grandes modelos de lenguaje u ofertas de IA generativa sin el permiso de OpenStax.

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 28 ene. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.