3.5 Caída libre

Gravedad

El hecho más notable e inesperado sobre la caída de objetos es que si la resistencia del aire y la fricción son despreciables, entonces en un lugar determinado todos los objetos caen hacia el centro de la Tierra con la misma aceleración constante, independientemente de su masa. Este hecho determinado experimentalmente es inesperado porque estamos tan acostumbrados a los efectos de la resistencia del aire y la fricción que esperamos que los objetos ligeros caigan más lentamente que los pesados. Hasta que Galileo Galilei (1564-1642) demostró lo contrario, se creía que un objeto más pesado tiene una mayor aceleración en caída libre. Ahora sabemos que no es así. A falta de resistencia del aire, los objetos pesados llegan al suelo al mismo tiempo que los más ligeros cuando se dejan caer desde la misma altura como en la Figura 3.26.

Figura 3.26 El martillo y la pluma caen con la misma aceleración constante si la resistencia del aire es despreciable. Se trata de una característica general de la gravedad que no es exclusiva de la Tierra, como demostró el astronauta David R. Scott en 1971 en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es solo de 1,67 m/s² y no hay atmósfera.

En el mundo real, la resistencia del aire hace que un objeto más ligero caiga más lentamente que un objeto más pesado del mismo tamaño. Una pelota de tenis llega al suelo después de una pelota de béisbol lanzada al mismo tiempo. (Puede ser difícil observar la diferencia si la altura no es grande). La resistencia del aire se opone al movimiento de un objeto a través del aire, y la fricción entre los objetos, como entre la ropa y el conducto de la lavandería o entre una piedra y un estanque en el que se deja caer, también se opone al movimiento entre ellos.

Para las situaciones ideales de estos primeros capítulos, un objeto que cae sin resistencia del aire o fricción se define como en caída libre. La fuerza de la gravedad hace que los objetos caigan hacia el centro de la Tierra. La aceleración de los objetos en caída libre se denomina, por tanto, aceleración debida a la gravedad. La aceleración debida a la gravedad es constante, lo que significa que podemos aplicar las ecuaciones cinemáticas a cualquier objeto que caiga y en el que la resistencia del aire y la fricción sean despreciables. Esto nos abre una amplia clase de situaciones interesantes.

La aceleración debida a la gravedad es tan importante que su magnitud recibe su propio símbolo, g. Es constante en cualquier lugar de la Tierra y tiene el valor promedio

Aunque g varía entre 9,78 m/s² y 9,83 m/s², dependiendo de la latitud, la altitud, las formaciones geológicas subyacentes y la topografía local, utilizaremos en este texto un valor medio de 9,8 m/s² redondeado a dos cifras significativas, a menos que se especifique lo contrario. Sin tener en cuenta estos efectos sobre el valor de g como resultado de la posición en la superficie de la Tierra, así como los efectos resultantes de la rotación de la Tierra, tomamos la dirección de la aceleración debida a la gravedad hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). De hecho, su dirección define lo que llamamos vertical. Hay que tener en cuenta que el hecho de que la aceleración a en las ecuaciones cinemáticas tenga el valor +g o -g depende de cómo definamos nuestro sistema de coordenadas. Si definimos la dirección ascendente como positiva, entonces $a=\text{−}g=\mathrm{-9,8}{\text{m/s}}^2,$ y si definimos la dirección descendente como positiva, entonces $a=g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

Movimiento unidimensional en función de la gravedad

La mejor manera de ver las características básicas del movimiento en el que interviene la gravedad es empezar con las situaciones más sencillas y luego progresar hacia otras más complejas. Así pues, empezamos considerando un movimiento recto hacia arriba y hacia abajo sin resistencia del aire ni fricción. Estas suposiciones significan que la velocidad (si la hay) es vertical. Si se deja caer un objeto, sabemos que la velocidad inicial es cero cuando está en caída libre. Cuando el objeto ha dejado de estar en contacto con lo que lo sostenía o lanzaba, está en caída libre. Cuando el objeto es lanzado, tiene la misma rapidez inicial en caída libre que tenía antes de ser soltado. Cuando el objeto entra en contacto con el suelo o con cualquier otro objeto, ya no está en caída libre y su aceleración de g ya no es válida. En estas circunstancias, el movimiento es unidimensional y tiene una aceleración constante de magnitud g. Representamos el desplazamiento vertical con el símbolo y.

