2.2 Medidas de la ubicación de los datos

Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles

Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q₁, es igual que el percentil 25, y el tercer cuartil, Q₃, es igual que el percentil 75. La mediana, M, se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50.

Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación.

Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75. Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220.

Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo.

La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos.
1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1
Ordenado de menor a mayor:
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5

Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos.

La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete.

Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q₁, es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q₃, es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos:
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5

La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos.
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8

El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil. Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos.

La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve.

El tercer cuartil, Q3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo.

El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil (Q₃) y el primer cuartil (Q₁).

IQR = Q₃ – Q₁

El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos. Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)(IQR) por debajo del primer cuartil o más de (1,5)(IQR) por encima del tercer cuartil. Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda.

Una fórmula para hallar el percentil k

Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas.

k = el percentil k. Puede o no formar parte de los datos.

i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos)

n = el número total de puntos de datos u observaciones

• Ordene los datos de menor a mayor.
• Calcule $i=\frac{k}{100}(n+1)$
• Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos.
• Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo.

Ejemplo 2.18

Translation missing: es.problem

Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor.
18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

1. Calcule el percentil 70.
2. Calcule el percentil 83.

Solución

1. • k = 70
   • i = el índice
   • n = 29
   i = $\frac{k}{100}$ (n + 1) = ($\frac{70}{100}$)(29 + 1) = 21. Veintiuno es un número entero, y el valor de los datos en la posición 21 del conjunto de datos ordenados es 64. El percentil 70 es 64 años.
2. • k = percentil 83
   • i = el índice
   • n = 29
   i = $\frac{k}{100}$ (n + 1) = ($\frac{83}{100}$)(29 + 1) = 24,9, que NO es un número entero. Redondee a 24 hacia abajo y a 25 hacia arriba. La edad en el puesto 24 es de 71 años y la edad en el puesto 25 es de 72 años. Promedio 71 y 72. El percentil 83 es de 71,5 años.

Inténtelo 2.18

Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor.

18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77
Calcule el percentil 20 y el percentil 55.

Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos

• Ordene los datos de menor a mayor.
• x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil.
• y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil.
• n = el número total de datos.
• Calcule $\frac{x+\mathrm{0,5}y}{n}$(100). Luego, redondee al número entero más cercano.

Ejemplo 2.19

Translation missing: es.problem

Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor.
18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

1. Calcule el percentil de 58.
2. Calcule el percentil de 25.

Solución

1. Contando desde el final de la lista hay 18 valores de datos inferiores a 58. Hay un valor de 58.

   x = 18 y y = 1.$\frac{x+\mathrm{0,5}y}{n}$(100) = $\frac{18+\mathrm{0,5}(1)}{29}$(100) = 63,80. 58 es el percentil 64.

2. Contando desde el final de la lista hay tres valores de datos inferiores a 25. Hay un valor de 25.

   x = 3 y y = 1.$\frac{x+\mathrm{0,5}y}{n}$(100) = $\frac{3+\mathrm{0,5}(1)}{29}$(100) = 12,07. Veinticinco es el percentil 12.

Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana

Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15.

• Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos.
• Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos.

Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor.

Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto.