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Introducción a la estadística empresarial

11.2 Prueba de una sola varianza

Introducción a la estadística empresarial11.2 Prueba de una sola varianza

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Tarea para la casa
    9. Referencias
    10. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Datos mostrados
    3. 2.2 Medidas de la ubicación de los datos
    4. 2.3 Medidas del centro de los datos
    5. 2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética
    6. 2.5 Media geométrica
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Repaso de fórmulas
    12. Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad
    6. 3.5 Diagramas de Venn
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Uniéndolo todo: Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Distribución hipergeométrica
    3. 4.2 Distribución binomial
    4. 4.3 Distribución geométrica
    5. 4.4 Distribución de Poisson
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Estimación de la binomial con la distribución normal
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales
    3. 7.2 Uso del teorema del límite central
    4. 7.3 Teorema del límite central de las proporciones
    5. 7.4 Factor de corrección de población finita
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande
    3. 8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña
    4. 8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población
    5. 8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Comparación de las medias de dos poblaciones independientes
    3. 10.2 Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande
    4. 10.3 Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales
    5. 10.4 Comparación de dos proporciones de población independientes
    6. 10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    7. 10.6 Muestras coincidentes o emparejadas
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de una sola varianza
    4. 11.3 Prueba de bondad de ajuste
    5. 11.4 Prueba de independencia
    6. 11.5 Prueba de homogeneidad
    7. 11.6 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  13. 12 La distribución F y el anova de una vía
    1. Introducción
    2. 12.1 Prueba de dos varianzas
    3. 12.2 ANOVA de una vía
    4. 12.3 La distribución F y el cociente F
    5. 12.4 Datos sobre la distribución F
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  14. 13 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 13.1 El coeficiente de correlación r
    3. 13.2 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    4. 13.3 Ecuaciones lineales
    5. 13.4 La ecuación de regresión
    6. 13.5 Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
    7. 13.6 Predicción con una ecuación de regresión
    8. 13.7 Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Práctica
    12. Soluciones
  15. A Cuadros estadísticos
  16. B Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  17. Índice

Hasta ahora nuestro interés se ha centrado exclusivamente en el parámetro poblacional μ o su contrapartida en la binomial, p. Seguramente la media de una población es el dato más crítico que se tiene, pero en algunos casos nos interesa la variabilidad de los resultados de alguna distribución. En casi todos los procesos de producción, la calidad se mide no solo por el grado de adecuación de la máquina al objetivo, sino también por la variabilidad del proceso. Si se llenaran bolsas con patas fritas, no solo interesaría el peso promedio de la bolsa, sino también la variación de los pesos. Nadie quiere que se le asegure que el peso promedio es exacto cuando su bolsa no tiene papas fritas. El voltaje eléctrico puede alcanzar cierto nivel promedio, pero una gran variabilidad, los picos, pueden causar graves daños a las máquinas eléctricas, especialmente a las computadoras. No solo me gustaría obtener una nota media alta en mis clases, sino también una baja variación en torno a esta media. En resumen, las pruebas estadísticas relativas a la varianza de una distribución tienen un gran valor y muchas aplicaciones.

Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal. Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población. El estadístico de prueba es:

χc2 = (n1) s2 σ02 χc2= (n1) s2 σ02

donde:

  • n = el número total de observaciones en los datos de la muestra
  • s2 = varianza de la muestra
  • σ02σ02 = valor hipotético de la varianza de la población
  • H0:σ2=σ02H0:σ2=σ02
  • Ha:σ2σ02Ha:σ2σ02

Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El Ejemplo 11.1 le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población.

Ejemplo 11.1

Translation missing: es.problem

A los instructores de Matemáticas no solo les interesa saber cómo les va a sus estudiantes en los exámenes, en promedio, sino cómo varían las calificaciones. Para muchos instructores, la varianza (o desviación típica) puede ser más importante que el promedio.

Supongamos que un instructor de Matemáticas cree que la desviación típica de su examen final es de cinco puntos. Uno de sus mejores estudiantes piensa otra cosa. El estudiante afirma que la desviación típica es superior a cinco puntos. Si el estudiante tuviera que realizar una prueba de hipótesis, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa?

Inténtelo 11.1

Un instructor de submarinismo quiere registrar las profundidades colectivas de cada una de las inmersiones de sus estudiantes durante su entrenamiento. Se interesa por cómo varían las profundidades, aunque todos deberían estar a la misma profundidad. Cree que la desviación típica es de tres pies. Su asistente cree que la desviación típica es de menos de tres pies. Si el instructor tuviera que realizar una prueba, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa?

Ejemplo 11.2

Translation missing: es.problem

Con filas individuales en sus distintas ventanillas, una oficina de correos comprueba que la desviación típica de los tiempos de espera de los clientes el viernes por la tarde es de 7,2 minutos. La oficina de correos experimenta con una única línea de espera principal y concluye que, para una muestra aleatoria de 25 clientes, el tiempo de espera tiene una desviación típica de 3,5 minutos un viernes por la tarde.

Con un nivel de significación del 5 %, pruebe la afirmación de que una línea única provoca una variación menor entre los tiempos de espera de los clientes.

Ejemplo 11.3

El profesor Hadley tiene debilidad por las donas rellenas de crema, pero cree que algunas panaderías no las rellenan adecuadamente. Una muestra de 24 donas revela una cantidad media de relleno igual a 0,04 tazas, y la desviación típica de la muestra es de 0,11 tazas. Obviamente, al profesor Hadley le interesa la cantidad promedio de relleno, pero le angustia el hecho de que una dona sea radicalmente diferente de otra. Al profesor Hadley no le gustan las sorpresas.

Translation missing: es.problem

Pruebe al 95% la hipótesis nula de que la varianza poblacional del relleno de las donas es significativamente diferente de la cantidad promedio de relleno.

.
Figura 11.4

Inténtelo 11.3

La Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) hace pruebas de velocidad de banda ancha para medir cuántos datos por segundo pasan entre la computadora de un consumidor e internet. En agosto de 2012, la desviación típica de las velocidades de internet entre los proveedores de servicios de internet (PSI) era del 12,2 %. Supongamos que se toma una muestra de 15 PSI y que la desviación típica es de 13,2. Un analista afirma que la desviación típica de las velocidades es mayor que la comunicada. Plantee las hipótesis nula y alternativa, calcule los grados de libertad, el estadístico de prueba, trace el gráfico de la distribución, marque el área asociada al nivel de confianza y extraiga una conclusión. Prueba al nivel de significación del 1 %.

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