Ejemplo 3.14

Caída libre de una pelota

La Figura 3.27 muestra las posiciones de una pelota, a intervalos de 1 s, con una velocidad inicial de 4,9 m/s hacia abajo, que se lanza desde lo alto de un edificio de 98 m. (a) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que la pelota llegue al suelo? (b) ¿Cuál es la velocidad cuando llega al suelo?

Figura 3.27 Las posiciones y velocidades a intervalos de 1 s de una pelota lanzada hacia abajo desde un edificio alto a 4,9 m/s.

Estrategia

Elija el origen en la parte superior del edificio con la dirección positiva hacia arriba y la dirección negativa hacia abajo. Para encontrar el tiempo en que la posición es -98 m, utilizamos la Ecuación 3.16, con $y_0=0,v_0=\mathrm{-4,9}\text{m/s,}\text{y}g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

Solución

1. Sustituya los valores dados en la ecuación:
   $$\begin{array}{}\\ \\ y=y_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\hfill \\ -\mathrm{98,0}\text{m}=0-(\mathrm{4,9}\text{m/s})t-\frac{1}{2}(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)t^2.\hfill \end{array}$$
   Esto se simplifica a
   $$t^2+t-20=0.$$
   Esta es una ecuación cuadrática con raíces $t=\mathrm{-5,0}\mathrm{s}\text{y}t=\mathrm{4,0}\mathrm{s}$. La raíz positiva es la que nos interesa, ya que el tiempo $t=0$ es el tiempo en que la pelota se libera en la parte superior del edificio. (El tiempo $t=\mathrm{-5,0}\mathrm{s}$ representa el hecho de que una pelota lanzada hacia arriba desde el suelo habría estado en el aire durante 5,0 s cuando pasó por la parte superior del edificio moviéndose hacia abajo a 4,9 m/s).
2. Utilizando la Ecuación 3.15, tenemos
   $$v=v_0-gt=\mathrm{-4,9}\text{m/s}-(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)(\mathrm{4,0}\text{s})=\mathrm{-44,1}\text{m/s}\text{.}$$

Importancia

Para las situaciones en las que se obtienen dos raíces de una ecuación cuadrática en la variable del tiempo, debemos observar el significado físico de ambas raíces para determinar cuál es la correcta. Dado que $t=0$ corresponde al momento en que se lanzó la pelota, la raíz negativa correspondería a un momento anterior al lanzamiento de la pelota, lo que no es físicamente significativo. Cuando la pelota toca el suelo, su velocidad no es inmediatamente cero, pero en cuanto la pelota interactúa con el suelo, su aceleración no es g y se acelera con un valor diferente en un tiempo corto hasta la velocidad cero. Este problema muestra lo importante que es establecer el sistema correcto de coordenadas y mantener los signos de g en las ecuaciones cinemáticas.

Ejemplo 3.15

Movimiento vertical de una pelota de béisbol

Un bateador batea una pelota de béisbol directamente hacia arriba en el plato del home y la pelota es atrapada 5,0 s después de ser golpeada como en la Figura 3.28. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota? (b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? (c) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima? (d) ¿Cuál es la aceleración en la parte superior de su recorrido? (e) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando es atrapada? Supongamos que la pelota es golpeada y atrapada en el mismo lugar.

Figura 3.28 Una pelota de béisbol que se batea hacia arriba es atrapada por el receptor 5,0 s después.

Estrategia

Escoja un sistema de coordenadas con un eje y positivo que sea recto hacia arriba y con un origen que esté en el lugar donde se golpea y atrapa la pelota.

Solución

1. La Ecuación 3.16 nos da
   $$y=y_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$
   $$0=0+v_0(\mathrm{5,0}\text{s})-\frac{1}{2}\left(\mathrm{9,8}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\right){(\mathrm{5,0}\text{s})}^2,$$
   que nos da $v_0=\mathrm{24,5}\text{m/s}$.
2. En la altura máxima, $v=0$. Con $v_0=\mathrm{24,5}\text{m/s}$, la Ecuación 3.17 nos da
   $$v^2=v_0^2-2g(y-y_0)$$
   $$0={(\mathrm{24,5}\text{m/s})}^2-2(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)(y-0)$$
   o
   $$y=\mathrm{30,6}\text{m}\text{.}$$
3. Para encontrar el tiempo en que $v=0$, utilizamos la Ecuación 3.15:
   $$v=v_0-gt$$
   $$0=\mathrm{24,5}\text{m/s}-(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)t.$$
   Esto nos da $t=\mathrm{2,5}\text{s}$. Como la pelota sube durante 2,5 s, el tiempo de caída es de 2,5 s.
4. La aceleración es de 9,8 m/s² en todas partes, incluso cuando la velocidad es cero en la parte superior del recorrido. Aunque la velocidad es cero en la parte superior, está cambiando a una tasa de 9,8 m/s² hacia abajo.
5. La velocidad en $t=\mathrm{5,0}\mathrm{s}$ se puede determinar con la Ecuación 3.15:
   $$\begin{array}{cc}\hfill v& =v_0-gt\hfill \\ & =\mathrm{24,5}\text{m/s}-\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2(\mathrm{5,0}\text{s})\hfill \\ & =\mathrm{-24,5}\text{m/s}.\hfill \end{array}$$

