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Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos).

El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste:

Σ (ij) (OE) 2 E Σ (ij) (OE) 2 E

donde:

  • O = valores observados
  • E = valores esperados
  • i = el número de filas de la tabla
  • j = el número de columnas de la tabla

Hay ijij términos de la forma (OE) 2 E (OE) 2 E .

Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que vio el término independencia fue en la A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo. A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo.

Nota

El valor esperado dentro de cada celda debe ser, al menos, cinco para que pueda usar esta prueba.

Ejemplo 11.8

Supongamos que A = una infracción por exceso de velocidad en el último año y B = un usuario de teléfono móvil mientras conduce. Si A y B son independientes, entonces P(A B) = P(A)P(B). A B es el caso de que un conductor recibiera una infracción por exceso de velocidad el año pasado y también utilizara un teléfono móvil mientras conducía. Supongamos que se encuestaron 755 personas en un estudio sobre conductores que recibieron infracciones por exceso de velocidad durante el año pasado que usaron el teléfono móvil mientras conducían. De los 755, 70 tenían una infracción por exceso de velocidad y 685 no; 305 usaba el teléfono móvil mientras conducían y 450 no.

Supongamos que y = número esperado de conductores que usaron un teléfono móvil mientras conducían y recibieron infracciones por exceso de velocidad.

Si A y B son independientes, entonces P(A B) = P(A)P(B). Por sustitución,

y 755 =( 70 755 )( 305 755 ) y 755 =( 70 755 )( 305 755 )

Resuelva para y: y = (70)(305) 755 =28,3 (70)(305) 755 =28,3

Se espera que unas 28 personas de la muestra usen teléfonos móviles mientras conducen y reciban infracciones por exceso de velocidad.

En una prueba de independencia planteamos las hipótesis nula y alternativa con palabras. Dado que la tabla de contingencia consta de dos factores, la hipótesis nula afirma que los factores son independientes y la hipótesis alternativa afirma que no son independientes (dependientes). Si hacemos una prueba de independencia usando el ejemplo, entonces la hipótesis nula es:

H0H0: Ser usuario de un teléfono móvil mientras se conduce y recibir una infracción por exceso de velocidad son hechos independientes; en otras palabras, no tienen ningún efecto entre sí.

Si la hipótesis nula fuera cierta, esperaríamos que unas 28 personas usaran el móvil mientras conducen y recibieran una infracción por exceso de velocidad.

La prueba de independencia es siempre de cola derecha debido al cálculo del estadístico de prueba. Si los valores esperados y observados no están cerca, entonces el estadístico de prueba es muy grande y se encuentra en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado, al igual que en una bondad de ajuste.

El número de grados de libertad para la prueba de independencia es:

df = (número de columnas – 1)(número de filas – 1)

La siguiente fórmula calcula el número esperado (E):

E=(total de filas)(total de columnas)número total de encuestadosE=(total de filas)(total de columnas)número total de encuestados

Inténtelo 11.8

Se toma una muestra de 300 estudiantes. De los estudiantes encuestados, 50 estudiaban música, mientras que 250 no. Noventa y siete de los 300 encuestados estaban en el cuadro de honor, mientras que 203 no estaban. Si suponemos que ser estudiante de música y estar en el cuadro de honor son hechos independientes, ¿cuál es el número esperado de estudiantes de música que también están en el cuadro de honor?

Ejemplo 11.9

Un grupo de voluntarios dedica de una a nueve horas cada semana a personas mayores con discapacidades. El programa recluta entre estudiantes de colegios comunitarios, estudiantes de institutos universitarios de cuatro años y no estudiantes. En la Tabla 11.14 se encuentra una muestra de los voluntarios adultos y el número de horas que ofrecen a la semana.

Tipo de voluntario de 1 a 3 horas de 4 a 6 horas de 7 a 9 horas Total de la fila
Estudiantes de colegios comunitarios 111 96 48 255
Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años 96 133 61 290
No estudiantes 91 150 53 294
Total de la columna 298 379 162 839
Tabla 11.14 Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (observado) La tabla contiene los valores (datos) observados (O).

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¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario?

Inténtelo 11.9

La Oficina de Estadísticas Laborales recopila datos sobre empleo en Estados Unidos. Se toma una muestra para calcular el número de ciudadanos de EE. UU. que trabajan en uno de varios sectores industriales a lo largo del tiempo. La Tabla 11.16 muestra los resultados:

Sector industrial 2000 2010 2020 Total
Sueldos y salarios no agrícolas 13.243 13.044 15.018 41.305
Producción de bienes, excluida la agricultura 2.457 1.771 1.950 6.178
Prestación de servicios 10.786 11.273 13.068 35.127
Agricultura, silvicultura, pesca y caza 240 214 201 655
Autónomos no agrícolas y trabajadores familiares no remunerados 931 894 972 2.797
Empleos secundarios asalariados en agricultura e industrias domésticas privadas 14 11 11 36
Trabajos secundarios como autónomo o trabajador familiar no remunerado 196 144 152 492
Total 27.867 27.351 31.372 86.590
Tabla 11.16

Queremos saber si el cambio en el número de empleos es independiente del cambio en los años. Indique las hipótesis nula y alternativa y los grados de libertad.

Ejemplo 11.10

El De Anza College está interesado en la relación entre el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. Una muestra aleatoria de 400 estudiantes realizó una prueba que medía el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. La Tabla 11.17 muestra los resultados. El De Anza College quiere saber si el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela son eventos independientes.

Necesidad de tener éxito en la escuela Ansiedad
alta
Ansiedad
media alta
Ansiedad
media
Ansiedad
media baja
Ansiedad
baja
Total de la fila
Necesidad alta 35 42 53 15 10 155
Necesidad media 18 48 63 33 31 193
Necesidad baja 4 5 11 15 17 52
Total de la columna 57 95 127 63 58 400
Tabla 11.17 Necesidad de tener éxito en la escuela versus nivel de ansiedad

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a. ¿Cuántos estudiantes con alto nivel de ansiedad se espera que tengan una alta necesidad de tener éxito en la escuela?

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b. Si las dos variables son independientes, ¿cuántos estudiantes espera que tengan una baja necesidad de tener éxito en la escuela y un nivel medio-bajo de ansiedad?

Translation missing: es.problem

c. E=(total de filas)(total de columnas) total de encuestadosE=(total de filas)(total de columnas) total de encuestados = ________

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d. El número esperado de estudiantes que tienen un nivel de ansiedad medio-bajo y una baja necesidad de tener éxito en la escuela es aproximadamente ________.

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