Soluciones

dos proporciones

muestras coincidentes o emparejadas

media sencilla

medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas

dos proporciones

medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas

medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas

dos proporciones

La variable aleatoria es la diferencia entre las cantidades medias de azúcar de las dos bebidas gaseosas.

medias

dos colas

la diferencia entre la duración media de la vida de personas blancas y personas que no son blancas

Se trata de una comparación de dos medias poblacionales con desviaciones típicas poblacionales desconocidas.

Compruebe la solución del estudiante.

1. No se puede aceptar la hipótesis nula
2. valor p < 0,05
3. No hay pruebas suficientes al nivel de significación del 5 % para respaldar la afirmación de que la esperanza de vida en la década de 1900 es diferente entre los blancos y los no blancos.

P′_OS1 – P′_OS2 = diferencia en las proporciones de teléfonos que tuvieron fallos del sistema durante las primeras ocho horas de funcionamiento con OS₁ y OS₂.

proporciones

cola derecha

La variable aleatoria es la diferencia de proporciones (porcentajes) de las poblaciones que son de dos o más razas en Nevada y Dakota del Norte.

El tamaño de nuestras muestras es muy superior a cinco, por lo que utilizamos la distribución normal para dos proporciones para esta prueba de hipótesis.

1. No se puede aceptar la hipótesis nula
2. valor p < alfa
3. Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la proporción (porcentaje) de la población que es de dos o más razas en Nevada es estadísticamente mayor que la de Dakota del Norte.

La diferencia en las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de los dos lanzadores

-2,46

Al nivel de significación del 1 %, podemos rechazar la hipótesis nula. Hay datos suficientes para concluir que la velocidad media de la pelota rápida de Rodríguez es más rápida que la de Wesley.

Subíndices: 1 = Con alimento, 2 = Sin alimento
$H_0:{\mu }_1\le {\mu }_2$
$H_a:{\mu }_1>{\mu }_2$

Subíndices: 1 = gamma, 2 = zeta
$H_0:{\mu }_1={\mu }_2$
$H_a:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

Hay suficientes pruebas, por lo que no podemos aceptar la hipótesis nula. Los datos apoyan que el punto de fusión de la aleación zeta es diferente del punto de fusión de la aleación gamma.

la diferencia media de los fallos del sistema

Con un valor p de 0,0067, no podemos aceptar la hipótesis nula. Hay suficientes pruebas que demuestran que el parche de software es eficaz para reducir el número de fallos del sistema.

H₀: μ_d ≥ 0

H_a: μ_d < 0

No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que respalden la eficacia del medicamento.

Subíndices: 1: colegios universitarios de dos años; 2: universidades de cuatro años

1. $H_0:{\mu }_1\ge {\mu }_2$
2. $H_a:{\mu }_1<{\mu }_2$
3. ${\overline{X}}_1–{\overline{X}}_2$ es la diferencia entre la media de matriculación en los institutos universitarios de dos años y en las universidades de cuatro años.
4. t de Student
5. estadístico de prueba: –0,2480
6. valor p: 0,4019
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede rechazar.
   3. Motivo de la decisión: valor p > alfa
   4. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años.

Subíndices: 1: ingeniería mecánica; 2: ingeniería eléctrica

1. $H_0:{\mu }_1\ge {\mu }_2$
2. $H_a:{\mu }_1<{\mu }_2$
3. ${\overline{X}}_1–{\overline{X}}_2$ es la diferencia entre la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos y los ingenieros eléctricos.
4. t₁₀₈
5. estadístico de prueba: t = –0,82
6. valor p: 0,2061
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula.
   3. Motivo de la decisión: valor p > alfa
   4. Conclusión: A un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos es inferior a la de los ingenieros eléctricos.

1. $H_0:{\mu }_1={\mu }_2$
2. $H_a:{\mu }_1\ne {\mu }_2$
3. ${\overline{X}}_1–{\overline{X}}_2$ es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos.
4. t_20,32
5. estadístico de prueba: –4,70
6. valor p: 0,0001
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos.

