11.3 Prueba de bondad de ajuste

a. No. Tome nota que el número de ausencias previsto para la entrada “más de 12” es inferior a cinco (es dos). Combine ese grupo con el de “9-11” para crear nuevas tablas en las que el número de estudiantes de cada entrada sea de cinco como mínimo. Los nuevos resultados están en la Tabla 11.3 y la Tabla 11.4.

b. Hay cuatro “celdas” o categorías en cada una de las nuevas tablas.

df = número de celdas – 1 = 4 – 1 = 3

Las hipótesis nula y alternativa son:

• H₀: Los días ausentes se producen con igual frecuencia, es decir, se ajustan a una distribución uniforme.
• H_a: Los días ausentes se producen con frecuencias desiguales, es decir, no se ajustan a una distribución uniforme.

Si los días de ausencia se producen con igual frecuencia, entonces, de los 60 días de ausencia (el total de la muestra: 15 + 12 + 9 + 9 + 15 = 60), habría 12 ausencias el lunes, 12 el martes, 12 el miércoles, 12 el jueves y 12 el viernes. Estos números son los valores esperados (E). Los valores de la tabla son los valores o datos observados (O).

Esta vez, calcule el estadístico de prueba χ² a mano. Haga un cuadro con los siguientes títulos y rellene las columnas:

• Valores esperados (E) (12, 12, 12, 12, 12)
• Valores observados (O) (15, 12, 9, 9, 15)
• (O – E)
• (O – E)²
• $\frac{{(O\text{ – }E)}^2}{E}$

Ahora, añada (sume) la última columna. La suma es de tres. Se trata del estadístico de prueba χ².

El valor calculado del estadístico de prueba es 3 y el valor crítico de la distribución χ² a 4 grados de libertad; el nivel de confianza de 0,05 es 9,48. Este valor se encuentra en la tabla χ² en la columna 0,05 de la fila 4 de grados de libertad.

Los grados de libertad son el número de celdas – 1 = 5 – 1 = 4

Luego, complete un gráfico como el siguiente con el identificado y el sombreado adecuados (debería sombrear la cola derecha).

Figura 11.5

La decisión es no rechazar la hipótesis nula porque el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola de la distribución.

Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que los días de ausencia no se producen con igual frecuencia.

Este problema le pide que compruebe si la distribución de las familias del extremo oeste de Estados Unidos se ajusta a la distribución de las familias del resto del país. Esta prueba es siempre de cola derecha.

La primera tabla contiene los porcentajes previstos. Para obtener las frecuencias esperadas (E), multiplique el porcentaje por 600. Las frecuencias esperadas se muestran en la Tabla 11.11.

Por lo tanto, las frecuencias esperadas son 60, 96, 330, 66 y 48.

H₀: La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es igual a la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense.

H_a: La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense.

Distribución para la prueba: ${\chi }_4^2$ donde df = (el número de celdas) – 1 = 5 – 1 = 4.

Calcule el estadístico de prueba: χ2 = 29,65

Gráfico:

Figura 11.6

El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con cuatro grados de libertad a un nivel de confianza del 99 %, α = 0,01; 13,277. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba de chi-cuadrado en 29,65. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión.

Tome una decisión: Dado que el estadístico de prueba está en la cola de la distribución, no podemos aceptar la hipótesis nula.

Esto significa que usted rechaza la creencia de que la distribución para los estados del extremo oeste es igual a la de la población estadounidense en su conjunto.

Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del “número de televisores” para el extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” para el conjunto de la población estadounidense.

Este problema se puede plantear como un problema de bondad de ajuste. El espacio muestral para lanzar dos monedas imparciales es {HH, HT, TH, TT}. De cada 100 lanzamientos, se esperan 25 HH, 25 HT, 25 TH y 25 TT. Esta es la distribución esperada de probabilidad binomial. La pregunta “¿las monedas son imparciales?” es lo mismo que decir “¿la distribución de las monedas (20 HH, 27 HT, 30 TH, 23 TT) se ajusta a la distribución esperada?”.

Variable aleatoria: Supongamos que X = el número de caras en un lanzamiento de las dos monedas. X toma los valores 0, 1, 2 (hay 0, 1 o 2 caras en el lanzamiento de dos monedas). Por lo tanto, el número de celdas es tres. Como X = el número de caras, las frecuencias observadas son 20 (para dos caras), 57 (para una cara) y 23 (para cero caras o dos cruces). Las frecuencias esperadas son 25 (para dos caras), 50 (para una cara) y 25 (para cero caras o dos cruces). Esta prueba es de cola derecha.

H₀: Las monedas son imparciales.

H_a: Las monedas no son imparciales.

Distribución para la prueba: ${\chi }_2^2$ donde df = 3 – 1 = 2.

Calcule el estadístico de prueba: χ² = 2,14

Gráfico:

Figura 11.7

El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con dos grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 5,991. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ² en 2,14. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión.

Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las monedas no son justas: no podemos rechazar la hipótesis nula de que las monedas son justas.