3.2 Velocidad y rapidez instantáneas

Velocidad instantánea

La cantidad que nos indica qué tan rápido se mueve un objeto en cualquier punto de su trayectoria es la velocidad instantánea, normalmente llamada simplemente velocidad. Es la velocidad media entre dos puntos de la trayectoria en el límite en que el tiempo (y, por ende, el desplazamiento) entre ambos puntos se aproxima a cero. Para ilustrar esta idea matemáticamente, necesitamos expresar la posición de la x como una función continua de t denotada por x(t). La expresión para la velocidad media entre dos puntos con esta notación es $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$. Para encontrar la velocidad instantánea en cualquier posición, suponemos que $t_1=t$ y $t_2=t+\text{Δ}t$. Tras incorporar estas expresiones en la ecuación de la velocidad media y tomar el límite como $\text{Δ}t\to 0$, encontramos la expresión para la velocidad instantánea:

Al igual que la velocidad media, la velocidad instantánea es un vector con dimensión de longitud por tiempo. La velocidad instantánea en un momento determinado $t_0$ es la tasa de cambio de la función de posición, que es la pendiente de la función de posición $x(t)$ en $t_0$. La Figura 3.6 muestra cómo la velocidad media $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}t}$ entre dos tiempos se aproxima a la velocidad instantánea en $t_0.$ La velocidad instantánea se muestra en el tiempo $t_0$, que resulta estar en el máximo de la función de posición. La pendiente del gráfico de posición es cero en este punto; por ende, la velocidad instantánea es cero. Para otros tiempos, $t_1,t_2$, y así sucesivamente, la velocidad instantánea no es cero porque la pendiente del gráfico de posición sería positiva o negativa. Si la función de posición tuviera un mínimo, la pendiente del gráfico de posición también sería cero, lo que daría una velocidad instantánea de cero también allí. Así, los ceros de la función de velocidad dan el mínimo y el máximo de la función de posición.

Figura 3.6 En un gráfico de posición en función del tiempo, la velocidad instantánea es la pendiente de la línea tangente en un punto determinado. Las velocidades medias $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}t}=\frac{x_{\text{f}}-x_{\text{i}}}{t_{\text{f}}-t_{\text{i}}}$ entre tiempos $\text{Δ}t=t_6-t_1,\text{Δ}t=t_5-t_2,\text{y}\text{Δ}t=t_4-t_3$ se muestran. Cuando $\text{Δ}t\to 0$, la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea en $t=t_0$.

Ejemplo 3.2

Encontrar la velocidad a partir de un gráfico de posición en función del tiempo

Dado el gráfico de posición en función del tiempo de la Figura 3.7, halle el gráfico de velocidad en función del tiempo.

Figura 3.7 El objeto comienza en la dirección positiva, se detiene brevemente y luego invierte la dirección, para dirigirse de nuevo hacia el origen. Observe que el objeto llega al reposo instantáneamente, lo que requeriría una fuerza infinita. Así, el gráfico es una aproximación al movimiento en el mundo real. (El concepto de fuerza se trata en las Leyes de movimiento de Newton).

Estrategia

El gráfico contiene tres líneas rectas durante tres intervalos. Encontramos la velocidad durante cada intervalo al tomar la pendiente de la línea con la cuadrícula.

Solución

Intervalo de 0 s a 0,5 s: $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}t}=\frac{\mathrm{0,5}\text{m}-\mathrm{0,0}\text{m}}{\mathrm{0,5}\text{s}-\mathrm{0,0}\text{s}}=\mathrm{1,0}\text{m/s}$

Intervalo de 0,5 s a 1,0 s: $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}t}=\frac{\mathrm{0,5}\text{m}-\mathrm{0,5}\text{m}}{\mathrm{1,0}\text{s}-\mathrm{0,5}\text{s}}=\mathrm{0,0}\text{m/s}$

Intervalo de 1,0 s a 2,0 s: $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}t}=\frac{\mathrm{0,0}\text{m}-\mathrm{0,5}\text{m}}{\mathrm{2,0}\text{s}-\mathrm{1,0}\text{s}}=\mathrm{-0,5}\text{m/s}$

El gráfico de estos valores de velocidad en función del tiempo se muestra en la Figura 3.8.

Figura 3.8 La velocidad es positiva durante la primera parte del recorrido, cero cuando el objeto se detiene y negativa cuando el objeto invierte su dirección.

Importancia

Durante el intervalo de 0 s a 0,5 s, la posición del objeto se aleja del origen y la curva de la posición en función del tiempo tiene una pendiente positiva. En cualquier punto de la curva durante este intervalo, podemos encontrar la velocidad instantánea al tomar su pendiente, que es de +1 m/s, como se muestra en la Figura 3.8. En el intervalo posterior, de 0,5 s a 1,0 s, la posición no cambia y vemos que la pendiente es cero. De 1,0 s a 2,0 s, el objeto retrocede hacia el origen y la pendiente es de -0,5 m/s. El objeto ha invertido su dirección y tiene una velocidad negativa.