1. $H_0:{\mu }_1={\mu }_2$
2. $H_a:{\mu }_1\ne {\mu }_2$
3. es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos.
4. t_40,94
5. estadístico de prueba: –5,08
6. valor p: cero
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos.

c

Ejercicio: dos medias muestrales independientes, desviaciones típicas poblacionales desconocidas.

${\mu }_1$ = el precio medio de un libro de texto de Sociología en el sitio seleccionado.

${\mu }_2$ = el precio medio de un libro de texto de Matemáticas/Ciencias en el sitio seleccionado.

Variable aleatoria: $\overline{X_1}–\overline{X_1}$ = la diferencia en el precio medio de los libros de texto de la muestra entre los libros de texto de Sociología y los de Matemáticas y Ciencias.

Hipótesis: $H_0 : {\mu }_1–{\mu }_2 = 0, H_a : {\mu }_1 – {\mu }_2 < {\mu }_2$ que puede expresarse como $\mathrm{H}0\mathrm{s}: \mathrm{\mu }1–\mathrm{\mu }2, \mathrm{Ha} \mathrm{\mu }1 < \mathrm{\mu }2$.

Distribución para la prueba: Utilice la sustitución en $t_{df}$; porque cada muestra tiene más de 30 observaciones, $df=n_1+n_2–2=33+33–2=64$.

Estime el valor crítico en la tabla $t$utilizando los grados de libertad disponibles más próximos, 60. El valor crítico, 2,660, se halla en la columna de 0,0005.

Calcule el estadístico de prueba:$t_c=\frac{({\overline{X}}_1–{\overline{X}}_2)–0}{\sqrt{{\displaystyle \frac{{s_1}^2}{n_2}}+{\displaystyle \frac{{s_2}^2}{n_2}}}}=\frac{(74.64–111.56)–0}{\sqrt{{\displaystyle \frac{49.{36}^2}{33}}+{\displaystyle \frac{66.{90}^2}{33}}}}=–2.55$.

Utilizando una calculadora con $t_c=–2.55$ y $df=64$, el valor $p$: Decisión: Rechazar $H_0$. Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, hay suficientes pruebas para concluir que el precio medio de los libros de texto de Sociología es inferior al precio medio de los libros de texto de Matemáticas/Ciencias.

d

1. H₀: P_W = P_B
2. H_a: P_W ≠ P_B
3. La variable aleatoria es la diferencia en las proporciones de víctimas de suicidio blancas y negras, de 15 a 24 años.
4. normal para dos proporciones
5. estadístico de prueba: –0,1944
6. valor p: 0,8458
7. Compruebe la solución del estudiante
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p > alfa
   4. Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de mujeres blancas y negras víctimas de suicidio, de entre 15 y 24 años, sean diferentes.

Subíndices: 1 = Cabrillo College, 2 = Lake Tahoe College

1. $H_0:p_1=p_2$
2. $H_a:p_1\ne p_2$
3. La variable aleatoria es la diferencia entre las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y el Lake Tahoe College.
4. normal para dos proporciones
5. estadístico de prueba: 4,29
6. valor p: 0,00002
7. Compruebe la solución del estudiante
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y en el Lake Tahoe College son diferentes.

a

Prueba: dos proporciones de muestras independientes.

Variable aleatoria: p′₁ – p′₂

Distribución:
$H_0:p_1=p_2$
$H_a:p_1\ne p_2$

La proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos es diferente para los usuarios de 16 a 29 años que para los de 30 o más.

Gráfico: de dos colas

Prueba: dos proporciones de muestras independientes

Variable aleatoria: p′₁ − p′₂

Distribución:

$H_0:p_1=p_2$
$H_a:p_1>p_2$

La proporción de propietarios de tabletas es mayor entre 16 y 29 años que entre 30 y más.

Gráfico: cola derecha

No rechace la H₀.

Conclusión: Con un nivel de significación del 1 % a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de tabletas tenga entre 16 y 29 años que 30 años o más.

