15.2 Energía en el movimiento armónico simple

La energía y el oscilador armónico simple

Para estudiar la energía de un oscilador armónico simple, debemos considerar todas las formas de energía. Considere el ejemplo de un bloque unido a un resorte, colocado sobre una superficie sin fricción, que oscila en SHM. La energía potencial almacenada en la deformación del resorte es

En un oscilador armónico simple la energía oscila entre la energía cinética de la masa $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ y la energía potencial $U=\frac{1}{2}k{x}^2$ almacenado en el resorte. En el SHM del sistema de masa y resorte no hay fuerzas disipativas, por lo que la energía total es la suma de la energía potencial y la energía cinética. En esta sección consideramos la conservación de la energía del sistema. Los conceptos examinados son válidos para todos los osciladores armónicos simples, incluidos aquellos en los que interviene la fuerza gravitacional.

Considere la Figura 15.11, que muestra un bloque oscilante unido a un resorte. En el caso del SHM no amortiguado, la energía oscila de un lado a otro entre la cinética y la potencial, pasando completamente de una forma de energía a la otra a medida que el sistema oscila. Así, para el sencillo ejemplo de un objeto sobre una superficie sin fricción unido a un resorte, el movimiento comienza con toda la energía almacenada en el resorte como energía potencial elástica. Cuando el objeto comienza a moverse, la energía potencial elástica se convierte en energía cinética, y pasa a ser totalmente cinética en la posición de equilibrio. A continuación, el resorte convierte la energía en energía potencial elástica al estirarse o comprimirse. La velocidad se convierte en cero cuando la energía cinética se convierte completamente, y este ciclo se repite. La comprensión de la conservación de la energía en estos ciclos proporcionará una visión adicional aquí y en aplicaciones posteriores de SHM, como circuitos alternos.

Figura 15.11 La transformación de la energía en SHM para un objeto unido a un resorte sobre una superficie sin fricción. (a) Cuando la masa está en la posición $x=+A$, toda la energía se almacena como energía potencial en el resorte $U=\frac{1}{2}k{A}^2$. La energía cinética es igual a cero porque la velocidad de la masa es cero. (b) A medida que la masa se mueve hacia $x=\text{–}A$, la masa cruza la posición $x=0$. En este punto, el resorte no está ni extendido ni comprimido, por lo que la energía potencial almacenada en el resorte es cero. En $x=0$, la energía total es toda la energía cinética donde $K=\frac{1}{2}m{\left(\text{–}{v}_{\text{máx.}}\right)}^2$. (c) La masa continúa moviéndose hasta alcanzar $x=\text{–}A$ donde la masa se detiene y comienza a moverse hacia $x=+A$. En la posición $x=\text{–}A$, la energía total se almacena como energía potencial en el $U=\frac{1}{2}k{\left(\text{–}A\right)}^2$ comprimido y la energía cinética es cero. (d) Al pasar la masa por la posición $x=0$, la energía cinética es $K=\frac{1}{2}m{v}_{\text{máx.}}^2$ y la energía potencial almacenada en el resorte es cero. (e) La masa vuelve a la posición $x=+A$, donde $K=0$ y $U=\frac{1}{2}k{A}^2$.

Considere la Figura 15.11, que muestra la energía en puntos específicos del movimiento periódico. Mientras se mantiene constante, la energía oscila entre la energía cinética del bloque y la energía potencial almacenada en el resorte:

El movimiento del bloque sobre un resorte en SHM está definido por la posición $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t+\varphi \right)$ con una velocidad de $v\left(t\right)=\text{–}A\omega \text{sen}\left(\omega t+\varphi \right)$. Mediante estas ecuaciones, la identidad trigonométrica ${\text{cos}}^2\theta +{\text{sen}}^2\theta =1$ y $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$, podemos calcular la energía total del sistema:

La energía total del sistema de un bloque y un resorte es igual a la suma de la energía potencial almacenada en el resorte más la energía cinética del bloque y es proporcional al cuadrado de la amplitud $E_{\text{Total}}=(1\text{/}2)k{A}^2.$ La energía total del sistema es constante.

Un examen más detallado de la energía del sistema muestra que la energía cinética oscila como una función seno-cuadrada, mientras que la energía potencial oscila como una función coseno-cuadrada. Sin embargo, la energía total del sistema es constante y es proporcional a la amplitud al cuadrado. La Figura 15.12 muestra un trazado de las energías potencial, cinética y total del sistema de bloques y resortes como una función de tiempo. También se representan la posición y la velocidad como una función de tiempo. Antes del tiempo $t=\mathrm{0,0}\text{s,}$ el bloque está unido al resorte y colocado en la posición de equilibrio. El trabajo se realiza sobre el bloque aplicando una fuerza externa, halándolo hasta una posición de $x=+A$. El sistema tiene ahora energía potencial almacenada en el resorte. En el tiempo $t=\mathrm{0,00}\text{s,}$ la posición del bloque es igual a la amplitud, la energía potencial almacenada en el resorte es igual a $U=\frac{1}{2}k{A}^2$ y la fuerza sobre el bloque es máxima y apunta en la dirección x negativa $\left(F_S=\text{–}kA\right)$. La velocidad y la energía cinética del bloque son cero en el tiempo $t=\mathrm{0,00}\text{s}\text{.}$ En el tiempo $t=\mathrm{0,00}\text{s,}$ el bloque se libera del reposo.