Rapidez

En el lenguaje cotidiano, la mayoría de la gente utiliza indistintamente los términos rapidez y velocidad. Sin embargo, en física no tienen el mismo significado y son conceptos distintos. Una diferencia importante es que la rapidez no tiene dirección; es decir, la rapidez es un escalar.

Podemos calcular la rapidez media al hallar la distancia total recorrida dividida entre el tiempo transcurrido:

La rapidez media no es necesariamente la misma que la magnitud de la velocidad media, que se encuentra al dividir la magnitud del desplazamiento total entre el tiempo transcurrido. Por ejemplo, si un viaje comienza y termina en el mismo lugar, el desplazamiento total es cero y, por tanto, la velocidad media es cero. Sin embargo, la rapidez media no es cero, porque la distancia total recorrida es mayor que cero. Si hacemos un viaje por carretera de 300 km y tenemos que llegar a nuestro destino a una hora determinada, entonces nos interesaría conocer nuestra rapidez media.

Sin embargo, podemos calcular la rapidez instantánea a partir de la magnitud de la velocidad instantánea:

Si una partícula se mueve a lo largo del eje de la x a +7,0 m/s y otra partícula se mueve a lo largo del mismo eje a -7,0 m/s, tienen velocidades diferentes, pero ambas tienen la misma rapidez de 7,0 m/s. En la siguiente tabla se muestran algunos valores de rapidez típicos.

Calcular la velocidad instantánea

Al calcular la velocidad instantánea, necesitamos especificar la forma explícita de la función de posición $x(t)$. Si cada término de la ecuación $x(t)$ tiene la forma de $A{t}^n$ donde $A$ es una constante y $n$ es un número entero, esto se puede diferenciar con la regla de la potencia para que sea:

Observe que, si hay más términos que se suman, esta regla de la potencia de la diferenciación puede hacerse varias veces y la solución es la suma de esos términos. El siguiente ejemplo ilustra el empleo de la Ecuación 3.7.

Ejemplo 3.4

Velocidad instantánea en función de la rapidez

Consideremos el movimiento de una partícula en la que la posición es $x(t)=\mathrm{3,0}t-3t^2\text{m}$.

1. ¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 0,25 s, t = 0,50 s y t = 1,0 s?
2. ¿Cuál es la rapidez de la partícula en esos momentos?

Estrategia

La velocidad instantánea es la derivada de la función de posición y la rapidez es la magnitud de la velocidad instantánea. Utilizamos la Ecuación 3.4 y la Ecuación 3.7 para resolver la velocidad instantánea.

Solución

1. $v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\mathrm{3,0}-\mathrm{6,0}t\text{m/s}$ $v(\mathrm{0,25}\text{s})=\mathrm{1,50}\text{m/s,}v(\mathrm{0,5}\text{s})=0\text{m/s,}v(\mathrm{1,0}\text{s})=\mathrm{-3,0}\text{m/s}$
2. $\text{Rapidez}=\left|v(t)\right|=\mathrm{1,50}\text{m/s},\mathrm{0,0}\text{m/s,}\text{y}\mathrm{3,0}\text{m/s}$

Importancia

La velocidad de la partícula nos brinda información sobre la dirección, lo cual indica que la partícula se mueve hacia la izquierda (oeste) o hacia la derecha (este). La rapidez da la magnitud de la velocidad. Al graficar la posición, la velocidad y la rapidez como funciones del tiempo, podemos entender estos conceptos visualmente en la Figura 3.9. En (a), el gráfico muestra que la partícula se mueve en dirección positiva hasta t = 0,5 s, cuando invierte su dirección. La inversión de la dirección también puede verse en (b) a los 0,5 s, donde la velocidad es cero y luego se vuelve negativa. A 1,0 s vuelve al origen donde comenzó. La velocidad de la partícula a 1,0 s en (b) es negativa, porque está viajando en la dirección negativa. Sin embargo, en (c), su rapidez es positiva y permanece así durante todo el recorrido. También podemos interpretar la velocidad como la pendiente del gráfico de posición en función del tiempo. La pendiente de la x(t) es decreciente hacia cero, para convertirse en cero a los 0,5 s y pasar a ser cada vez más negativa a partir de ese momento. Este análisis de comparación de los gráficos de posición, velocidad y rapidez sirve para detectar errores en los cálculos. Los gráficos deben ser coherentes entre sí y contribuir a interpretar los cálculos.

Figura 3.9 (a) Posición: x(t) en función del tiempo. (b) Velocidad: v(t) en función del tiempo. La pendiente del gráfico de posición es la velocidad. La comparación aproximada de las pendientes de las líneas tangentes en (a) a 0,25 s, 0,5 s y 1,0 s con los valores de la velocidad en los tiempos correspondientes indica que son los mismos valores. (c) Rapidez: $\left|v(t)\right|$ en función del tiempo. La rapidez es siempre un número positivo.