3.3 Aceleración media e instantánea

Aceleración media

La definición formal de aceleración concuerda con estas nociones que acabamos de describir, pero es más inclusiva.

Dado que la aceleración es la velocidad en metros por segundo dividida entre el tiempo en segundos, las unidades del SI para la aceleración suelen abreviarse como m/s², es decir, metros por segundo al cuadrado o metros por segundo por segundo. Esto significa literalmente cuántos metros por segundo cambia la velocidad cada segundo. Recordemos que la velocidad es un vector, tiene tanto magnitud como dirección, lo que significa que un cambio en la velocidad puede ser un cambio en la magnitud (o rapidez), pero también puede ser un cambio en la dirección. Por ejemplo, si una corredora que se desplaza a 10 km/h hacia el este se detiene lentamente, invierte la dirección y continúa su carrera a 10 km/h hacia el oeste, su velocidad cambia como resultado del cambio de dirección, aunque la magnitud de la velocidad es la misma en ambas direcciones. Por lo tanto, la aceleración se produce cuando la velocidad cambia de magnitud (un aumento o disminución de la rapidez) o de dirección, o ambas cosas.

Tenga en cuenta que, aunque la aceleración se produzca en la dirección del cambio de velocidad, no siempre se produce en la dirección del movimiento. Cuando un objeto se ralentiza, su aceleración es opuesta a la dirección de su movimiento. Aunque esto se denomina comúnmente desaceleración como en la Figura 3.10, decimos que el tren acelera en una dirección opuesta a su dirección de movimiento.

Figura 3.10 Un tren subterráneo en Sao Paulo, Brasil, desacelera al llegar a una estación. Acelera en una dirección opuesta a la de su movimiento (créditos: modificación del trabajo de Yusuke Kawasaki).

El término desaceleración puede causar confusión en nuestro análisis porque no es un vector y no apunta a una dirección específica con respecto a un sistema de coordenadas, motivo por el cual no lo utilizamos. La aceleración es un vector, por lo que debemos elegir el signo apropiado en nuestro sistema de coordenadas elegido. En el caso del tren en la Figura 3.10, la aceleración es en sentido negativo en el sistema de coordenadas elegido, por lo que decimos que el tren sufre una aceleración negativa.

Si un objeto en movimiento tiene una velocidad en la dirección positiva con respecto a un origen elegido y adquiere una aceleración negativa constante, el objeto acaba por detenerse e invertir su dirección. Si esperamos lo suficiente, el objeto pasa por el origen, y va en dirección contraria. Esto se ilustra en la Figura 3.11.

Figura 3.11 Un objeto en movimiento con un vector de velocidad hacia el este bajo una aceleración negativa se detiene e invierte su dirección. Pasa por el origen, y va en dirección contraria, después de un tiempo suficiente.

Ejemplo 3.5

Calcular la aceleración media: un caballo de carreras sale de la compuerta

Un caballo de carreras al salir de la compuerta acelera desde el reposo hasta una velocidad de 15,0 m/s hacia el oeste en 1,80 s. ¿Cuál es su aceleración media?

Figura 3.12 Caballos de carreras que aceleran al salir de la compuerta (créditos: modificación de la obra de Jon Sullivan).

Estrategia

Primero, dibujamos un esquema y asignamos un sistema de coordenadas al problema como en la Figura 3.13. Este es un problema sencillo, pero siempre ayuda visualizarlo. Observe que asignamos el este como positivo y el oeste como negativo. Por lo tanto, en este caso, tenemos una velocidad negativa.

Figura 3.13 Identifique el sistema de coordenadas, la información dada y lo que quiere determinar.

Podemos resolver este problema identificando $\text{Δ}v\text{y}\text{Δ}t$ a partir de la información dada, y luego calcular la aceleración media directamente a partir de la ecuación $\stackrel{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}=\frac{v_{\text{f}}-v_0}{t_{\text{f}}-t_0}$.

Solución

En primer lugar, identifique los valores conocidos: $v_0=0,v_{\text{f}}=\mathrm{-15,0}\text{m/s}$ (el signo negativo indica la dirección hacia el oeste), Δt = 1,80 s.