Figura 15.12 Gráfico de las energías cinética, potencial y total de un bloque que oscila sobre un resorte en SHM. También se muestran los gráficos de posición versus tiempo y de velocidad versus tiempo. La energía total permanece constante, pero la energía oscila entre la energía cinética y la potencial. Cuando la energía cinética es máxima, la energía potencial es cero. Esto ocurre cuando la velocidad es máxima y la masa está en la posición de equilibrio. La energía potencial es máxima cuando la velocidad es cero. La energía total es la suma de la energía cinética más la energía potencial y es constante.

Oscilaciones en torno a una posición de equilibrio

Acabamos de considerar la energía del SHM como una función de tiempo. Otra visión interesante del oscilador armónico simple es considerar la energía como una función de posición. La Figura 15.13 muestra un gráfico de la energía versus posición de un sistema que experimenta SHM.

Figura 15.13 Gráfico de la energía cinética (rojo), la energía potencial (azul) y la energía total (verde) de un oscilador armónico simple. La fuerza es igual a $F=–\frac{dU}{dx}$. La posición de equilibrio se muestra como un punto negro y es el punto donde la fuerza es igual a cero. La fuerza es positiva cuando $x<0$, negativa cuando $x>0$ e igual a cero cuando $x=0$.

La curva de energía potencial en la Figura 15.13 se asemeja a un bol. Cuando se coloca una canica en un bol, se asienta en la posición de equilibrio en el punto más bajo del bol $\left(x=0\right)$. Esto ocurre porque una fuerza restauradora se dirige hacia el punto de equilibrio. Este punto de equilibrio se denomina, a veces, punto fijo. Cuando la canica se altera hacia una posición diferente $\left(x=+A\right)$, la canica oscila alrededor de la posición de equilibrio. Volviendo al gráfico de la energía potencial, la fuerza se puede calcular mirando la pendiente del gráfico de la energía potencial $\left(F=–\frac{dU}{dx}\right)$. Dado que la fuerza a ambos lados del punto fijo señala hacia el punto de equilibrio, este se denomina punto de equilibrio estable. Los puntos $x=A$ y $x=\text{–}A$ se llaman los puntos de inflexión (ver Energía potencial y conservación de la energía).

La estabilidad es un concepto importante. Si un punto de equilibrio es estable, una ligera alteración de un objeto que se encuentra inicialmente en el punto de equilibrio estable hará que el objeto oscile alrededor de ese punto. El punto de equilibrio estable se produce porque la fuerza de cada lado se dirige hacia él. En el caso de un punto de equilibrio inestable si el objeto se altera ligeramente, no vuelve al punto de equilibrio.

Considere el ejemplo de la canica en el bol. Si el bol está boca arriba, la canica oscilará alrededor del punto de equilibrio estable si la alteración es ligera. Si el bol se pone boca abajo, la canica se puede equilibrar en la parte superior, en el punto de equilibrio donde la fuerza neta es cero. Sin embargo, si la alteración de la canica es ligera, no volverá al punto de equilibrio, sino que rodará fuera del bol. La razón es que la fuerza a ambos lados del punto de equilibrio se aleja de ese punto. Este punto es un punto de equilibrio inestable.

La Figura 15.14 muestra tres condiciones. El primero es un punto de equilibrio estable (a); el segundo es un punto de equilibrio inestable (b); y el último es también un punto de equilibrio inestable (c), ya que la fuerza en un solo lado señala hacia el punto de equilibrio.

Figura 15.14 Ejemplos de puntos de equilibrio: (a) punto de equilibrio estable; (b) punto de equilibrio inestable; (c) punto de equilibrio inestable (a veces denominado punto de equilibrio medio estable).

El proceso para determinar si un punto de equilibrio es estable o inestable se puede formalizar. Considere las curvas de energía potencial mostradas en la Figura 15.15. La fuerza se puede calcular al analizar la pendiente del gráfico. La fuerza es $F=–\frac{dU}{dx}.$ En (a), el punto fijo está en $x=\mathrm{0,00}\text{m}\text{.}$ Cuando $x<\mathrm{0,00}\text{m,}$ la fuerza es positiva. Cuando $x>\mathrm{0,00}\text{m,}$ la fuerza es negativa. Este es un punto estable. En (b), el punto fijo está en $x=\mathrm{0,00}\text{m}\text{.}$ Cuando $x<\mathrm{0,00}\text{m,}$ la fuerza es negativa. Cuando $x>\mathrm{0,00}\text{m,}$ la fuerza también es negativa. Este es un punto inestable.

Figura 15.15 Dos ejemplos de función de energía potencial. La fuerza en una posición es igual al negativo de la pendiente del gráfico en esa posición. (a) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio estable. (b) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio inestable. Este punto se llama a veces medio estable porque la fuerza de un lado señala hacia el punto fijo.

