3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes

Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo.

a. Muestreo con reemplazo:
Supongamos que elige tres cartas con reemplazo. La primera carta que elige de las 52 cartas es la Q de picas. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una segunda carta del mazo de 52. Es el diez de tréboles. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una tercera carta del mazo de 52. Esta vez, la carta es la Q de picas de nuevo. Sus elecciones son {Q de picas, diez de tréboles, Q de picas}. Ha sacado la Q de picas dos veces. Saca cada carta del mazo de 52 cartas.

b. Muestreo sin reemplazo:
Supongamos que elige tres cartas sin reemplazo. La primera carta que saca de las 52 cartas es la K de corazones. Pone esta carta a un lado y saca la segunda carta de las 51 que quedan en el mazo. Es el tres de diamantes. Pone esta carta a un lado y saca la tercera carta de las 50 restantes del mazo. La tercera carta es la J de picas. Sus elecciones son {K de corazones, tres de diamantes, J de picas}. Como ha escogido las cartas sin reemplazo, no puede escoger la misma carta dos veces. La probabilidad de elegir el tres de diamantes se llama probabilidad condicional porque está condicionada a lo que se haya elegido primero. Esto es cierto también para la probabilidad de elegir la J de picas. La probabilidad de elegir la J de picas está realmente condicionada a las dos elecciones anteriores.

Lance dos monedas imparciales (esto es un experimento).

El espacio muestral es {HH, HT, TH, TT} donde T = cruces (tails) y H = caras (heads). Los resultados son HH, HT, TH y TT. Los resultados HT y TH son diferentes. La HT significa que la primera moneda salió cara y la segunda salió cruz. La TH significa que la primera moneda salió cruz y la segunda salió cara.

• Supongamos que A = el evento de obtener como máximo una cruz (como máximo una cruz significa cero o una cruz). Entonces A se puede escribir como {HH, HT, TH}. El resultado HH muestra cero cruces. HT y TH muestran una cruz cada uno.
• Supongamos que B = el evento de obtener siempre cruces. B se puede escribir como {TT}. B es el complemento de A, por lo que B = A′. Además, P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1.
• Las probabilidades para A y para B son P(A) = $\frac{3}{4}$ y P(B) = $\frac{1}{4}$.
• Supongamos que C = el evento de obtener siempre caras. C = {HH}. Dado que B = {TT}, $P(B\cap C)=0$. B y C son mutuamente excluyentes. (B y C no tienen miembros en común porque no se pueden tener siempre cruces y siempre caras al mismo tiempo).
• Supongamos que D = evento de obtener más de una cruz. D = {TT}. P(D) = $\frac{1}{4}$
• Supongamos que E = evento de obtener una cara en la primera lanzada (esto implica que puede obtener una cara o una cruz en la segunda lanzada). E = {HT, HH}. P(E) = $\frac{2}{4}$
• Calcule la probabilidad de obtener al menos una (una o dos) cruces en dos lanzadas. Supongamos que F = evento de obtener al menos una cruz en dos lanzadas. F = {HT, TH, TT}. P(F) = $\frac{3}{4}$

Lance un dado imparcial de seis caras. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que el evento A = una cara es impar. Entonces A = {1, 3, 5}. Supongamos que el evento B = una cara es par. Entonces B = {2, 4, 6}.

• Calcule el complemento de A, A′. El complemento de A, A′, es B porque A y B juntos constituyen el espacio muestral. P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1. Además, P(A) = $\frac{3}{6}$ y P(B) = $\frac{3}{6}$.
• Supongamos que el evento C = caras impares mayores que dos. Entonces C = {3, 5}. Supongamos que el evento D = todas las caras pares menores que cinco. Entonces D = {2, 4} $P(C\cap D)=0$ porque no se puede tener una cara par y otra impar al mismo tiempo. Por lo tanto, C y D son eventos mutuamente excluyentes.
• Supongamos que el evento E = todas las caras menores de cinco. E = {1, 2, 3, 4}.

• Halle $P\left(C\right|A)$. Se trata de una probabilidad condicional. Recordemos que el evento C es {3, 5} y el evento A es {1, 3, 5}. Para hallar $P\left(C\right|A)$, calcule la probabilidad de C utilizando el espacio muestral A. Ha reducido el espacio muestral del original espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} a {1, 3, 5}. Así que, $P\left(C\right|A)=\frac{2}{3}$.