En segundo lugar, calcule el cambio de velocidad. Dado que el caballo pasa de cero a -15,0 m/s, su cambio de velocidad es igual a su velocidad final:

$$\text{Δ}v=v_{\text{f}}-v_0=v_{\text{f}}=\mathrm{-15,0}\text{m/s}.$$

Por último, sustituya los valores conocidos ($\text{Δ}v\text{y}\text{Δ}t$) y resuelva la incógnita $\stackrel{\text{–}}{a}$:

$$\stackrel{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}=\frac{\mathrm{-15,0}\text{m/s}}{\mathrm{1,80}\text{s}}=\mathrm{-8,33}{\text{m/s}}^2.$$

Importancia

El signo negativo indica que la aceleración es hacia el oeste. Una aceleración de 8,33 m/s² hacia el oeste significa que el caballo aumenta su velocidad en 8,33 m/s hacia el oeste cada segundo; es decir, 8,33 metros por segundo por segundo, que escribimos como 8,33 m/s². Se trata realmente de una aceleración media, porque el paseo no es suave. Más adelante veremos que una aceleración de esta magnitud requeriría que el jinete se aferrara con una fuerza casi igual a su peso.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea a, o aceleración en un instante específico, se obtiene con el mismo proceso que se mencionó para la velocidad instantánea. Es decir, calculamos la aceleración media entre dos puntos de tiempo separados por $\text{Δ}t$ y suponemos que $\text{Δ}t$ se acerca a cero. El resultado es la derivada de la función de velocidad v(t), que es la aceleración instantánea y se expresa matemáticamente como

Así, al igual que la velocidad es la derivada de la función de posición, la aceleración instantánea es la derivada de la función de velocidad. Podemos mostrarlo gráficamente de la misma manera que la velocidad instantánea. En la Figura 3.14, la aceleración instantánea en el tiempo t₀ es la pendiente de la línea tangente a al gráfico de velocidad en función del tiempo en el tiempo t₀. Vemos que la aceleración media $\stackrel{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}$ se acerca a la aceleración instantánea como $\text{Δ}t$ se acerca a cero. También en la parte (a) de la figura, vemos que la velocidad tiene un máximo cuando su pendiente es cero. Este tiempo corresponde al cero de la función de aceleración. En la parte (b), se muestra la aceleración instantánea en la velocidad mínima, que también es cero, ya que la pendiente de la curva también es cero. Así, para una función de velocidad dada, los ceros de la función de aceleración dan el mínimo o el máximo de la velocidad.

Figura 3.14 En un gráfico de velocidad en función del tiempo, la aceleración instantánea es la pendiente de la línea tangente. (a) Se muestra la aceleración media $\stackrel{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}=\frac{v_{\text{f}}-v_i}{t_{\text{f}}-t_i}$ entre los tiempos $\text{Δ}t=t_6-t_1,\text{Δ}t=t_5-t_2$ y $\text{Δ}t=t_4-t_3$. Cuando $\text{Δ}t\to 0$, la aceleración media se aproxima a la aceleración instantánea en el tiempo t₀. En la vista (a), se muestra la aceleración instantánea para el punto de la curva de velocidad en la velocidad máxima. En este punto, la aceleración instantánea es la pendiente de la línea tangente, que es cero. En cualquier otro momento, la pendiente de la línea tangente, y, por tanto, la aceleración instantánea, no sería cero. (b) Igual que en (a), pero se muestra para la aceleración instantánea en la velocidad mínima.

Para ilustrar este concepto, veamos dos ejemplos. En primer lugar, se muestra un ejemplo sencillo con la Figura 3.9(b), el gráfico de velocidad en función del tiempo del Ejemplo 3.4, para encontrar la aceleración gráficamente. Este gráfico se representa en la Figura 3.15(a), que es una línea recta. El gráfico correspondiente de la aceleración en función del tiempo se encuentra a partir de la pendiente de la velocidad y se muestra en la Figura 3.15(b). En este ejemplo, la función de velocidad es una línea recta con una pendiente constante, por lo que la aceleración es una constante. En el siguiente ejemplo, la función de velocidad tiene una dependencia funcional más complicada al tiempo.

Figura 3.15 (a, b) El gráfico de velocidad en función del tiempo es lineal y tiene una pendiente negativa constante (a) que es igual a la aceleración, mostrada en (b).

Si conocemos la forma funcional de la velocidad, v(t), podemos calcular la aceleración instantánea a(t) en cualquier punto temporal del movimiento utilizando la Ecuación 3.9.

Ejemplo 3.6

Calcular la aceleración instantánea

Una partícula está en movimiento y se acelera. La forma funcional de la velocidad es $v(t)=20t-5t^2\text{m/s}$.

1. Halle la forma funcional de la aceleración.
2. Halle la velocidad instantánea en t = 1, 2, 3 y 5 s.
3. Halle la aceleración instantánea en t = 1, 2, 3 y 5 s.
4. Interprete los resultados de (c) en términos de las direcciones de los vectores aceleración y velocidad.

Estrategia

Encontramos la forma funcional de la aceleración al tomar la derivada de la función de velocidad. A continuación, calculamos los valores de la velocidad y la aceleración instantáneas a partir de las funciones dadas para cada una de ellas. Para la parte (d), tenemos que comparar las direcciones de la velocidad y la aceleración en cada momento.