Importancia

La pelota vuelve con la rapidez que tenía cuando salió. Esta es una propiedad general de la caída libre para cualquier velocidad inicial. Utilizamos una única ecuación para ir del lanzamiento a la atrapada, y no tuvimos que dividir el movimiento entre dos segmentos, hacia arriba y hacia abajo. Estamos acostumbrados a pensar que el efecto de la gravedad es crear una caída libre hacia la Tierra. Es importante entender, como se ilustra en este ejemplo, que los objetos que se alejan de la Tierra hacia arriba también se encuentran en estado de caída libre.

Ejemplo 3.16

Propulsor de cohete

Un pequeño cohete con un propulsor despega y se dirige hacia arriba. Cuando a una altura de $\mathrm{5,0}\text{km}$ y una velocidad de 200,0 m/s, suelta su propulsor. (a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el propulsor? (b) ¿Cuál es la velocidad del propulsor a una altura de 6,0 km? Ignore la resistencia del aire.

Figura 3.29 Un cohete libera su propulsor a una altura y velocidad determinadas. ¿A qué altura y a qué velocidad llega el propulsor?

Estrategia

Tenemos que seleccionar el sistema de coordenadas para la aceleración de la gravedad, que tomamos como negativa hacia abajo. Se nos da la velocidad inicial del propulsor y su altura. Consideramos el punto de liberación como el origen. Sabemos que la velocidad es cero en la posición máxima dentro del intervalo de aceleración; por lo tanto, la velocidad del propulsor es cero en su altura máxima, así que también podemos utilizar esta información. A partir de estas observaciones, utilizamos la Ecuación 3.17, que nos da la altura máxima del propulsor. También utilizamos la Ecuación 3.17 para dar la velocidad a 6,0 km. La velocidad inicial del propulsor es de 200,0 m/s.

Solución

1. A partir de la Ecuación 3.17, $v^2=v_0^2-2g(y-y_0)$. Con $v=0\text{y}{y}_0=0$, podemos resolver y:
   $$y=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{(\mathrm{2,0}\times {10}^2\text{m}\text{/}{\text{s})}^2}{2(\mathrm{9,8}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2)}=\mathrm{2040,8}\text{m}\text{.}$$
   Esta solución da la altura máxima del propulsor en nuestro sistema de coordenadas, que tiene su origen en el punto de liberación, por lo que la altura máxima del propulsor es de aproximadamente 7,0 km.
2. Una altitud de 6,0 km corresponde a$y=\mathrm{1,0}\times {10}^3\text{m}$ en el sistema de coordenadas que estamos utilizando. Las otras condiciones iniciales son$y_0=0,\text{y}{v}_0=\mathrm{200,0}\text{m/s}$.
   Tenemos, a partir de la Ecuación 3.17,
   $$v^2={(\mathrm{200,0}\text{m}\text{/}\text{s})}^2-2(\mathrm{9,8}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2)(\mathrm{1,0}\times {10}^3\text{m})\Rightarrow v=\pm \mathrm{142,8}\text{m}\text{/}\text{s}.$$

Importancia

Tenemos una solución positiva y otra negativa en (b). Como nuestro sistema de coordenadas tiene la dirección positiva hacia arriba, los +142,8 m/s corresponden a una velocidad positiva hacia arriba a 6000 m durante el tramo ascendente de la trayectoria del propulsor. El valor v = -142,8 m/s corresponde a la velocidad a 6000 m en el tramo descendente. Este ejemplo también es importante porque un objeto recibe una velocidad inicial en el origen de nuestro sistema de coordenadas, pero el origen está a una altitud sobre la superficie de la Tierra, lo que debe tenerse en cuenta al formar la solución.