Subíndices: 1: hombres; 2: mujeres

1. $H_0:p_1\le p_2$
2. $H_a:p_1>p_2$
3. ${P^{\prime }}_1–{P^{\prime }}_2$ es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos.
4. normal para dos proporciones
5. estadístico de prueba: 0,22
6. valor p: 0,4133
7. Compruebe la solución del estudiante
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula.
   3. Motivo de la decisión: valor p > alfa
   4. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que la de mujeres.

1. $H_0:p_1=p_2$
2. $H_a:p_1\ne p_2$
3. {P^{\prime }}_1–{P^{\prime }}_2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que tienen, al menos, una oreja perforada.
4. normal para dos proporciones
5. estadístico de prueba: –4,82
6. valor p: cero
7. Compruebe la solución del estudiante
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de hombres y mujeres con, al menos, una oreja perforada son diferentes.

1. H₀: µ_d = 0
2. H_a: µ_d > 0
3. La variable aleatoria X_d es la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna.
4. t₉
5. estadístico de prueba: 4,8963
6. valor p: 0,0004
7. Compruebe la solución del estudiante
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna ha aumentado.

Subíndices: 1 = hombres, 2 = mujeres

1. $H_0:{\mu }_1\le {\mu }_2$
2. $H_a:{\mu }_1>{\mu }_2$
3. La variable aleatoria es la diferencia en la media de los costos de los seguros de automóviles de hombres y mujeres.
4. normal
5. estadístico de prueba: z = 2,50
6. valor p: 0,0062
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el costo medio del seguro de automóvil de los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes.

Subíndices: 1 = sedanes no híbridos, 2 = sedanes híbridos

1. $H_0:{\mu }_1\ge {\mu }_2$
2. $H_a:{\mu }_1<{\mu }_2$
3. La variable aleatoria es la diferencia en la media de millas por galón de los sedanes no híbridos y los sedanes híbridos.
4. normal
5. estadístico de prueba: 6,36
6. valor p: 0
7. Compruebe la solución del estudiante.
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la media de millas por galón de los sedanes no híbridos es inferior a la de los híbridos.

1. H₀: µ_d = 0
2. H_a: µ_d < 0
3. La variable aleatoria X_d es la diferencia promedio entre el nivel de satisfacción del esposo y de la esposa.
4. t₉
5. estadístico de prueba: t = –1,86
6. valor p: 0,0479
7. Compruebe la solución del estudiante
8. 1. Alfa: 0,05
   2. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula, pero hay que hacer otra prueba.
   3. Motivo de la decisión: valor p < alfa
   4. Conclusión: Se trata de una prueba débil porque alfa y el valor pestán cerca. Sin embargo, no hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media es negativa.

valor p = 0,1494

Con un nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que el medicamento reduzca los niveles de colesterol después de 12 semanas.

Prueba: dos pares coincidentes o muestras emparejadas (prueba t)

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_d$

Distribución: t₁₂

H₀: μ_d = 0 H_a: μ_d > 0

La media de las diferencias de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur entre 2013 y 2012 es mayor de cero. La estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur es mayor en 2013 que en 2012.

Gráfico: cola derecha

valor p: 0,0004

Decisión: No se puede aceptar H₀

Conclusión: Con un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que hubo una mayor estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en 2013 que en 2012.

Prueba: muestras coincidentes o emparejadas (pruebat)

Datos de diferencia: {–0,9; –3,7; –3,2; –0,5; 0,6; –1,9; –0,5; 0,2; 0,6; 0,4; 1,7; –2,4; 1,8}

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_d$

Distribución: H₀: μ_d = 0 H_a: μ_d < 0

La media de las diferencias de la tasa de subempleo en los estados del noreste entre 2012 y 2011 es inferior a cero. La tasa de subempleo bajó de 2011 a 2012.

Gráfico: cola izquierda.

Decisión: No se puede rechazar H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que hubo una disminución en las tasas de subempleo de los estados del noreste de 2011 a 2012.

e

d

e

e

e

a