Solución

1. $a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=20-10t{\text{m/s}}^2$
2. $v(1\text{s})=15\text{m/s}$, $v(2\text{s})=20\text{m/s}$, $v(3\text{s})=15\text{m/s}$, $v(5\text{s})=\mathrm{-25}\text{m/s}$
3. $a(1\text{s})=10{\text{m/s}}^2$, $a(2\text{s})=0{\text{m/s}}^2$, $a(3\text{s})=\mathrm{-10}{\text{m/s}}^2$, $a(5\text{s})=\mathrm{-30}{\text{m/s}}^2$
4. En t = 1 s, la velocidad $v(1\text{s)}=15\text{m/s}$ es positiva y la aceleración también, de allí que, tanto la velocidad como la aceleración están en la misma dirección. La partícula se mueve más rápido.

En t = 2 s, la velocidad ha aumentado a$v(2\text{s)}=20\text{m/s}$, donde es su máximo, lo que corresponde al momento en que la aceleración es cero. Vemos que la velocidad máxima se produce cuando la pendiente de la función de velocidad es cero, que es justo el cero de la función de aceleración.

En t = 3 s, la velocidad es $v(3\text{s)}=15\text{m/s}$ y la aceleración es negativa. Se ha reducido la velocidad de la partícula y el vector de aceleración es negativo. La partícula se ralentiza.

En t = 5 s, la velocidad es $v(5\text{s)}=\mathrm{-25}\text{m/s}$ y la aceleración es cada vez más negativa. Entre los tiempos t = 3 s y t = 5 s la velocidad de la partícula ha disminuido a cero y luego se ha vuelto negativa, lo que invierte su dirección. La partícula vuelve a acelerar, pero en sentido contrario.

Podemos ver estos resultados gráficamente en la Figura 3.16.

Figura 3.16 (a) Velocidad en función del tiempo. Las líneas tangentes se indican en los tiempos 1, 2 y 3 s. Las pendientes de las líneas tangentes son las aceleraciones. En t = 3 s, la velocidad es positiva. En t = 5 s, la velocidad es negativa, lo que indica que la dirección de la partícula se ha invertido. (b) Aceleración en función del tiempo. Comparando los valores de las aceleraciones dadas por los puntos negros con las correspondientes pendientes de las líneas tangentes (pendientes de las líneas que pasan por los puntos negros) en (a), vemos que son idénticas.

Importancia

Al hacer un análisis tanto numérico como gráfico de la velocidad y la aceleración de la partícula, podemos aprender mucho sobre su movimiento. El análisis numérico complementa el análisis gráfico para ofrecer una visión total del movimiento. El cero de la función de aceleración corresponde al máximo de la velocidad en este ejemplo. También en este ejemplo, la aceleración aumenta cuando es positiva y en la misma dirección que la velocidad. A medida que la aceleración se inclina a cero, hasta el punto de ser negativa, la velocidad alcanza un máximo, tras el cual comienza a disminuir. Si esperamos lo suficiente, la velocidad también se vuelve negativa, lo que indica inversión de la dirección. Un ejemplo del mundo real de este tipo de movimiento es un auto con una velocidad en aumento, hasta llegar a un máximo, tras lo cual empieza a desacelerar, se detiene y luego invierte la dirección.

Cómo sentir la aceleración

Probablemente esté acostumbrado a experimentar la aceleración cuando entra en un elevador o pisa el acelerador de su auto. Sin embargo, la aceleración se produce en muchos otros objetos de nuestro universo con los que no tenemos contacto directo. La Tabla 3.2 presenta la aceleración de varios objetos. Podemos ver que las aceleraciones pasan por muchos órdenes de magnitud.

En esta tabla, vemos que las aceleraciones típicas varían mucho con los diferentes objetos y no tienen nada que ver ni con el tamaño del objeto ni con su masa. La aceleración también puede variar mucho durante el movimiento de un objeto. Un auto de carreras tiene una gran aceleración justo después del arranque, pero luego disminuye a medida que alcanza una velocidad constante. Su aceleración media puede ser muy distinta a su aceleración instantánea en un momento determinado de su movimiento. La Figura 3.17 compara gráficamente la aceleración media con la aceleración instantánea para dos movimientos muy diferentes.

Figura 3.17 Gráficos de la aceleración instantánea en función del tiempo para dos movimientos unidimensionales diferentes. (a) La aceleración apenas varía y es siempre en la misma dirección, ya que es positiva. La media a lo largo del intervalo es casi igual a la aceleración en un momento dado. (b) La aceleración varía mucho, tal vez representando un paquete en la cinta transportadora de una oficina de correos que acelera hacia delante y hacia atrás, a medida que avanza. Es necesario considerar intervalos de tiempo pequeños (como de 0 a 1,0 s) con una aceleración constante o casi constante en tal situación.