Supongamos que el evento G = tomar una clase de Matemáticas. Supongamos que el evento H = tomar una clase de Ciencias. Entonces, G $\cap$ H = tomar una clase de Matemáticas y otra de Ciencias. Supongamos que $P\left(G\right)=\mathrm{0,6},P\left(H\right)=\mathrm{0,5}$ y $P(G\cap H)=\mathrm{0,3}.$ ¿G y H son independientes?

Si G y H son independientes, entonces debe demostrar UNA de las siguientes cosas:

• $P\left(G\right|H)=P(G)$
• $P\left(H\right|G)=P(H)$
• $P(G\cap H)=P\left(G\right)P\left(H\right)$

Dado que G y H son independientes, saber que una persona está tomando una clase de Ciencias no cambia la posibilidad de que esté tomando una clase de Matemáticas. Si los dos eventos no fueran independientes (es decir, son dependientes), entonces saber que una persona está tomando una clase de Ciencias cambiaría la probabilidad de que esté tomando la clase de Matemáticas. Para la práctica, demuestre que $P\left(H\right|G)=P(H)$ para demostrar que G y H son eventos independientes.

En una caja hay tres tarjetas rojas y cinco azules. Las cartas rojas están marcadas con los números 1, 2 y 3, y las azules con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Las cartas están bien barajadas. Usted mete la mano en la caja (no puede ver dentro de ella) y saca una carta.

Supongamos que R = se saca la tarjeta roja (red), B = se saca la tarjeta azul (blue), E = se saca la tarjeta par (even).

El espacio muestral S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S tiene ocho resultados.

• $P\left(R\right)=\frac{3}{8}.P\left(B\right)=\frac{5}{8}.P(R\cap B)=0$. (No puede sacar una tarjeta que sea roja y azul a la vez).
• $P\left(E\right)=\frac{3}{8}$. (Hay tres cartas con números pares, R2, B2 y B4).
• $P(E|B)=\frac{2}{5}$. (Hay cinco tarjetas azules: B1, B2, B3, B4 y B5. De las tarjetas azules, hay dos tarjetas pares; B2 y B4).
• $P(B|E)=\frac{2}{3}$. (Hay tres tarjetas con números pares: R2, B2 y B4. De las tarjetas pares, dos son azules; B2 y B4).
• Los eventos R y B son mutuamente excluyentes porque $P(R\cap B)=0$.
• Supongamos que G = tarjeta con un número mayor que 3. G = {B4, B5}. $P\left(G\right)=\frac{2}{8}$. Supongamos que H = tarjeta azul numerada entre el uno y el cuatro, ambos inclusive. H = {B1, B2, B3, B4}. $P(G|H)=\frac{1}{4}$. (La única carta de H que tiene un número mayor que tres es B4). Dado que $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$, $P\left(G\right)=P\left(G\right|H)$, lo que significa que G y H son independientes.

En una clase en el instituto universitario, el 60 % de los estudiantes son mujeres. El cincuenta por ciento de los estudiantes de la clase tienen el cabello largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el cabello largo. De las estudiantes, el 75 % tiene el cabello largo. Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. Se elige un estudiante al azar. ¿Los hechos de ser mujer y tener el cabello largo son independientes?

• En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades:
• $P\left(F\right)\mathrm{=}\mathrm{0,60};P\left(L\right)\mathrm{=}\mathrm{0,50}$
• $P(F\cap L)=\mathrm{0,45}$
• $P\left(L\right|F)=\mathrm{0,75}$

Compruebe si $P(F\cap L)=P\left(F\right)P\left(L\right)$. Dado que $P(F\cap L)=\mathrm{0,45}$, pero $P\left(F\right)P\left(L\right)=\left(\mathrm{0,60}\right)\left(\mathrm{0,50}\right)=\mathrm{0,30}$. El hecho de ser mujer y tener el pelo largo no son independientes porque $P(F\cap L)$ no es igual a $P\left(F\right)P\left(L\right)$.

Compruebe si $P\left(L\right|F)$ es igual a $P\left(L\right)$. Dado que $P\left(L\right|F)=\mathrm{0,75}$, pero $P\left(L\right)=\mathrm{0,50}$; no son iguales. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes.

Interpretación de los resultados

Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo.