Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética

Fórmula de la media de la población

μ = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i}

Fórmula de la media muestral

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Esta unidad está aquí para recordarle el material que una vez estudió y en su momento dijo: “¡Estoy seguro de que nunca necesitaré esto!”.

Estas son las fórmulas de la media poblacional y de la media muestral. La letra griega μ es el símbolo de la media poblacional y $\bar{x}$ es el símbolo de la media muestral. Ambas fórmulas tienen un símbolo matemático que nos indica cómo hacer los cálculos. Se llama notación Sigma porque el símbolo es la letra griega mayúscula sigma: Σ. Como todos los símbolos matemáticos nos dice lo que hay que hacer: igual que el signo más nos dice que hay que sumar y la x nos dice que hay que multiplicar. Se denominan operadores matemáticos. El símbolo Σ nos dice que hay que añadir una lista específica de números.

Supongamos que tenemos una muestra de animales del refugio de animales local y nos interesa su edad promedio. Si enumeramos cada valor, u observación, en una columna, se puede dar a cada uno un número de índice. El primer número será el número 1 y el segundo el número 2 y así sucesivamente.

Animal

Edad

1

9

2

1

3

8,5

4

10,5

5

10

6

8,5

7

12

8

9

1

10

9,5

Tabla 2.27

Cada observación representa un animal concreto de la muestra. Purr es el animal número uno y es un gato de 9 años, Toto es el animal número 2 y es un cachorro de 1 año y así sucesivamente.

Para calcular la media, la fórmula nos dice que debemos sumar todos estos números, las edades en este caso, y luego dividir la suma entre 10, el número total de animales de la muestra.

El animal número uno, el gato Purr, se designa como X₁, el animal número 2, Toto, se designa como X₂ y así sucesivamente hasta Dundee que es el animal número 10 y se designa como X₁₀.

La i de la fórmula nos indica cuál de las observaciones hay que sumar. En este caso es de X₁ a X₁₀ que son todos. Sabemos cuáles hay que añadir por la notación de indexación, la i = 1 y la n o N mayúscula de la población. Para este ejemplo la notación de indexación sería i = 1 y por tratarse de una muestra utilizamos una n pequeña en la parte superior del Σ que sería 10.

La desviación típica requiere el mismo operador matemático, por lo que sería útil recordar este conocimiento de su pasado.

La suma de las edades es de 78 y, dividiendo entre 10, la edad media de la muestra es de 7,8 años.