Una aplicación práctica del concepto de puntos de equilibrio estables es la fuerza entre dos átomos neutros de una molécula. Si dos moléculas están muy cerca, separadas por unos pocos diámetros atómicos, pueden experimentar una fuerza de atracción. Si las moléculas se acercan lo suficiente como para que las capas electrónicas de los otros electrones se superpongan, la fuerza entre las moléculas se vuelve repulsiva. La fuerza de atracción entre los dos átomos puede hacer que estos formen una molécula. La fuerza entre las dos moléculas no es una fuerza lineal y no se puede modelar simplemente como dos masas separadas por un resorte, sino que los átomos de la molécula pueden oscilar alrededor de un punto de equilibrio cuando se desplazan una pequeña cantidad de la posición de equilibrio. Los átomos oscilan debido a la fuerza de atracción y a la fuerza de repulsión entre los dos átomos.

Considere un ejemplo de la interacción entre dos átomos conocida como la interacción de van Der Waals. Está fuera del alcance de este capítulo discutir en profundidad las interacciones de los dos átomos, pero las oscilaciones de los átomos pueden ser examinadas considerando un ejemplo de un modelo de la energía potencial del sistema. Una sugerencia para modelar la energía potencial de esta molécula es con el potencial de Lennard-Jones 6-12:

Un gráfico de esta función se muestra en la Figura 15.16. Los dos parámetros $\epsilon$ y $\sigma$ se hallan experimentalmente.

Figura 15.16 La función de energía potencial de Lennard-Jones para un sistema de dos átomos neutros. Si la energía está por debajo de cierta energía máxima, el sistema oscila cerca de la posición de equilibrio entre los dos puntos de inflexión.

A partir del gráfico, podrá ver que hay un pozo de energía potencial, que tiene algunas similitudes con el pozo de energía potencial de la función de energía potencial del oscilador armónico simple analizado en la Figura 15.13. El potencial de Lennard-Jones tiene un punto de equilibrio estable donde la energía potencial es mínima y la fuerza a ambos lados del punto de equilibrio señala hacia el punto de equilibrio. Note que, a diferencia del oscilador armónico simple, el pozo de potencial del potencial de Lennard-Jones no es simétrico. Esto se debe a que la fuerza entre los átomos no es una fuerza de la ley de Hooke y no es lineal. Los átomos pueden seguir oscilando alrededor de la posición de equilibrio $x_{\text{min}}$ porque cuando $x<x_{\text{min}}$, la fuerza es positiva; cuando $x>x_{\text{min}}$, la fuerza es negativa. Note que a medida que x se acerca a cero, la pendiente es bastante pronunciada y negativa, lo que significa que la fuerza es grande y positiva. Esto sugiere que se necesita una gran fuerza para intentar acercar los átomos. A medida que x se hace más grande, la pendiente se hace menos pronunciada y la fuerza es más pequeña y negativa. Esto sugiere que si se da una energía lo suficientemente grande, los átomos pueden separarse.

Si le interesa esta interacción, calcule la fuerza entre las moléculas tomando la derivada de la función de energía potencial. Verá inmediatamente que la fuerza no se asemeja a una fuerza de la ley de Hooke $\left(F=\text{–}kx\right)$, pero si está familiarizado con el teorema del binomio:

la fuerza puede ser aproximada por una fuerza de la ley de Hooke.

Velocidad y conservación de energía

Volviendo al sistema de un bloque y un resorte en la Figura 15.11, una vez que el bloque se libera del reposo, comienza a moverse en la dirección negativa hacia la posición de equilibrio. La energía potencial disminuye y la magnitud de la velocidad y la energía cinética aumentan. En el tiempo $t=T\text{/}4$, el bloque alcanza la posición de equilibrio $x=\mathrm{0,00}\text{m,}$ donde la fuerza sobre el bloque y la energía potencial son cero. En la posición de equilibrio, el bloque alcanza una velocidad negativa con una magnitud igual a la velocidad máxima $v=\text{–}A\omega$. La energía cinética es máxima e igual a $K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^2=\frac{1}{2}k{A}^2.$ En este punto, la fuerza sobre el bloque es cero, pero el momento arrastra al bloque y este continúa en dirección negativa hacia $x=\text{–}A$. A medida que el bloque continúa moviéndose, la fuerza sobre él actúa en la dirección positiva y la magnitud de la velocidad y la energía cinética disminuyen. La energía potencial aumenta a medida que el resorte se comprime. En el tiempo $t=T\text{/}2$, el bloque alcanza $x=\text{–}A$. Aquí la velocidad y la energía cinética son iguales a cero. La fuerza sobre el bloque es $F=+kA$ y la energía potencial almacenada en el resorte es $U=\frac{1}{2}k{A}^2$. Durante las oscilaciones, la energía total es constante e igual a la suma de la energía potencial y la energía cinética del sistema,

La ecuación de la energía asociada al SHM puede resolverse para calcular la magnitud de la velocidad en cualquier posición:

La energía en un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Cuando se consideran muchas formas de oscilación, verá que la energía es proporcional a la amplitud al cuadrado.