2.3 Medidas del centro de los datos

El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana. Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Técnicamente es la media aritmética. Más adelante hablaremos de la media geométrica. Para hallar la mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales, lo que significa un número igual de observaciones en cada lado. El peso de 25 personas está por debajo de ese peso y 25 personas están por encima de ese peso. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro.

Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x”): $\bar{x}$.

La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población. Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria.

Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra:
1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4

En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5.

Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión $\frac{n+1}{2}$.

La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces $\frac{n+1}{2}$= $\frac{97+1}{2}$ = 49. La mediana es el 49.^º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces $\frac{n+1}{2}$= $\frac{100+1}{2}$ = 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50.^º y 51.^º. La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor.

Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal.

Cálculo de la media aritmética de tablas de frecuencias agrupadas

Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media = $\frac{\text{suma de los datos}}{numberofdatavalues}$ Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias.

Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es $\frac{\text{límite inferior + límite superior}}{2}$. Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea $\mathit{\text{Tabla de media de la frecuencia}}=\frac{{\displaystyle \sum fm}}{{\displaystyle \sum f}}$ donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo.

Ejemplo 2.28

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Se presenta una tabla de frecuencias que muestra la prueba estadística anterior del profesor Blount. Calcule la mejor estimación de la media de la clase.

Intervalo de grado	Número de estudiantes
50–56,5	1
56,5–62,5	0
62,5–68,5	4
68,5–74,5	4
74,5–80,5	2
80,5–86,5	3
86,5–92,5	4
92,5–98,5	1

Tabla 2.24

Solución

• Calcule los puntos medios de todos los intervalos

Intervalo de grado	Punto medio
50–56,5	53,25
56,5–62,5	59,5
62,5–68,5	65,5
68,5–74,5	71,5
74,5–80,5	77,5
80,5–86,5	83,5
86,5–92,5	89,5
92,5–98,5	95,5

Tabla 2.25

• Calcule la suma del producto de la frecuencia de cada intervalo y el punto medio.${{\displaystyle \sum }}^{\text{}}fm$
  
  $\mathrm{53,25}(1)+\mathrm{59,5}(0)+\mathrm{65,5}(4)+\mathrm{71,5}(4)+\mathrm{77,5}(2)+\mathrm{83,5}(3)+\mathrm{89,5}(4)+\mathrm{95,5}(1)=\mathrm{1460,25}$
• $\mu =\frac{{\displaystyle \sum fm}}{{\displaystyle \sum f}}=\frac{\mathrm{1460,25}}{19}=\mathrm{76,86}$

Inténtelo 2.28

Maris realizó un estudio sobre el efecto que tiene jugar videojuegos en el recuerdo. Como parte de su estudio recopiló los siguientes datos:

Horas que los adolescentes dedican a los videojuegos	Número de adolescentes
0–3,5	3
3,5–7,5	7
7,5–11,5	12
11,5–15,5	7
15,5–19,5	9

Tabla 2.26

¿Cuál es la mejor estimación del número medio de horas dedicadas a los videojuegos?